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高二数学参考答案
选择题:1-8题,每题5分;9-11题,每题6分,共58分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B D C D A C B ABC ACD AC
填空题:每题5分,共15分。
12.2 13.-180 14.10
15.【答案】 (1) 87(6分) (2) n=6(7分)
【解析】 (1)A27=7×6=42,………………………………………………………………………………… 2分
10×9
C8 210=C10= =45,C88=1, ………………………………………………………………………………2 5
分
故原式=87;…………………………………………………………………………………………………… 6分
(2)等式C2n+C3=C4n n+1,
整理可得nn-1 n n-1 n-2 n+1 n n-1 n-2 + = ,………………………………………… 分2 3×2 4×3×2 9
计算可得12+4 n-2 = n+1 n-2 ,………………………………………………………………… 11分
整理可得n2-5n-6=0,可得n=6,n=-1(舍去). …………………………………………………… 13分
1 2n+1 -2
16.【答案】 (1) an=2n-1(7分) (2) Sn=1-2n+1
(或S = )(8分)
-1 n 2n+1-1
【解析】 (1)a2-a1=21,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1,……………………………………………… 3分
叠加可得a -a =21+22+…+2n-1n 1 ,……………………………………………………………………… 5分
n
整理可得 1-2an=1+21+22+…+2n-1= =2n-1;……………………………………………………1-2 7
分
() an+1 2
n 1 1
2bn= = n n+1 = n - n+1 ,…………………………………………………aa 11
分
n n+1 2-1 2 -1 2-1 2 -1
可得 1 1 1 1 1 1Sn=b1+b2+…+bn=1-3+
…
3-7+ + n - =1-2-1 2n+1-1 2n+1
.…………………… 15分
-1
【答案】 () 见解析( 分) () 717. 1 6 2 (9分)4
【解析】 (1)取点G 为CD 上一点,CG=1,连接FG,BG,
因为在梯形EFCD 中,∠FCD=60°,
所以FG⊥CD,BG⊥CD,FG∩BG=G,…………………………………………………………………… 4分
可得CD⊥平面BFG,所以CD⊥BF;……………………………………………………………………… 6分
(2)计算可得FG=BG= 3,BF=3,
2 2 2
利用余弦定理可得 FG +BG -BF 1cos∠FGB= ,2FG·BG =-2
所以 2π∠FGB= , …………………………………………………………………………………………… 分3 7
如右图所示,以GB 为x 轴,以GD 为y 轴,以过点G 垂直于平面ABCD 为z轴,
可得B 3,0,0 ,C 0,-1,0 ,F 3,,3- 0 ,D 0,3,0 ,E 3- ,2,3 ,点M 0,1,0 , ………… 9分2 2 2 2
BM→= - 3,1, →0 ,CD= 0,4,0 ,CF→= 3- , 32 1, ,2
设平面CDEF 的法向量为n= x,y,z ,
【高二数学参考答案 第 1页(共6页)】
CD→· n=0
y=0
所以 → ,计算可得 ,CF·n 3 3-2x+y+2z=0
所以平面CDEF 的一个法向量为n= 3,0,1 ,………………………………………………………… 11分
BM→·n
设直线 与平面 所成角为 , 3BM CDEF θsinθ= → = ,…………………………………… 13分BM · n 4
所以 7cosθ=4.
……………………………………………………………………………………………… 15分
2 2
18.【答案】 (1)
x 3
+ y =1(5分) ()
1(
16 16 2 -5 6
分) (3) 24(6分)
【解析】 6 c 6 (1)因为离心率为 ,可得3 a=
,
3
直线l垂直于x 轴时,MN =25,
2
所以当 时,1 y ,整理可得 :2 2 1x=1 a2+ =1 C =b 1- ,……………………………………………… 3分b2 y a2
所以2b a2-1=25,解得 2
16
a a =16
,b2= ,3
2 2
可得椭圆C 的方程为
x 3
+ y =1;………………………………………………………………………… 分16 16 5
(2)可知A1 -4,0 ,A2 4,0 ,
设直线l的方程为x=ty+1,
x=ty+1
联立 x2 3y2 ,可得 t
2+3 y2+2ty-15=0,
16+16=1
2t
y1+y2=-t2+3
可得 ,
15
y1y2=- t2+3
直线A1M、A1N 的斜率分别为kA 、k ,1M A1N
y1 yk 2A M= , ,1 x1+4
kA N=1 x2+4
· y1 y2 y1y所以k k 2A M A N= × ,…………………………………………………… 分1 1 x1+4 x2+4
= x 81+4 x2+4
x1=ty1+1
由于 ,x2=ty2+1
所以 2 ( ) 2 15 2t x1+4 x2+4 = ty1+5 ty2+5 =ty1y2+5ty1+y2 +25=t - 2 +5t - 2 +25t +3 t +3
75
=
t2
,
+3
代入式子可得kA M·
1
kA =- ;………………………………………………………………………… 11分1 1N 5
() y3 直线A1M 的方程为y=
1 x+4 ,
y
直线A2N 的方程为 =
2
x y
,
1+4 x2-4
x-4
y
两条直线联立可得x+4= 2
x1+4 y2 ty1+4 ty= = 1
y2+5y2,
x-4 y1 x2-4 y1 ty2-3 ty1y2-3y1
-2t
y1+y2= 2
由(2)
t +3, y1+y可得 可得 2 2t 15 y1+y2 = ,所以 =ty1y2,
-15 y1y2 15 2
y1y2= t2+3
【高二数学参考答案 第 2页(共6页)】



15
x+4 2y1+y2+5y2代入可得 5,
x-4=15 5 =3
2y1+2y2-3y1
所以计算可得x=16,所以设点P 的坐标为 16,m ,…………………………………………………… 14分
y
因为过原点平行于A2N 的直线斜率为
2 ,且点P 16,m 在A2N 上,x2-4
y y
则 mm= 2x -4 16-4
2 ,
2 x2-4
=12
故该直线方程为 my=12x
,
y y
点P 16,m 在A M 上,则m= 1 16+4 2
m
1 ,x =1+4 x2+4 20
故直线 的方程为 mA1M y= (x+4)20 .
m
y= x,12 x=6
,
联立 解得
m m,
y= (20x+4
),(m≠0) y=2

所以点Q 的坐标为 6,m ,2
所以OQ→·OA→ m2= 6, × 4,0 =24.……………………………………………………………………2 17分
19.【答案】 (1)y=ex-e(4分) (2)
1,
2 +
(6分) (3)见解析(7分)
【解析】 (1)f' x =xex,则f' 1 =e,f 1 =0,………………………………………………………… 2分
所以切线方程为y-0=e x-1 ,即y=ex-e;…………………………………………………………… 4分
(2)因为
1
g x ≤0恒成立,即lnx-ax2+2≤0 x>0
恒成立,
1
lnx-
即 2a≥ 2 ,x
1
lnx-
令 2 2lnxH x = ,H' x =- , …………………………………………………………………… 7分
x2 x3
令 H' x =0,得x=1,
当x∈ 0,1 时,H' x >0,H x 单调递增;当x∈ 1,+ 时,H' x <0,H x 单调递减;
故 H x 的最大值为
1
H x max=H 1 = ,2
所以 1a≥ ,即实数 的取值范围为 1, ; ………………………………………………………… 分2 a 2 + 10
(3)当a=0时,
1
g x =lnx+ ,原不等式等价于
1
2 x-1 e
x>lnx- ,2
令 1F x = x-1 ex-lnx+ (2 x>0
),只需证明F x min>0,
F' x =xex
1
- ,
1
x F″ x =
(x+1)ex+ 2>0,x
故F' x 在 0,+ 上单调递增.
F' 2
2
3 2= 3 33e -2<0,F' 1 =e-1>0,
【高二数学参考答案 第 3页(共6页)】




所以存在唯一x 2
x 1 x 1 x0
0∈ ,3 1 使得F' x0 =0,即x0e0= e0= 2 lnx0=- ………………… 分x0 x0 2 13
F x 在 0,x0 上单调递减,在 x0,+ 上单调递增,故F x min=F x0 .
x 1 x -1 x 1 x3+x2+2x -2
F x0 = x0-1 e0-lnx +
0 0 0 0 0
0 ,2= 2 + + =x 20 2 2 2x0
令φ x =x3+x2+2x-2,φ' x =3x2+2x+2>0,…………………………………………………… 15分
所以φ x 在 2, 上单调递增3 1 .
2 8 4 4 2φ 3 = ,27+9+3-2=27>0
因此φ x0 >0,即F x0 >0,
因此,F x >0恒成立,即f x >g x -1.…………………………………………………………… 17分
【注】:以上各解答题,如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分。
【高二数学参考答案 第 4页(共6页)】
【详解】
1.【答案】 A
【解析】 3 f' x =-sinx,所以
π π
f' ,故选3 =-sin 3 =-2 A.
2.【答案】 B
【 9 a +a 解析】 因为数列 an 是等差数列,所以a1+a9=2a5=20,可得S
1 9
9= 2 =90
,故选B.
3.【答案】 D
【解析】 1+x (1+2x)5=(1+2x)5+x(1+2x)5,所以x3 的系数为C3×23+C2×225 5 =120,故选D.
4.【答案】 C
【解析】 a 1 因为l1∥l2,所以 ,计算可得2=a+1 a=-2
或a=1,
当 1a=1时,l1:x+ y+1=0,l2:2x+y+2=0,两直线重合,所以 ,故选2 a=-2 C.
5.【答案】 D
【解析】 根据题意,分析可得,当2名男孩相邻时,有A44·A22·C13=144种方法;当2名男孩不相邻时,有A44
·A23=144种方法;所以一共有288种方法,故选D.
6.【答案】 A
【解析】 ab c
2
OP=a,PF2=b,S△POF = = ,整理可得 2, 2 2 4,可得 2 2 2 4,整理可得2 2 4 2ab=c 4ab =c 4a c -a =c
c4-4a2c2+4a4=0,可得 c2-2a2 2=0,可得e2=2,可得e= 2,故选A.
7.【答案】 C
【解析】 不等式
x+lnx x+lnx 1-lnx
ax-x-lnx≥0可整理为a≥ ,设函数x f x =
,
x f' x = x2
,
分析可得函数f x 在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,可得
1
f x ≤f e =1+ ,e
所以 1a≥1+ ,故选e C.
8.【答案】 B
【解析】 取AC 中点O,连接OB.因为AB=BC,所以OB⊥AC.
又平面ACC1A1⊥平面ABC,所以OB⊥平面ACC1A1.
以O 为原点,O→B,O→C 方向分别为x,y轴正方向,过O 且垂直于平面ABC 的直线为z轴建立空间直角坐标系,
易得B(1,0,0),A(0,-1,0),C1(0,2,3),A1(0,-2,3),B1(2,0,3).
设A1M
→=λA1B
→
1(0≤λ≤1),则M(2λ,2λ-2,3).
设平面AMC1 的法向量n=(x,y,z),由AM
→=(2λ,2λ-1,3),AC→1=(0,3,3)可得n=(2-λ,λ,-λ).
→·
点B 到平面AMC1 的距离d=
AB n 2
n = .3λ2-4λ+4
当 2λ= 时,分母取最小值
8,此时 6
3 3 dmax=
,故选
2 B.
9.【答案】 ABC
【解析】 由题意可得C3 6n=Cn,则n=9,故A正确;
因为n=9,所以展开式的二项式系数和为29,当x=1时,展开式中的系数和为29,故B正确;
令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=29,令x=-1,得a0-a1+a2+…-a 99=-4,两式相减可得a1+a3+a5
29+49
+a7+a9= 2 =2
8+2×48,故C正确;
令 1, a a ax= 则 1 2 … n ,3 a0+3+ + +32 3n
=0
【高二数学参考答案 第 5页(共6页)】
, , a1 a a令x=0 则a0=-1 所以 +
2+…+ n2 n=1,故D不正确;故选3 ABC.3 3
10.【答案】 ACD
【解析】 焦点F 1,0 ,可得p2=1
,计算可得p=2,选项A正确;
AF =4,可得x1=3,y1=23,故选项B错误;
根据公式可得 1 1 2+ ,若
3
AF BF = =1 BF =
,可得
2 AF =3
,选项C正确;
p
y2=4x
直线l的方程y= 3 x-1 ,联立 ,可得3x2-10x+3=0,y= 3 x-1
2
AB = 1+ 23 × 10 16 - 3 33 -4= ,点O 到直线AB 的距离为3 d= = , 23 +1 2
所以 43△OAB 的面积为S△OAB= ,选项D正确;所以选3 ACD.
11.【答案】 AC
【解析】 bn+1=a2n+1=3a2n=3 a2n-1+2 ,可得bn+1=3bn+6,整理可得bn+1+3=3 bn+3 ,
可得数列 bn+3 为以b1+3=4为首项,以3为等比的等比数列,
所以b +3=4×3n-1,可得b =4×3n-1n n -3,所以b4=105,故选项A正确;
cn+1=a2n+2=a2n+1+2=3a2n+2,可得cn+1=3cn+2,整理可得cn+1+1=3 cn+1 ,
可得数列 cn+1 为以c1+1=4为首项,以3为等比的等比数列,所以c +1=4×3n-1n ,
可得cn=4×3n-1-1,所以c10=4×39-1,故选项B不正确;
Tn=b1+b2+b3+…+bn=4×30-3+4×31-3+…+4×3n-1-3,计算可得T nn=2×3-3n-2,
可得T 100100=2×3 -302,故选项C正确;
设数列{cn}的前n 项和为Un,Un=2×3n-n-2,
S n2n=b1+c1+b2+c2+…+bn+cn=Tn+Un=4×3-4n-4,
可得S2026=4×31013-4056,故选项D错误;故选AC.
12.【答案】 2
【解析】 已知圆C:(x-1)2+y2=r2 的圆心为 1,0 ,则圆心到直线 的距离
1-0+1
l d= = 2,
2
AB 2则r2=d2+ 2 =4,可得r=2.
13.【答案】 -180
【解析】 含x4 项的系数为C26×24-C16×C25×23+C4×226 =-180.
14.【答案】 10
【解析】 数列为严格递增正整数,共6项,首项a1=1(奇数),末项a6=n.
要求数列中恰有3个奇数、3个偶数.
分情况讨论:
若n 为偶数,则最大项n 为偶数,即e3=n.还需从小于n 的偶数中选2个,从大于1的奇数中选2个(1已
固定).
小于n 的偶数共
n
2-1个,选2个:C2n ,大于1且小于n 的奇数共
n
2-1个,选2个:C22 2-1 2 n .2-1
总数列个数C2n C2 =36,即C2 =6,计算可得n=10;
2-1
n
2-1
n
2-1
若n 为奇数,则最大项n 为奇数,即o3=n.还需从中间奇数中选1个,从小于n 的偶数中选3个.
设 n-1k= ,则奇数选择数为k-1,偶数选择数为C32 k.
由(k-1)·C3k=36,得k(k-1)2(k-2)=216,无整数解.
【高二数学参考答案 第 6页(共6页)】高二数学
满分：150分
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息
条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体
工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知函数fx)=cos,则f）
A、3
1
2
C.一2
n
2.已知等差数列{am}中a5=10,其前n项和为Sn,则S,=
A.80
B.90
C.100
D.110
3.在(1十x)(1十2x)5的展开式中，含x3的项的系数为
A.90
B.100
C.110
D.120
4.已知直线1：x+y+1=0与1：a十1)x+y+2=0,则“a=一2”是1/h,”的
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有
A.144种
B.200种
C.224种
D.288种
-y3
已知双曲线C：1@,b>0)的左、石焦点分别为F1,F,过点F,灭
线C的一条渐近线的垂线，垂足为P,满足△POF:的面积为，其中O为坐标
原点，c为双曲线的半焦距，则双曲线C的离心率为
A.√2
B.√3
C.2
D.√5
【高二数学第1页（共4页）】
7.已知不等式ax一x一lnx≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围为
A.[1,+o)
B+四
c.1+,+o
8.已知三棱台ABC一A1B,C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC,AA1=CC1=√10，
A,C1=2AC=4,底面ABC满足AB=BC且∠ABC=90°，点M在棱A1B1上
运动，则，点B到平面AMC1的距离的最大值为
A.23
3
月
c.
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知(3x一1)”=ao十a1x十a2x2十…十amx”,且第4项与第7项的二项式系数相
等，则下列说法正确的是
A.n=9
B.展开式中的系数和等于二项式系数和
C.a1+a3+a5+a7+ag=28+2X48
Dg+++-0
3”
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F的直线1与抛物线C
交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是
A.p=2
B.若AF=4,则y1=4
C若BP1-则1AF=3
D若直线1的斜率为3，则△OAB的面积为4
am十2，n为奇数，
11.已知数列{an}满足a1=1,am+1=
若bn=a2m-1,cn=a2m,数列
3am,n为偶数，
{a}和b}的前n项和分别为S,和T,则下列说法正确的是
A.b4=105
B.c10=4X3°-3
C.T100=2×3100-302
D.S2026=4X31013-4058
【高二数学第2页（共4页）】

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