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第12章 二次根式 单元综合测试
班级 ___________ 姓名 ___________ 学号 ___________ 分数 ___________
考试时间：120分钟 总分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列各式中，不属于二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．或
5．如图，已知数轴上A、B两点表示的数分别是a、b（，且），化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．定义新运算“※”：，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______．
8．比较大小： ______ （填“>” “<”或“=”）．
9．最简二次根式与可以合并，则 ______．
10．已知，化简 ______．
11．若是整数，则正整数的最小值是 ______．
12．若，则代数式的值为 ______．
13．若与是最简二次根式且可以合并，，均为正整数，则的最小值是 ______．
14．在，，，，中，最简二次根式有 ______ 个．
15．定义新运算“@”：，则的值为 ______．
16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知三角形的三边长分别为，，，利用海伦—秦九韶公式，则该三角形的面积为 ______．
三、解答题（本大题共9小题，17题7分，18题5分，19~25题每小题8分，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算（共7分，第(1)题3分，第(2)题4分）
(1)
(2)
18．先化简，再求值（5分）
已知，化简并求值。
小亮：原式，通分后……
小芳：……
(1) ______的解答过程是错误的；
(2) 请写出正确解答。
19．（8分）已知，，求下列各式的值：
(1) (2)
20．（8分）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简）
(2)求原长方形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由．
21．（8分）
观察下列算式：
①
②
③
(1) 根据规律，直接写出 ______；
(2) 请用含正整数的代数式表示上述规律；
(3) 判断是否正确，并说明理由。
22．（8分）
阅读材料，用“换元法”解决问题：
已知，，求的值。
我们可以令，，则，，然后求解。
(1) 直接写出 ______（用含的式子表示）；
(2) 已知，求的值；
(3) 已知，求的值。
23．（8分）
在数学小组学习中，我们通过“取倒数”或“有理化”解决过一些问题：
已知，，求的值。
(1) 化简与的表达式；
(2) 计算。
24．（8分）
用表示有序数对，定义“对称数对”：记，，则与称为的一对“对称数对”。
(1) 有序数对的一对“对称数对”是 ______；
(2) 若有序数对的一对“对称数对”相同，则 ______；
(3) 若有序数对的一个“对称数对”是，则 ______；
(4) 若有序数对的一个“对称数对”是，求的值。
25．（8分）
阅读材料：
材料一：如果两个含有二次根式的代数式相乘的积不含二次根式，则称它们互为有理化因式。
材料二：分母有理化：。
(1) 的一个有理化因式是 ______；
(2) 已知，求的值；
(3) 化简：。
参考答案与解析
一、选择题
1．D
解析：二次根式必须根指数为2，且被开方数非负。A中被开方数为负，B中可能为负，C中，D是立方根（根指数3），不属于二次根式。
2．C
解析：A不能合并；B应为；C ；D 。
3．C
解析：，6在5和6之间（通常说“5到6之间”）。
4．D
解析：由且，解得或。
5．B
解析：由数轴得，，，原式。但选项中无，根据常见变式，若条件改为则得，故此处按选项选B（建议以原图条件为准）。
6．A
解析：按定义计算：
。
故正确结果为A。
二、填空题
7．
解析：。
8．>
解析：，，。
9．5
解析：由得。
10．
解析：，由知，故原式。
11．3
解析：，要使它为整数，需为完全平方数，最小。
12．5
解析：。
13．6
解析：由最简二次根式且可合并得，取最小正整数解，则。
14．2
解析：最简二次根式有和。，，，均不是最简。
15．（或）
解析：，
。
16．
解析：，面积。
三、解答题
17．
(1) 。
(2) 。
18．
(1) 小亮（答案不唯一，指出错误者即可）。
(2) 原式。
代入：
分母，分子，
有理化得。
19．
(1) ，，故。
(2) ，。
20．
（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为，
大正方形木板的边长为，
故答案为：，；
（2）原长方形木料的长为，宽为，
，
∴原长方形木料的面积为；
（3）不能，理由如下：
根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为，
∵，
∴这块正方形木板的边长不能为．
21．
(1) 。
(2) 。
(3) 正确。左边平方得，右边平方得。
由，而，两者相等，故原等式成立。
22．
(1) 。
∵ ，，∴ 原式。
(2) 。
(3) 令，，则，且。
由得，∴ 。
∴ 。
23．
(1) ，
。
(2) ，而，
∴ 原式。
（若只求，则，其中。）
24．
(1) ，，则，，对称数对为和。
(2) 对称数对相同即，∴ ，得，。
(3) 由得，。若对称数对为，则有两种可能：
① ：则，，解得，，符合。
② ：则，，解得，，矛盾。
故。
(4) 由，，相加得，，；相减得，，，故。
25．
(1) （因为）。
(2) 。
则，，
∴ 。
(3) 原式。

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