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天津市河北区2025-2026学年度高三年级总复习质量检测（二）数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．以下结论错误的是（ ）
A．命题：“，”的否定为“，”
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D．回归直线一定过样本中心
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
7．数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（ ）
A．数据，，，…，的平均数是；
B．数据，，，…，的平均数是；
C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数：
D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数.
8．如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段AB的中点，，，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知为虚数单位，复数______.
11．二项式的展开式中，的系数为________.
12．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．
13．袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________.
14．是等腰直角三角形，，，点满足，点是线段BD上一点.如果，则________；若在上的投影向量为，则的最大值为________.
15．已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______.
三、解答题
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求的值：
(2)求的面积；
(3)求的值.
17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．
18．已知椭圆：的离心率为，，，且原点到直线AB的距离等于.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在直线，交椭圆于、两点，使得椭圆的右焦点为三角形BPQ的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
19．若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和；
(3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，有两个极值点，且，若，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：.
参考答案
1．D
【详解】由于，但，故不是的子集，A错误；B错误；，C错误，D正确.
2．A
【详解】当时，能得到；当时，不一定得到，可能是负值，因此“”是“”必要不充分条件，故答案为A．
3．C
【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 .
对数函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
对数函数 在 上单调递增，
所以 ，即 .
又 ，
，，
所以 ，即 ，所以 .
综上，.
4．C
【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么
，所以，，故B正确；
对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误；
对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确.
5．B
【详解】定义域为，且，
故为奇函数，可排除C；
又，可排除A、D；
故函数的大致图象为B.
6．A
【详解】由图像可知，函数最大值为，且，故，
最高点横坐标为，右侧零点横坐标为，因此，得周期.
由，，得.
将代入，得：
，解得，结合，得.
所以.
将向右平移个单位，得：.
选项A：当时，，在上单调递增，
故在上单调递增，正确.
选项B：的最小正周期，错误.
选项C：，故不是对称中心，错误.
选项D：，不是最值，正弦函数对称轴处函数取最值，
故不是对称轴，错误.
7．B
【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为
由等差数列性质，，故平均数为 A正确.
选项B，取，数列为项数3的等比数列，
设，，数列的平均数为 B错误.
选项C，由，，等差数列的中位数为，
等比数列的中位数为.
由均值不等式，（），故，C正确.
选项D，易知点在直线上，点在曲线上，
因为，所以如下图所示：
由图可知，当时，，
所以数列的前项和大于数列的前项和，
所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确．
8．B
【详解】取线段的中点E，连接，
因为，所以，
故三角形为等腰三角形，且．
在中，，
连接，又，点Q在双曲线C上，
所以由双曲线的定义可得，，故．
在中，由余弦定理得，
．
整理可得，所以，
故双曲线C的渐近线方程为．
故选：B
9．B
【详解】连接，由，，得四边形为平行四边形，
在四棱锥中，由平面，平面，得，
则为矩形，又四边形为矩形，于是，
四边形为平行四边形，令，连接，
由为线段的中点，得，即点是线段靠近点的三等分点，
点是线段的中点，则公共部分的体积
由，平面，得平面，而平面，
则，又，平面，于是平面，
在矩形中，为线段的中点，则
三棱锥的体积，
，点到平面的距离为点到平面距离的，
因此，所以公共部分的体积为：.
10．
【详解】.
故答案为：.
11．
【详解】，，
则，
即的系数为.
12．
【详解】由题意，，，设在第一象限，则，，则直线的方程为，以为直径的圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，
则圆截直线所得的弦长为，解得.
13．
解：（两个红球和一个白球）；
设事件为前两个是红球，事件为第三个是白球，
又，，所以，
即在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为.
14． 2
【详解】由知，在边的延长线上，且为的中点，
因为点是线段上一点，且，
所以，即.
因为，
由题意，，所以，
由得，
所以.
则，由于，所以，
令，则.
又因为，上下同除以一个得，
则问题转变成求的最小值.
根据对勾函数性质在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值.
，此时取得最大值：
.
15． ，；
【详解】时，，
当时，，
故单调递减区间为，
当时，单调递减，
故单调递减区间是，；
因为函数在上单调递减，而函数的值域是，
若，显然不符合题意，所以．
当时，函数单调递减，所以，即有，
所以，故函数在时的值域为.
因为在处取得最小值，
令，解得：或，所以函数在处取得最大值，
当时，，解得：．
综上：，即实数的取值范围是.
故答案为：；
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
故，由，得.
（2）因为，，由余弦定理，
得，，
解得，或（舍去）.
所以.
（3）由正弦定理，得，即，
因为为钝角，所以为锐角，，
，，
所以.
17．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
，，，，
又因为，分别为和的中点，得，．
可得为平面的法向量，，
由此可得，
又因为直线平面，所以平面．
（2）解：，，
设为平面的法向量，则，即
不妨设，可得．
设为平面的法向量，则，
又，得，
不妨设，可得．
因此有，
所以，平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）解：依题意，可设，其中，
则，从而，
又为平面的法向量，
由已知，得，
整理得，
又因为，解得，
所以，线段的长为．
18．(1)
(2)存在，
【详解】（1）由，得，
由点，，可知直线AB的方程为，即.
由于原点到直线AB的距离为，即，
得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）假设存在直线交椭圆于，两点，设，，
右焦点，，
因为为的垂心，所以，
因为，所以.
设直线的方程为，
由得，
由，，得，
且，，
因为，，，
故，，
即，
代入整理，得，
解得，或.
经检验，当时，不存在，故舍去，
当时，满足，所求直线存在，所以的方程为.
19．(1)，
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为为“型数列”，
所以，
即，所以数列是等差数列，
又，，所以的公差为，
故数列的通项公式为.
因为数列是“型数列”，所以，
又因为，也成立，所以为等比数列，
公比，因此.
（2）由（1）可得，
设，
因为，
故数列的前项的和为
.
（3）由，得，①
所以，②
由①－②，得，
所以.
又，，
假设存在实数，，，使得数列为“型数列”，
则，
即，
整理得，
所以解得，，，不满足，为非零常数，
因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”.
20．(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）（ⅰ）当时，函数，求导得，
由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根，
由，得，令函数，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则当时，，，
由，得，则，
令，则，，因此，
不等式等价于，令函数，
求导得，函数在上单调递增，
则，即，，于是，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，则
，
由（i）知，，令，求导得，
函数在上单调递减，则，即，
因此，令函数，
求导得，
函数在上单调递增，则，，
所以.

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