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浙江省26届中考数学每日一练30
1．把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
2．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　 ．
3．解方程：．
4．2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程y（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程S（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图2所示．
（1）求小明跑步的速度（单位：千米/分）．
（2）求图中a的值．
（3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．
5．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，AB＝20，．点D在边AB上，∠DCB＝∠B，AC的垂直平分线l与CD交于点E，连结AE．
（1）当∠BAC＝90°时，求BC的长．
（2）①当BC长度发生变化时，△ADE的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出△ADE的周长．
②当AE⊥BC时，求AE的长．
（3）如图2，l与BC交于点F，AF与CD交于点G，当FG＝FB时，求tan∠BAE的值．
浙江省26届中考数学每日一练30
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，点用实点覆盖，无等号，点用空心圆圈覆盖，解答即可．
【解答】解：第一个不等式的解集为x＞1，
第二个不等式的解集为x≥﹣1，
数轴表示为选项B的图形，
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　　 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
3．解方程：．
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算．
【解答】解：，
1+x﹣3＝﹣2，
解得：x＝0，
经检验：x＝0是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
4．2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程y（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程S（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图2所示．
（1）求小明跑步的速度（单位：千米/分）．
（2）求图中a的值．
（3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．
【分析】（1）根据速度的定义求解即可；
（2）设OD对应的函数表达式y＝kx，待定系数法求解即可；
（3）根据题意，分0≤x≤60，60＜x≤70，70＜x≤94，94＜x≤126，求解即可；
【解答】解：（1）小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．
小明跑步的速度为千米/分．
（2）小聪和小明离出发点的路程y（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程S（km）与出发时间x（min）之间的函数关系如图2所示．
小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米，
故此时小聪跑的路程为15﹣5＝10（千米），
故图象经过点（60，10），
设OD对应的函数表达式y＝kx，
由题意得图象过点（60，10），
∴10＝60k，
解得．
∴OD对应的函数表达式．
令y＝21，
解得x＝126．
∴a的值为126．
（3）当0≤x≤60时，根据题意，得，
且s随x的增大而增大，
故x＝60时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当60＜x≤70时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故x＝60时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5千米即s＜5；
小明跑完最后6km所需的时间为．
当70＜x≤94时，根据题意，得小明跑的路程表达式为，
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而增大，
故x＝94时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当94＜x≤126时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变；
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故x＝94时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到94，故最大值小于千米即；
∵，
∴当x＝94时，他们之间相距最远，且为千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
5．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，AB＝20，．点D在边AB上，∠DCB＝∠B，AC的垂直平分线l与CD交于点E，连结AE．
（1）当∠BAC＝90°时，求BC的长．
（2）①当BC长度发生变化时，△ADE的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出△ADE的周长．
②当AE⊥BC时，求AE的长．
（3）如图2，l与BC交于点F，AF与CD交于点G，当FG＝FB时，求tan∠BAE的值．
【分析】（1）在∠BAC＝90°的条件下，由，结合AB＝20得AC＝15；再通过勾股定理即可求解．
（2）①由直线l垂直平分AC，得EA＝EC；再由∠DCB＝∠B，根据等角对等边得DC＝DB．将△ADE的周长AD+DE+AE＝24cm转化为AD+DC，而AD+DC＝AB＝20，故周长恒为20，不随BC变化；②作DH⊥AE，由AE⊥BC得DH∥BC，则∠ADH＝∠B，∠EDH＝∠DCB＝∠B，故．设AH＝EH＝3x，DH＝4x，则AD＝DE＝5x；结合周长为20列方程，解得，故．
（3）延长AE交BC于M，作MN⊥AB．由垂直平分线性质得FA＝FC、EA＝EC，证得△FAM≌△FCG，结合FG＝FB得FM＝FB．再证△AMF～△BMA，结合与勾股定理，求得．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，，
∴，
∵AB＝20，
∴AC＝15，
∴BC2＝AB2+AC2＝625，
∴BC＝25；
（2）①△ADE的周长不发生变化．理由如下：
∵l垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵∠DCB＝∠B，
∴DC＝DB，
∵AE+ED+DA＝EC+ED+DA
＝DC+DA
＝DB+DA
＝AB＝20，
∴△ADE的周长为20；
②如图，作DH⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠EDH＝∠DCB，
又∵∠DCB＝∠B，
∴∠ADH＝∠EDH＝∠B，
∵∠AHD＝∠EHD＝90°，DH＝DH
∴△AHD≌△EHD（ASA），
∴AD＝DE，
∵，
∴．
∴设AH＝EH＝3x，DH＝4x，
∵AD2＝DE2＝（3x）2+（4x）2＝25x2，
∴AD＝DE＝5x，
∵△ADE的周长为20，
∴5x+5x+6x＝20，
解得：，
∴；
（3）如图，延长AE与BC交于点M，作MN⊥AB，
∵l垂直平分AC，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠FCG＝∠FCA﹣∠ECA＝∠FAC﹣∠EAC＝∠FAM．
∵∠CFG＝∠AFM，FA＝FC，
∴△FAM≌△FCG（ASA），
∴FG＝FM，
∵FG＝FB，
∴设FM＝FB＝5y，
∵∠FAM＝∠FCG＝∠B，∠AMF＝∠BMA，
∴△AMF∽△BMA，
∴，
∴MA2＝5y 10y＝50y2，
∴．
∵，
∴，MN＝MB sinB＝6y．
∴AN2＝AM2﹣MN2＝14y2，
∴．
【点评】本题以垂直平分线的轴对称性为核心，结合等腰三角形的边相等性质进行线段转化，通过构造辅助线，利用全等、相似及三角函数，将动态问题转化为固定关系求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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