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天津市部分区2026届高三质量调查试卷（二）数学
一、单选题
1．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．设为等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．下列结论中正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若，则
D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个
7．函数的一个零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
8．把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆．记轴上的两个焦点为，在第一象限端点为，若点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
10．是虚数单位，___________．
11．在的展开式中，的系数为___________．（结果用数字作答）
12．若过点的直线与圆只有一个公共点，则的斜率为___________．
13．甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________．
14．在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________．
15．设，函数，若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是___________．
三、解答题
16．在中，角所对的边分别为．已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形的边长为2，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18．设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点．已知的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆相切，过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线，垂足分别为两点（两点不重合）．记直线的斜率分别为，求的取值范围．
19．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合；
(2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项．
（i）求；
（ii）令，求．
20．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)证明：．
参考答案
1．B
【详解】因为，又，
则.
2．A
【详解】若，则；
当时，不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
3．A
【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且，
因为定义域为，不符合题意，故排除B选项；
因为，
所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项；
因为，故不符合题意，故排除D选项；
因为，，
所以定义域为，为奇函数，且，
故的解析式可能为，A符合题意.
4．D
【详解】因为，则，所以.
5．A
【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确；
对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误；
对于C，由，可得或，故C错误；
对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱，
显然满足，但得不到，故D错误.
6．C
【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强，
相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误
在B选项中，正态分布的对称轴为，由得：
，根据正态分布的对称性可知：
，所以，
所以，B错误，
在C选项中，根据条件概率公式可得：
，C正确，
在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误.
7．C
【详解】定义域为，，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
其中，故，，，
由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为，
其他选项均错误.
8．D
【详解】，
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数，
再把图象向右平移个单位长度得：
．
9．B
【详解】设，
因为在第一象限端点为，所以点为抛物线和的交点，
将两边平方得到，
将代入得到，
解得，
将代入解得，则，
则，
，
因为点在以为焦点的双曲线上，
，
，则离心率为，故选项B正确.
10．/
【详解】由于，
所以.
11．
【详解】根据二项式定理，可得其展开式中第项的通项公式为，
化简可得，
令，解得，所以展开式的第项为，
所以的系数为.
12．
【详解】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
即，
圆，即，圆心为，半径为，
直线与圆只有一个公共点，所以，
解得.
13．
【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为，
故所求概率为.
第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为；
第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为.
由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为.
14． /
【详解】设，其中，
则
，
由于，
所以，则为正数，
且.
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
15．
【详解】由题可得，
当时，，，
则可以转化为：，
即，得，解得，不满足，故舍去；
当时，，，
则可以转化为：，即，
设，则，
令，解得，
当时，，则在 单调递增，
则，即，
当，方程在上有1个根；
当或，方程在有0个根.
当时，，，
则可以转化为：，即，
令，则，解得，即，
由，得，
由，得，
故当时，方程在内有2个根；
当时，方程在内有1个根；
当时，方程在内有0个根；
因为关于的方程恰有一个根，
综上所述，的取值范围是.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，，，.
根据余弦定理，
将，，代入，
可得，
因为为三角形的边长，即，所以.
（2）因为是三角形内角，则，所以.
由，可得.
，，
，.
，为钝角，为锐角，
.
（3），，
，
，
.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）补全直四棱柱，则底面是边长为2的正方形，连接，则，
由直四棱柱的性质可知，平面，平面，
，
直四棱柱中，，
又平面，
由线面垂直判定定理得，平面．
（2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
已知正方形的边长为2，，
则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
．
（3）已知点在线段上，且，则，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
由（2）知平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，则
．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由已知，点，有上顶点，，为直角三角形，
所以，因此，解得，
，
故椭圆的离心率.
（2）由已知，椭圆的右顶点为，是椭圆的切线，
而直线与椭圆相切，所以，
由（1）知，所以，故椭圆的方程为.
对于直线，
①斜率不存在时，直线，
此时，
则，所以；
②当斜率时，直线，此时两点重合，不符合题意，所以；
③当斜率存在且时，直线，
设点，点，则点，点，如下图，
联立椭圆与直线方程：，消去，得，
所以，又，
所以，
其中，
且，
所以，
令，则，
代入得，
因为，所以，则，即.
综上，的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由题意可知数列，得
，
则；
（2）（i）设等比数列的公比为，
由题意可知，，
解得或（不符合题意舍去），
所以，
此时数列，
因为，
所以集合中元素最多为个，即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，
故由得到彼此互异，
所以；
（ii），
，
则
.
20．(1)
(2)证明过程见解析；
(3)证明过程见解析
【详解】（1）由题可知，
，则，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）要证明，即证，
即证，
令，定义域为，显然，
则，其中，
当时，令，则，
其中，，故，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递增，
所以恒成立，从而，当时，等号成立；
（3）由（2）知，当时，，
即，当时，，
故，
故

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