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小专题四　振动图像与波的图像的综合应用
1.会结合振动图像与波的图像分析波的综合问题.(重点) 2.理解形成波的多解的几种情况,掌握波的多解问题的解题方法.(难点)
[学习目标]　
一、波的图像与振动图像的综合分析
1.波的图像与振动图像的异同点
项目 振动图像 波的图像
不 同 点 图像
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
不 同 点 研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
坐 标 横坐标 时间 各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同 时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
一个完整 波形信息 周期T 波长λ
相 同 点 图像形状 正(余)弦曲线
可获取 的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
2.求解波的图像与振动图像综合问题的三个关键
(1)分清振动图像与波的图像,横坐标为x的是波的图像,横坐标为t的是振动图像.
(2)看清横、纵坐标的单位,尤其要注意单位前的数量级.
(3)找准波的图像对应的时刻,找准振动图像对应的质点.
[例1] (对波的图像与振动图像的理解)(多选)一列简谐横波,在t=0.6 s时刻的图像如图甲所示,此时,P、Q两质点的位移均为-1 cm,波上A质点的振动图像如图乙所示,则下列说法正确的有(　 　)
[A] 这列波沿x轴正方向传播
[B] 这列波的波速是 m/s
[C] 从t=0.6 s开始,紧接着的Δt=0.6 s时间内,A质点通过的路程是10 m
[D] P比Q早0.2 s回到平衡位置
AB
波的图像和振动图像的综合分析思路
·方法归纳·
[训练] (2025·广东广州月考)如图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在t=1 s时刻的图像,图甲中某质点的振动情况如图乙所示,下列说法正确的是( 　　)
[A] 该列横波的周期为0.4 s
[B] 质点K在1 s内沿x轴方向移动 0.2 m
[C] 如果图乙为质点K的振动图像,则波沿x轴正向传播
[D] 如果图乙为质点L的振动图像,则波沿x轴正向传播
D
【解析】 由题图乙可知,该波的周期为T=2 s,A错误;质点K只能沿y轴振动,不能沿x轴移动,B错误;如果题图乙为质点K的振动图像,由题图乙可知,t=1 s时质点K沿y轴负方向振动,结合题图甲可知,波沿x轴负向传播,C错误;如果题图乙为质点L的振动图像,由题图乙可知,t=1 s时质点L沿y轴负方向振动,则波沿x轴正向传播,D正确.
二、Δt时间后波形图的画法
1.特殊点法
找出一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点),画出这些特殊点在Δt时刻的位置,然后用正、余弦曲线连起来画出波的图像。如果Δt较长,可先表示为Δt=nT+Δt′,由于波的周期性,可以去整留零,只需画出特殊点在Δt′时刻的波的图像.特殊点法画波的图像较为简单易行.
2.平移法
算出波在Δt时间内传播的距离Δx=vΔt,把波形沿波的传播方向平移Δx.如果Δx较大,可化为Δx=nλ+Δx′,由于波的空间周期性,可以去整留零,只需平移Δx′,平移波形后一定要注意把图像补画完整.
[例2] (波形图的画法)(2025·广东汕头联考)如图甲为某波在t=1.0 s时的图像,图乙为该波上P质点的振动图像.
(1)求该波的波速;
【答案】 (1)4 m/s　
(2)画出Δt=3.5 s时的波形.
【答案】 (2)图见解析
三、波的多解问题
1.周期性
(1)时间周期性:相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同.因为题目中时间间隔Δt与周期T的关系不明确而容易造成多解.
(2)空间周期性:沿传播方向上,相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同.因为题目中质点间距离Δx与波长λ的关系不明确而容易造成多解.
2.双向性
(1)传播方向双向性:波的传播方向不确定.
(2)振动方向双向性:质点振动方向不确定.
[例3] (波的周期性造成的多解问题)(2025·广东汕尾联考)如图所示,实线是某时刻的波形图线,虚线是0.2 s后的波形图线.
(1)若波向右传播,求波速;
【答案】 (1)(20n+5) m/s(n=0,1,2,…)
(2)若波向左传播,求波速;
【答案】 (2)(20n+15) m/s(n=0,1,2,…)
(3)若波速为25 m/s,求波的传播方向.
【答案】 (3)向右传播
【解析】 (3)若波速为25 m/s,代入上述波速的式子,根据v=(20n+5) m/s
(n=0,1,2,…)可知,当n=1时,v=25 m/s,所以波向右传播.
解决波的多解问题的一般思路
(1)如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示,应首先按波传播方向的可能性进行讨论.
(2)对设定的传播方向,先从Δt和T(或Δx和λ)的关系入手,一般先确定最简单的情况,即一个周期内(或一个波长内)的情况,然后在此基础上加nT(或nλ).
(3)应注意题目是否有限制条件,如有的题目限制波的传播方向,或限制时间Δt大于或小于一个周期,所以解题时应综合考虑,认真分析.
·探究归纳·
[例4] (传播方向的双向性造成的多解问题)(2025·广东梅州月考)一列简谐横波在一均匀介质中传播的速度v=10 m/s,P、Q是该波传播过程中的两个质点,它们的平衡位置相距x=4 m,这列波的波长大于2 m而小于20 m.如图所示为在波的传播过程中P、Q两质点的振动图像.求:
(1)波在P和Q间传播所需要的时间Δt;
【答案】 (1)0.4 s
【解析】 (1)机械波在同一种均匀介质中传播
x=vΔt,解得Δt=0.4 s.
(2)该波的振动周期T.
【答案】 (2)见解析
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[学习目标]　1.会结合振动图像与波的图像分析波的综合问题.(重点) 2.理解形成波的多解的几种情况,掌握波的多解问题的解题方法.(难点)
一、波的图像与振动图像的综合分析
1.波的图像与振动图像的异同点
项目 振动图像 波的图像
不 同 点 图像
物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移
研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点
坐 标 横坐标 时间 各质点的平衡位置
纵坐标 某一质点在不同 时刻的振动位移 各质点在同一时 刻的振动位移
一个完整 波形信息 周期T 波长λ
相 同 点 图像形状 正(余)弦曲线
可获取 的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
2.求解波的图像与振动图像综合问题的三个关键
(1)分清振动图像与波的图像,横坐标为x的是波的图像,横坐标为t的是振动图像.
(2)看清横、纵坐标的单位,尤其要注意单位前的数量级.
(3)找准波的图像对应的时刻,找准振动图像对应的质点.
[例1] (对波的图像与振动图像的理解)(多选)一列简谐横波,在t=0.6 s时刻的图像如图甲所示,此时,P、Q两质点的位移均为-1 cm,波上A质点的振动图像如图乙所示,则下列说法正确的有(　　)
[A] 这列波沿x轴正方向传播
[B] 这列波的波速是 m/s
[C] 从t=0.6 s开始,紧接着的Δt=0.6 s时间内,A质点通过的路程是10 m
[D] P比Q早0.2 s回到平衡位置
【答案】 AB
【解析】 由题图乙可知t=0.6 s时A点振动方向向下,故波沿x轴正方向传播,故A正确;由题图甲可知波长为20 m,由题图乙可知周期为1.2 s,则波速为v== m/s,故B正确;t=0.6 s时,A质点处于平衡位置,又Δt=0.6 s=,所以A质点通过的路程为s=2A=4 cm,故C错误;题图甲所示时刻质点P沿y轴正方向运动,质点Q沿y轴负方向运动,此时P、Q两质点的位移均为 -1 cm,故质点P经过回到平衡位置,质点Q经过+回到平衡位置,故质点P比质点Q早的时间为+-=0.4 s,故D错误.
波的图像和振动图像的综合分析思路
[训练] (2025·广东广州月考)如图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在t=1 s时刻的图像,图甲中某质点的振动情况如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 该列横波的周期为0.4 s
[B] 质点K在1 s内沿x轴方向移动 0.2 m
[C] 如果图乙为质点K的振动图像,则波沿x轴正向传播
[D] 如果图乙为质点L的振动图像,则波沿x轴正向传播
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,该波的周期为T=2 s,A错误;质点K只能沿y轴振动,不能沿x轴移动,B错误;如果题图乙为质点K的振动图像,由题图乙可知,t=1 s时质点K沿y轴负方向振动,结合题图甲可知,波沿x轴负向传播,C错误;如果题图乙为质点L的振动图像,由题图乙可知,t=1 s时质点L沿y轴负方向振动,则波沿x轴正向传播,D正确.
二、Δt时间后波形图的画法
1.特殊点法
找出一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点),画出这些特殊点在Δt时刻的位置,然后用正、余弦曲线连起来画出波的图像。如果Δt较长,可先表示为Δt=nT+Δt′,由于波的周期性,可以去整留零,只需画出特殊点在Δt′时刻的波的图像.特殊点法画波的图像较为简单易行.
2.平移法
算出波在Δt时间内传播的距离Δx=vΔt,把波形沿波的传播方向平移Δx.如果Δx较大,可化为Δx=nλ+Δx′,由于波的空间周期性,可以去整留零,只需平移Δx′,平移波形后一定要注意把图像补画完整.
[例2] (波形图的画法)(2025·广东汕头联考)如图甲为某波在t=1.0 s时的图像,图乙为该波上P质点的振动图像.
(1)求该波的波速;
(2)画出Δt=3.5 s时的波形.
(3)求再经过5.5 s时P质点的路程s和位移.
【答案】 (1)4 m/s　(2)图见解析　(3)4.4 m　0
【解析】 (1)由题图甲得波长λ=4 m,由题图乙得周期T=1.0 s,所以波速v==4 m/s.
(2)方法一　平移法
由题图乙可知1.0 s时,质点P向y轴负方向振动,所以题图甲中的波沿x轴负方向传播,传播距离Δx=vΔt=4×3.5 m=14 m=(3+)λ,所以只需将波形沿x轴负方向平移λ=2 m,如图1所示.
方法二　特殊点法
如图2所示,在图中取两特殊质点a、b,因Δt=3.5 s=3T,舍弃3T,取,找出a、b两质点振动后的位置a′、b′,过a′、b′画出正弦曲线即可.
(3)因为n===5.5,再经过5.5 s时P质点的路程为s=4nA=4×5.5×0.2 m=4.4 m.
由波的重复性可知,经历时间为周期的整数倍时,位移不变,所以只需求出从题图所示时刻到P质点经T时的位移即可,故再经过5.5 s时质点P的位移仍为0.
三、波的多解问题
1.周期性
(1)时间周期性:相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同.因为题目中时间间隔Δt与周期T的关系不明确而容易造成多解.
(2)空间周期性:沿传播方向上,相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同.因为题目中质点间距离Δx与波长λ的关系不明确而容易造成多解.
2.双向性
(1)传播方向双向性:波的传播方向不确定.
(2)振动方向双向性:质点振动方向不确定.
[例3] (波的周期性造成的多解问题)(2025·广东汕尾联考)如图所示,实线是某时刻的波形图线,虚线是0.2 s后的波形图线.
(1)若波向右传播,求波速;
(2)若波向左传播,求波速;
(3)若波速为25 m/s,求波的传播方向.
【答案】 (1)(20n+5) m/s(n=0,1,2,…)
(2)(20n+15) m/s(n=0,1,2,…)
(3)向右传播
【解析】 (1)波向右传播时传播的距离为
s=(n+)λ=(4n+1) m(n=0,1,2,…),波速为v== m/s=(20n+5) m/s(n=0,1,2,…).
(2)波向左传播时传播的距离为
s=(n+)λ=(4n+3) m(n=0,1,2,…),
波速为v== m/s=(20n+15) m/s(n=0,1,2,…).
(3)若波速为25 m/s,代入上述波速的式子,根据v=(20n+5) m/s(n=0,1,2,…)可知,当n=1时,v=
25 m/s,所以波向右传播.
解决波的多解问题的一般思路
(1)如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示,应首先按波传播方向的可能性进行
讨论.
(2)对设定的传播方向,先从Δt和T(或Δx和λ)的关系入手,一般先确定最简单的情况,即一个周期内(或一个波长内)的情况,然后在此基础上加nT(或nλ).
(3)应注意题目是否有限制条件,如有的题目限制波的传播方向,或限制时间Δt大于或小于一个周期,所以解题时应综合考虑,认真分析.
[例4] (传播方向的双向性造成的多解问题)(2025·广东梅州月考)一列简谐横波在一均匀介质中传播的速度v=10 m/s,P、Q是该波传播过程中的两个质点,它们的平衡位置相距x=4 m,这列波的波长大于2 m而小于20 m.如图所示为在波的传播过程中P、Q两质点的振动图像.求:
(1)波在P和Q间传播所需要的时间Δt;
(2)该波的振动周期T.
【答案】 (1)0.4 s　(2)见解析
【解析】 (1)机械波在同一种均匀介质中传播
x=vΔt,解得Δt=0.4 s.
(2)①若波从P向Q传播
x=(n+)λ(n=0,1,2,…),
则λ= m(n=0,1,2,…),
由公式v=得
T= s= s(n=0,1,2,…),
因为2 m<λ<20 m,所以n只能取0或1,
故周期为T= s或T= s,
②同理,若波从Q向P传播
x=(n+)λ(n=0,1,2,…),
则λ= m(n=0,1,2,…),
T= s= s(n=0,1,2,…),
因为2 m<λ<20 m,所以n只能取0或1,
故周期为T=1.6 s或T=0.32 s.
课时作业
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　振动图像与波的图像的比较
1.(多选)(2025·广东河源期末)一列简谐横波在介质中沿x轴传播,甲图为某一时刻的波形图,质点P平衡位置横坐标为1.5 m.乙图为振动传递到质点P后,质点P的振动图像,下列说法正确的有(　　)
[A] 该简谐波的波长为4 m
[B] 该简谐波的频率为2 Hz
[C] 该简谐波的波速为2 m/s
[D] 从该时刻起,经过2 s,质点P通过的路程为 40 cm
【答案】 AC
【解析】 由题图甲知该简谐波的波长为λ=4 m,A正确;由题图乙知该简谐波的周期为T=2 s,因此其频率为f==0.5 Hz,B错误;该简谐波的波速为v==2 m/s,C正确;从该时刻起经过2 s,即经过一个周期,质点P通过的路程为s=4A=4×20 cm=80 cm,D错误.
2.(2025·广东深圳期末)图甲为一列简谐横波在某一时刻的图像,P、Q为平衡位置在x=2 m和x=4 m的两质点,图乙为质点P从该时刻开始计时的振动图像.下列说法正确的是(　　)
[A] 该波沿x轴负方向传播
[B] 质点Q在4 s内运动的路程为40 cm
[C] 该波波速为2 m/s
[D] 质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知质点P从该时刻开始沿y轴正方向运动,根据同侧法可知该波沿x轴正方向传播,A错误;由题图乙可知周期T=8 s,则质点Q在4 s内运动的路程为s=2A=2×10 cm
=20 cm,B错误;由题图甲可知波长λ=8 m,则该波波速为v==1 m/s,C错误;由题图乙可知质点P在t=4 s时沿y轴负方向运动,D正确.
知识点二　Δt时间后波形图的画法
3.(2025·广东揭阳期末)如图所示,实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线,经过0.3 s后,其波形曲线如图中虚线所示.若波沿x轴正方向传播(周期大于0.3 s),则该波的速度大小及周期分别为(　　)
[A] 0.5 m/s　0.4 s [B] m/s　0.4 s
[C] 0.5 m/s　1.2 s [D] m/s　1.2 s
【答案】 A
【解析】 由题图可得λ=20 cm,因为波沿x轴正方向传播,则T+nT=0.3 s(n=0,1,2,…),即T= s(n=0,1,2,…),又因为周期大于0.3 s,故n=0,则T=0.4 s,所以波速为v== m/s=0.5 m/s,故A正确.
4.(2025·广东深圳期末)一列简谐横波沿x轴正方向传播,a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置.某时刻的波形如图甲所示,此后,若经过周期开始计时,则图乙描述的是(　　)
[A] a处质点的振动图像
[B] b处质点的振动图像
[C] c处质点的振动图像
[D] d处质点的振动图像
【答案】 B
【解析】 因横波沿x轴正方向传播,由分析可知,经周期振动到平衡位置的质点为平衡位置在b、d处的质点,其中在b处的质点的振动方向沿y轴负方向,在d处的质点的振动方向沿y轴正方向,故选B.
知识点三　波的多解问题
5.(2025·广东佛山联考)如图所示,一列简谐横波向右传播,P、Q两质点平衡位置相距0.15 m.当P运动到上方最大位移处时,Q刚好运动到下方最大位移处,则这列波的波长可能是(　　)
[A] 0.60 m [B] 0.20 m
[C] 0.15 m [D] 0.10 m
【答案】 D
【解析】 由题意可知,P位于波峰时,Q位于波谷,故两点平衡位置间距0.15 m=+nλ(n=0,1,2,…),所以波长λ= m(n=0,1,2,…),当n=0时,λ=0.30 m;当n=1时,λ=0.10 m,故选项D正确.
6.一列简谐横波沿直线传播,该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图像如图所示,下列描述该波的图像不可能出现的是(　　)
[A] 　　[B]
[C] 　 　[D]
【答案】 B
【解析】 t=0时刻,a质点在波峰,b质点在平衡位置,且向下振动.若波由a传到b,则a、b间距 s=(n+)λ=9 m (n=0,1,2,3,…),解得λ= m (n=0,1,2,3,…),当n=0时λ=12 m,当n=1时λ= m,当n=2时λ= m,…;若波由b传到a,则a、b间距s=(n+)λ=9 m (n=0,1,2,3,…),解得λ= m (n=0,1,2,3,…),当n=0时λ=36 m,当n=1时λ= m,当n=2时λ=4 m,…,由以上分析知,B不可能出现,符合题意.
(选择题每题9分)
7.(2025·广东广州期末)如图所示,已知一列简谐横波沿x轴传播,实线和虚线分别是t1时刻和t2时刻的图像,已知t2=t1+ s,振动周期为0.5 s,则波的传播方向与t1～t2时间内的传播距离是(　　)
[A] 沿x轴正方向,6 m
[B] 沿x轴正方向,2 m
[C] 沿x轴负方向,6 m
[D] 沿x轴负方向,2 m
【答案】 B
【解析】 t1～t2时间内,波的传播时间Δt= s,而周期T=0.5 s,则Δt=,所以波的传播距离为=
2 m,由“微平移法”可知该波沿x轴正方向传播.故选B.
8.(2025·重庆沙坪坝阶段练习)战绳作为一项超燃脂的运动,十分受人欢迎.一次战绳练习中,某同学晃动战绳一端使其上下振动(可视为简谐振动)形成横波,如图甲所示.图乙、图丙分别是战绳上P、Q两质点的振动图像,传播方向为P到Q,波长大于1 m,小于3 m,P、Q两质点在波的传播方向上相距3 m,下列说法不正确的是(　　)
[A] t=0时刻,P质点的速度为0
[B] 该列波的波长可能为2.4 m
[C] 该列波的波速可能为 m/s
[D] P、Q两质点振动方向始终相反
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,t=0时刻,P质点处于正向最大位移处,速度为0,故A正确,与题意不符;由两质点的振动图像可得,Δx=nλ+λ(n=0,1,2,3,…),该波的周期为1.0 s,则v== m/s,由于1 m<λ<3 m,则n可取1,2,当n=1 时λ=2.4 m,v=2.4 m/s,当n=2时λ= m,v= m/s,故B、C正确,与题意不符;由两质点的振动图像可知,P、Q两质点振动方向不是始终相反,故D错误,与题意相符.
9.(13分)(2025·广东增城期末)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t1=0时刻的波形如图中实线所示,在t2=0.8 s时的波形如图中的虚线所示。
(1)(6分)求这列波可能的传播速度大小;
(2)(7分)若波的周期T>1 s,则从t1=0时刻开始计时,求质点M在0～1.6 s内运动的路程.
【答案】 (1)(5n+1.25) m/s(n=0,1,2,…)
(2)4 cm
【解析】 (1)由题图可知,波长λ=4 m,
Δt=t2-t1=0.8 s,
因波沿x轴正方向传播,则
Δt=(n+)T(n=0,1,2,…),
解得T= s(n=0,1,2,…),
波速为v=,
解得v=(5n+1.25) m/s(n=0,1,2,…).
(2)由题意知,T>1 s,
则n只有取0时满足条件,对应T=3.2 s,
因1.6 s=,A=2 cm,
则0～1.6 s内质点M运动的路程
s=2A=4 cm.
10.(13分)一列简谐横波的图像如图所示,t1时刻的波形如图中实线所示,t2时刻的波形如图中虚线所示,已知Δt=t2-t1=0.5 s.
(1)(3分)这列波的周期可能是多大
(2)(3分)这列波可能的波速表达式是怎样的
(3)(4分)若波向左传播,且3T<Δt<4T,波速为多大
(4)(3分)若波速v=68 m/s,则波向哪个方向传播
【答案】 见解析
【解析】 (1)(2)由题图可知波长λ=8 m,
当波向右传播时
Δt=nT1+(n=0,1,2,…),
T1= s(n=0,1,2,…),
v右==4(4n+1) m/s(n=0,1,2,…),
当波向左传播时
Δt=nT2+T2(n=0,1,2,…),
T2= s(n=0,1,2,…),
v左==4(4n+3) m/s(n=0,1,2,…).
(3)若波向左传播,且3T<Δt<4T,
则Δt=3T,解得T= s,
v1==60 m/s.
(4)Δt内波传播的距离为
x=vΔt=68×0.5 m=34 m=4λ,
故波向右传播.

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