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浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题
一、单选题
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“关于的不等式的解集是空集”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
6．从0，2，4中任取2个数字，从3，5中任取1个数字，一共可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．18
7．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ）
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
8．已知定义在上的函数满足，正数满足，则下列选项不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？
假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值域为
B．若，且恒成立，则实数的取值范围为
C．若，且对任意实数，总存在满足成立，则实数的取值范围为
D．若，且在定义域内存在零点，则实数的取值范围为
三、填空题
12．随机变量，且，则__________．
13．已知展开式的各二项式系数和为32，且，则__________．
14．我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数．已知集合，集合为集合的子集，且，，则符合要求的有序集合对的个数为__________．
四、解答题
15．已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大．
(1)求的值；
(2)求该展开式中的常数项．
16．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
17．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机不放回地逐个取出，并将第次取出的球放入编号为的抽屉里．
(1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；
(2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总个数为，求的分布列及数学期望．
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个相异零点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
19．某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下：
第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数；
第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数．
重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，．
(1)若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？
(2)整个试验所得的10个总次数记录如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
36 36 48 36 41 44 43 42 37 35
用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大．
（i）请写出事件发生的概率的表达式；
（ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠）
参考答案
1．A
【详解】在全集中，满足的元素是，因此，
补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以．
2．C
【详解】因为命题为全称量词命题，其否定为．
3．D
【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误；
选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误；
选项C：仅知道，无法确定与的大小关系，
例如：若，则；若，则，故C不一定正确；
选项D：用作差法验证：，
因为，所以，若且（成立，因为），则分母，
因此，差，即，可得，故D一定正确．
4．A
【详解】由不等式的解集是空集等价于判别式：
，解得：．
若成立，则一定满足，故充分性成立；
若成立（比如），不一定满足，故必要性不成立．
因此，“”是“不等式的解集是空集”的充分不必要条件．
5．D
【详解】由，，则，
又，
故，即，，
则，，
则当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为.
6．B
【详解】情况1：从中取出的偶数不含：
取数：选2个非0偶数，只能是，共种；再从中选1个奇数，有种．
排列：3个数字组成三位偶数，末位必须是2或4，有2种选择，剩下2个数字全排列：种．
总数：个．
情况2：从中取出的偶数含：
取数：选和另一个偶数（2或4），共种；再从中选1个奇数，有种．
排列：3个数字组成三位偶数，分两类：
末位为：剩下2个数字全排列，有种；
末位为非0偶数：末位固定，首位不能为，有1种选择，中间位排剩下的数，有1种选择，共1种．
故每组数字有种排列，总数：个．
两种情况相加：．
7．B
【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：，
，
当增大时，减小，因此增大，
两点分布的方差公式为，其中，故：
，
由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小．
综上，增大，减小．
8．D
【详解】设 ，求导得，
当 时，，且 ，则.
故 在 上单调递增．
设 ，由可得 ．
又由 可得，．
下证： ．
要证，只需证，即需证 ，
令，则，
令 ，则
则 时，单调递增，，即 ，
则函数在上单调递增，故 ，即 .
取 ，可得 ，故有.
由于 在 上单调递增，则由 可得，即.
故 D 项中不可能成立.
若取，则由解得，由解得，
易得，由单调性可得，即得，A项成立；
若取，则由解得，由解得，
显然，由单调性可得，即得，B项成立；
若取，则由解得，由解得，
显然，由单调性可得，即得，C项成立；
综上分析，只有 D 项一定不成立．
9．BC
【详解】对于A，，所以A错；
对于B，，所以B正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D错.
10．ABC
【详解】设事件表示“真有老虎在集市上”，则 ，，
设事件表示“第 人说看见一只老虎在集市上”，，
，．
选项A：，A正确；
选项B：由全概率公式：，B正确；
选项C：，C正确；
选项D：，，
，
，D错误．
11．BCD
【详解】选项A：若，则，，
则，令，得，
则当时，，即在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
又，，，所以的值域为，故A错误；
选项B：若，有对恒成立，即，
当时，恒成立；当时，，
令，，则，
令，，则，
当时，，即在上单调递减，
则当时，，
即当时，，故，
又，所以在单调递减，
则当时，，所以，故B正确；
选项C：若，则，，
要使对任意，总存在使，即求的最大值的最小值（即函数的极差的一半），
令，，则，
又在上单调递增，且，
即当时，，即在上单调递减，
所以当时，，，
所以，则的最大值的最小值为，
故，即，故C正确；
选项D：若在定义域内存在零点，即在上有解，即在上有解，
将代入，得，，
整理得，则，，
显然，则时，，即当时，取得最大值，即，
将看成是关于的一次函数，
由，则，则随着的增大而增大，
令，，则，
令，解得，或（舍去），
所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
则，所以，
所以的范围为，故D正确．
12．0.3/
【详解】因为随机变量，且，
所以，
所以，
故答案为：0.3
13．243
【详解】二项式系数和为，由题意，解得，
由，得，故，
．
14．150
【详解】令全集 ，集合 ，
已知条件如下：，且；；
；．
对于 ，其归属情况有三种互斥状态：
状态 1：；状态 2：；状态 3：．
设 分别为 中处于上述三种状态的元素个数，则 ．
由条件转化为对 的约束：
；；．
问题转化为求满足 且 的整数解对应的分配方案数，
这是一个将 5 个不同元素放入 3 个不同盒子且无空盒的问题．
总分配方案数（无约束）：；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 2 或 3，方案数 ；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 3，方案数 ；
排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 2，方案数 ；
加回同时不满足两个条件的情况：
全选状态 3，方案数 ；
全选状态 2，方案数 ；
全选状态 1，方案数 ；
减去同时不满足三个条件的情况：不可能（）；
由容斥原理：．
15．(1)6
(2)
【详解】（1）因为，
所以只有最大，所以．
（2）因为，
令，解得，
所以常数项为．
16．(1)单增区间为，单减区间为；
(2)
【详解】（1）因为，所以，定义域为．
因为，
当 时，，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，即 ，
时，， 单调递减，
时，， 单调递增，
所以函数的单增区间为和，单减区间为．
（2）因为函数在区间上单调递减，
所以对恒成立．
因为，
所以对恒成立，，
设，
在 上单调递增，故 ，
因此，要使 恒成立，需，
所以实数 的取值范围是．
17．(1)；
(2)
1 2 3 4
【详解】（1）法一：
将7个除颜色外完全相同的球逐个取出依次放入编号为1～7的抽屉里，等价于将这7个球（4白3黑）全排列，总的方法数为．
若编号为2的抽屉里放的是黑球，等价于将剩下6个球（4白2黑）全排列，方法数为．
由古典概率模型，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为．
法二：
若第一次取出的是白球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为；
若第一次取出的是黑球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为；
由全概率公式，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为．
（2），
，，
，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
所以．
18．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析．
【详解】（1）因为，所以，所以．
因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）（i）因为有两个相异零点，
所以方程有两个不相等的实根．
设，因为，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
因此函数在处的极小值，也是最小值，即，
当时，，当时，，
所以实数的取值范围为．
（ii）不妨设，由（i）知，．
设，
因为，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，即．
因为，令，所以．
设，
因为，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，令，所以．
所以，得证．
19．(1)4；
(2)（i）；（ii），可靠．
【详解】（1）法一：
设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，
则，
所以．
令
即
化简得解得．
所以，
即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大．
法二：
设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，则．
因为不是整数，
所以当时，是唯一的最大值，
即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大．
（2）（i）设所有10名成员在第轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为，
则，
所以．
因为
（ii）法一：
设函数，
所以
，
令，解得．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，即取最大值时，．
因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠．
法二：
设函数，
令，
所以，
令，解得．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，即取最大值时，．
因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠．

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