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2026年渭源县麻家集中学中考适应性考试数学试题
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列各实数中，比小的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据国家知识产权局在2026年1月新闻发布会上的正式通报，2025年中国共授权发明专利万件，同比减少．将数据972000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式的计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则c的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
7．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3.5分钟的人数是（ ）
A．29人 B．55人 C．38人 D．84人
第4题 第6题 第7题 第8题
9．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论：
①水面宽度；
②拱桥的最大高度是；
③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条．
其中，正确结论的个数有（ ） 第10题
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为12，为边上的动点，点在边上，且，为射线上的动点，连接，，若，是线段的中点，则当点从点运动到点时，点的运动路径长为（ ）
A．18 B．9 C．8 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.
11．分解因式：_________．
12．方程的解为________．
13．在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）．
14．如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______．
15．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度．
16．数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在处测得点的仰角，然后在距离处米的处测得点的仰角，已知测倾器的高度为米，在一条直线上，则车辆限高杆的高度为_____米．（结果保留根号）
三、解答题:本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17(6分)．计算：
18.（6分）解不等式组：
19.（8分）先化简．再从，0，1，2中选择合适的数作为x的值代入求值．
20．（8分）如图，四边形内接于，．
(1)在上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，是的中点，求证：四边形是菱形．
21（8分）．一个不透明的口袋中装有2个红球、1个黄球和n个白球，每个球除颜色外完全相同，每次把口袋里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回口袋里，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近．
(1)请你估计口袋里白球的个数____________；
(2)在（1）的条件下，小米随机摸这若干个小球两次，请利用画树状图或列表的方法，求小米两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
22（10分）．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)请计算台阶的高度．
(2)求出孔子雕像的高度．
三、解答题:本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
23(8分 )．4月23日是“世界读书日”，每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝活动．为庆祝“世界读书日”，某校组织了“共读一本名著”活动，并举行了名著阅读知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，均在75分以上，其分为五个等级：A：；B：；C：；D：；E：，其中记为优秀），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：77，84，85，89，90，90，95，95，95，100．
八年级10名学生的竞赛成绩在D组中的数据为：91，93，90，92．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 90 90
中位数 90
众数 97
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_____，_____，n=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七，八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？
24(10分)．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接与交于点．
(1)求的值；
(2)求面积的最大值，并求出此时的值．
25（10分）．如图，已知是的直径，C为上一点， 的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、．
(1)求证： 是的切线；
(2)若，的长为2，求的半径和的长．
26（10分）．矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接．将沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】
(1)如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】
(2)如图2，点M在线段上，，在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段上时，求的长．
【拓展运用】
(3)如图2，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且是以为斜边的直角三角形时，求的长．
27（12分）．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．其中，，对称轴为直线，连接、．
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图1，过点作交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，点为直线上一动点，连接、、．当取得最大值时，求点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，连接．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种情况的求解过程．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C B B A B D B
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．解：
．
18．解：
解①得，
解②得，
则不等式的解集为．
19．，
解：
，
分式的分母不为，除式不为，
，，，
，，，
，
当时，
原式
．
20．（1）解：如图，点E为所求作的点：
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
四边形是菱形．
21．（1）解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近，
∴摸到红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有25种等可能性的结果，其中小米两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的结果数有4种，
∴小米两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率为．
22．（1）解：作于，
由题意，得，，，，，
∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为，
∴，
∴，
∴台阶的高度为．
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴孔子雕像的高度为．
23．（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中，95出现次数最多，则众数；
八年级共10名学生，D组有4人，占比，则；
由扇形统计图可知，八年级竞赛成绩A组有人、B组有1人、C组有1人，D组有4人，
则中位数位于D组，
将D组的数据从小到大排列为：90，91，92，93，
则中位数为，
故答案为：；95；40；
（2）解：七、八年级平均数相同，八年级的中位数大于七年级的中位数，说明八年级整体竞赛成绩更好；
（3）解：
（名）
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有1180名．
24．（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
联立，解得或，
∴，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为1．
25．（1）证明：如图所示，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线．
（2）解：， ，
，
，
，
，
，
，，
，
∴的半径为3，
，
，
∴，即，
∴，
，
∴，即，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴．
26．（1）证明：连接，
四边形为矩形，
．
由折叠可得，．
，
为的中点，，
．
在与中，
，，
，
；
（2）解：如图，
由折叠可得，，
在矩形中，，，，
又，
，
，
；
（3）解：过点作于，交于点，
．
，
，
．
，
，
，
，
，，
．
设，，
，．
，
，
，
．
，
解得．
，，，
四边形是矩形，
，．，，．
设，则，．
在中，，
．
解得，．
27．（1）解：对称轴为直线，
，
，
抛物线，
，
，
，
，
将点、代入抛物线得：
，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：抛物线，
，对称轴为直线，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
过点P作轴交于点D，过点P作于点E，
，，
在中，，
，
，
，
当最大时，有最大值，
，，
可得直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，的最大值为，
当时，，
，
过点Q作于点F，
，
，
，
过点P作于点，交于点，
，
当P、、三点共线时，有最小值，即，
，
，
即的最小值为；
（3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴平移方式为向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴新抛物线的解析式为，
∵直线的解析式为，
与抛物线联立得：，
解得：或（舍去），
当时，，
，
作交直线于点，
，
，
，
当点K在y轴右边时，作交抛物线于点，交直线于点，
，
，
，
，
，
则该直线符合题意，
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
直线的解析式为，
与抛物线联立得：，
解得：或（舍去），
点的横坐标为；
当点K在y轴左边时，记为，设直线与x轴交于点E，作点关于直线的对称点F，作直线交抛物线于点，连接
∴，即点即为所求
∵直线的解析式为，
∴当时，
解得
∴
设
由对称得，，
∴，
∴
解得
∴
∵
∴可得直线的解析式为
∴联立得，
解得或（舍去），
∴点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．

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