资源简介

广西壮族自治区玉林市北流市2025-2026学年八年级下学期期中适应性训练数学试卷
1．要使二次根式 有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．- 1 C．- 2 D．- 3
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．六边形的内角和是（　　）
A．180° B．720° C．900° D．360°
6．计算 的结果为9，则“△”中的运算符号为（　　）
A．“+” B．“-” C．“×” D．“÷”
7．一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
8．则a的值可以是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾a=6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．
11．下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
12．如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， E是AC的中点， F是BD的中点，若∠BAC=15°， ∠DAC=45°， CD=2，则EF的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
13．计算：　 　．
14．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是　 　．
15．已知 则 　 　.
16．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°.
17．计算：
（1）
（2）
18．如图，正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上，每个小方格的边长均为1.
（1）求出AB， AC， BC的长；
（2）求证：∠BAC=90°.
19．如图，已知在△ABC中，尺规作图步骤如下：
①作∠BAC 的平分线，交BC 于点D.
②作AD 的垂直平分线，分别交AB，AC 于点E，F.
（1）请将步骤②中的图形补充完整(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接DE，DF .求证：四边形AEDF 为菱形.
20．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米。如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米.
（1）求B处与地面的距离；
（2）完成B处的救援后，消防员发现B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米
21．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.【探究发现】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明.
如图①，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点， 连接DE .求证：DE∥BC ，且 图①
方法一： 证明： 如图②，延长DE至点F， 使得EF=DE，连接AF ， CF， CD. 图②
方法二： 证明：如图③，过点E作EG∥AB， 交BC于点G，过点A作AF∥BC， 交GE的延长线于点F. 图③
22．综合与实践
项目背景 本校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究
素材一 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树.
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： (1)画出由不同类型的三角形形成的树形图； (2)所画的基础三角形周长均为12cm ，其中一条边长固定为4cm，根据规则，三名同学分别画出了如下三种不同类型的树形图并进行探究.
素材三 类型一： 类型二： 类型三：
解决问题
任务一 如图①，小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC ， BC=4cm， 则 ▲ cm2
任务二 如图②，小红画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°， EF=4cm， 求S2的值.
任务三 如图③，小亮画出了钝角三角形GHI ， ∠GIH =120°，HI=4cm， 求S2的值.
23．探究与证明
如图①，在正方形ABCD中， E， F，G分别是线段BA， DA， CB上的点，连接CE，CF， FG， 已知BE=DF，CF=GF.
（1）【基础感知】线段CE与GF 的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【猜想证明】如图②，若点E， F ， G 分别在线段BA， DA， CB的延长线上时第(1)中的结论是否依然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展延伸】若点E，F ，G 分别在射线BA，DA，CB上，AB=9，当.BE=2AE时，请直接写出线段BG的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x≥0
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；
C：42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和是：(6-2)×180°=720°
故答案为：B
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个菱形的面积等于
故答案为：A
【分析】根据菱形的面积即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-a≥0
解得：a≤1
故答案为：D
【分析】根据二次根式的非负性即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点
∴
∵AB=DC
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理，结合平行四边形性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
股(b)=a+2=8
∴
故答案为：A
【分析】由题意可得b=8，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误，不符合题意；
C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
D：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接BE，ED
∵∠ADC=90°，∠DAC=45°
∴△ACD为等腰直角三角形
∴AD=CD=2
∴
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，E为AC中点
∴，DE⊥AC
∴CE=DE，∠EBA=∠BAC=15°，∠DEC=90°
∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=30°
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=120°
∵BE=DE
∴∠EBC=∠EDB=30°
∵F为BD的中点
∴EF⊥BD
∴∠EFD=90°
∴
故答案为：D
【分析】连接BE，ED，根据等腰直角三角形判定定理可得△ACD为等腰直角三角形，则AD=CD=2，根据勾股定理可得AC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，DE⊥AC，则CE=DE，∠EBA=∠BAC=15°，∠DEC=90°，根据等边对等角可得∠EBC=∠EDB=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：3
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，n是正整数，是整数，
∴n的最小值是2；
故答案为：2
【分析】由，n是正整数，是整数，结合算术平方根的含义可得答案．
15．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：
【分析】根据平方差公式化简代数式，再将a，b值代入，结合二次根式的乘法即可求出答案.
16．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵△AEF为等边三角形
∴AF=AE，∠FAE=60°
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE
∴
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°
故答案为：75
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式=2-1
=1
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由勾股定理得
（2）证明：由(1)知
∴ △ABC 是直角三角形且∠BAC=90°
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：作图如图①所示.
（2）解：如图②，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
∵ EF 垂直平分线段 AD
∴EA=ED，FA=FD
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA
∴∠EDA=∠DAF，∠BAD=∠ADF
∴DE//AF，AE//DF
∴四边形 AEDF 是平行四边形
∵ EA=ED.
∴四边形 AEDF 是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠CAD=∠BAD，根据垂直平分线性质可得EA=ED，FA=FD，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，根据直线平行判定定理可得DE//AF，AE//DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
20．【答案】（1）解：在 Rt△OAB 中，AB=25 米，OA=15 米
=20(米)，
∵OE=4 米，
∴BE=OB+OE=20+4=24(米)，
∴B 处与地面的距离是 24 米
（2）解：由题意得 BD=4 米，
∵CD=25米， OD=OB+BD=20+4=24(米)
=7(米)，
∴AC=OA-OC=15-7=8(米)
∴消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】解：选方法一：
证明：由题意可得 AE=EC，DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴ AD=CF，AD//CF，
而D是AB的中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∵BD//CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF//BC，DF=BC，
而DE=EF
选方法二：
证明： ∵ AF//BC
∴∠EAF=∠C，∠F=∠CGF
∵AE=CE
∴△AEF≌△CEG(AAS)
∴AF=CG，EF=EG
∵AF//BG，AB//FG，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AB=FG，AF=BG.
∵AD=BD，EF=EG
∴ BD=EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE//BG，DE=BG=AF=CG
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选方法一：根据平行四边形判定定理可得四边形 ADCF 是平行四边形，则AD=CF，AD//CF，根据线段中点可得AD=BD，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
选方法二：根据直线平行性质可得∠EAF=∠C， ∠F=∠CGF，根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△CEG(AAS) ，则AF=CG， EF=EG ，再根据平行四边形判定定理可得四边形 ABGF 是平行四边形，则AB=FG， AF=BG，再根据边之间的关系可得BD=EG，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】解：任务一： 16
任务二：∵DE+EF+DF=12cm， EF=4cm，
∴DE+DF=8cm.
∴DE=(8-DF) cm.
在 Rt△DEF中，由勾股定理，得
∴DF=3cm
任务三：如图，过点H作HM⊥GI，交GI的延长线于点 M，则∠M=90°，
∵∠GIH=120°，
∴∠MHI=∠GIH-∠M=30°
由勾股定理，得
设 GI=a cm，则 GM=GI+IM=(a+2) cm，GH=(8-a) cm.
在 Rt△GHM 中，由勾股定理，得
即
解得
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股数；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：任务一：∵△ABC的周长为12，AB=AC ， BC=4cm
∴
∴S2=AC2=16
故答案为：16
【分析】任务一：根据三角形周长可得AC，再根据正方形面积即可求出答案.
任务二：根据三角形周长可得DE，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DF，再根据正方形面积即可求出答案.
任务三：过点H作HM⊥GI，交GI的延长线于点 M，则∠M=90°，根据角之间的关系可得∠MHI，根据含30°角的直角三角形性质可得IM，再根据勾股定理可得HM，设 GI=a cm，则 GM=GI+IM=(a+2) cm，GH=(8-a) cm，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）CE=GF；CE⊥GF
（2）解：CE=GF，CE⊥CF 依然成立，
证明：如图，延长GF交CE于点H.
∵GF=CF
∴∠FGC=∠FCG
∵四边形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠EBC=∠D=∠BCD=90°
又 ∵BE=DF
∴△EBC≌△FDC(SAS)
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF
∵GF=CF
∴CE=GF
∵∠FCG+∠DCF=∠BCD=90°
∴∠FGC+∠BCE=90°
∴∠GHC=180-∠FGC-∠BCE=90°
即CE⊥GF
（3）BG的长为3或27
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点F作FI⊥BC于点I，设FG交CE于点H
∵GF=CF
∴∠GFI=∠CFI，∠FIG=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=CB，∠EBC=∠FDC=∠BCD=90°
在△EBC和△FDC中
∴△EBC≌△FDC(SAS)
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF
∵GF=CF
∴CE=GF
∵∠FIG=∠BCD=90°
∴FI∥DC
∴∠DCF=∠CFI
∵∠BCE=∠DCF
∴∠BCE=∠CFI
∵∠CHG=180°-∠FGI-∠BCE，∠FIG=180°-∠FGI-∠GFI=90°
∴∠CHG=180°0∠FGI-∠GFI=90°
∴∠CHG=∠FIG=90°
∴CE⊥GF
故答案为：CE=GF；CE⊥GF
（3）如图，当点E，F，G分别在BA，DA，CB上时
同（1）可得，△EBC≌△FDC
∴DF=BE
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，BC=BA=9
∵FI∥DC
∴四边形FICD是平行四边形
∴DF=CI
∵AB=9，BE=2AE
∴BE=6
∴CG=2CI=2FD=2BE=12
∴BG=CG-BC=3
如图，当点E，F，G分别在BA，DA，CB的延长线上时
由（2）可得，△EBC≌△FDC
∴DF=BE
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，BC=BA=9
∵FI∥DC
∴四边形FICD是平行四边形
∴DF=CI
∵AB=9，BE=2AE
∴BE=18
∴CG=2CI=2FD=2BE=36
∴BG=CG-BC=27
综上所述，BG的长为3或27
【分析】 （1）过点F作FI⊥BC于点I，设FG交CE于点H，根据等边对等角可得∠GFI=∠CFI，根据正方形性质可得CD=CB，∠EBC=∠FDC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△EBC≌△FDC(SAS)，则CE=CF，∠BCE=∠DCF，根据边之间的关系可得CE=GF，根据直线平行判定定理可得FI∥DC，则∠DCF=∠CFI，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长GF交CE于点H，根据等边对等角可得∠FGC=∠FCG ，根据正方形性质可得CB=CD，∠EBC=∠D=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△EBC≌△FDC(SAS) ，则CE=CF，∠BCE=∠DCF，根据边之间的关系可得CE=GF，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点E，F，G分别在BA，DA，CB上时，当点E，F，G分别在BA，DA，CB的延长线上时，同（1）可得，△EBC≌△FDC，则DF=BE，根据平行四边形判定定理可得四边形FICD是平行四边形，则DF=CI，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区玉林市北流市2025-2026学年八年级下学期期中适应性训练数学试卷
1．要使二次根式 有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．- 1 C．- 2 D．- 3
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x≥0
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；
C：42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
D：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．六边形的内角和是（　　）
A．180° B．720° C．900° D．360°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和是：(6-2)×180°=720°
故答案为：B
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
6．计算 的结果为9，则“△”中的运算符号为（　　）
A．“+” B．“-” C．“×” D．“÷”
【答案】C
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
7．一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个菱形的面积等于
故答案为：A
【分析】根据菱形的面积即可求出答案.
8．则a的值可以是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵
∴1-a≥0
解得：a≤1
故答案为：D
【分析】根据二次根式的非负性即可求出答案.
9．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点
∴
∵AB=DC
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理，结合平行四边形性质即可求出答案.
10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾a=6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
股(b)=a+2=8
∴
故答案为：A
【分析】由题意可得b=8，再根据勾股定理即可求出答案.
11．下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误，不符合题意；
C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
D：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， E是AC的中点， F是BD的中点，若∠BAC=15°， ∠DAC=45°， CD=2，则EF的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接BE，ED
∵∠ADC=90°，∠DAC=45°
∴△ACD为等腰直角三角形
∴AD=CD=2
∴
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，E为AC中点
∴，DE⊥AC
∴CE=DE，∠EBA=∠BAC=15°，∠DEC=90°
∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=30°
∴∠BED=∠BEC+∠DEC=120°
∵BE=DE
∴∠EBC=∠EDB=30°
∵F为BD的中点
∴EF⊥BD
∴∠EFD=90°
∴
故答案为：D
【分析】连接BE，ED，根据等腰直角三角形判定定理可得△ACD为等腰直角三角形，则AD=CD=2，根据勾股定理可得AC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，DE⊥AC，则CE=DE，∠EBA=∠BAC=15°，∠DEC=90°，根据等边对等角可得∠EBC=∠EDB=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．计算：　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：3
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
14．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，n是正整数，是整数，
∴n的最小值是2；
故答案为：2
【分析】由，n是正整数，是整数，结合算术平方根的含义可得答案．
15．已知 则 　 　.
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：
【分析】根据平方差公式化简代数式，再将a，b值代入，结合二次根式的乘法即可求出答案.
16．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°.
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵△AEF为等边三角形
∴AF=AE，∠FAE=60°
在Rt△ADF和Rt△ABE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE
∴
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°
故答案为：75
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2-1
=1
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
18．如图，正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上，每个小方格的边长均为1.
（1）求出AB， AC， BC的长；
（2）求证：∠BAC=90°.
【答案】（1）解：由勾股定理得
（2）证明：由(1)知
∴ △ABC 是直角三角形且∠BAC=90°
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
19．如图，已知在△ABC中，尺规作图步骤如下：
①作∠BAC 的平分线，交BC 于点D.
②作AD 的垂直平分线，分别交AB，AC 于点E，F.
（1）请将步骤②中的图形补充完整(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接DE，DF .求证：四边形AEDF 为菱形.
【答案】（1）解：作图如图①所示.
（2）解：如图②，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
∵ EF 垂直平分线段 AD
∴EA=ED，FA=FD
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA
∴∠EDA=∠DAF，∠BAD=∠ADF
∴DE//AF，AE//DF
∴四边形 AEDF 是平行四边形
∵ EA=ED.
∴四边形 AEDF 是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠CAD=∠BAD，根据垂直平分线性质可得EA=ED，FA=FD，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，根据直线平行判定定理可得DE//AF，AE//DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
20．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米。如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米.
（1）求B处与地面的距离；
（2）完成B处的救援后，消防员发现B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米
【答案】（1）解：在 Rt△OAB 中，AB=25 米，OA=15 米
=20(米)，
∵OE=4 米，
∴BE=OB+OE=20+4=24(米)，
∴B 处与地面的距离是 24 米
（2）解：由题意得 BD=4 米，
∵CD=25米， OD=OB+BD=20+4=24(米)
=7(米)，
∴AC=OA-OC=15-7=8(米)
∴消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.【探究发现】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明.
如图①，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点， 连接DE .求证：DE∥BC ，且 图①
方法一： 证明： 如图②，延长DE至点F， 使得EF=DE，连接AF ， CF， CD. 图②
方法二： 证明：如图③，过点E作EG∥AB， 交BC于点G，过点A作AF∥BC， 交GE的延长线于点F. 图③
【答案】解：选方法一：
证明：由题意可得 AE=EC，DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴ AD=CF，AD//CF，
而D是AB的中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∵BD//CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF//BC，DF=BC，
而DE=EF
选方法二：
证明： ∵ AF//BC
∴∠EAF=∠C，∠F=∠CGF
∵AE=CE
∴△AEF≌△CEG(AAS)
∴AF=CG，EF=EG
∵AF//BG，AB//FG，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AB=FG，AF=BG.
∵AD=BD，EF=EG
∴ BD=EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE//BG，DE=BG=AF=CG
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选方法一：根据平行四边形判定定理可得四边形 ADCF 是平行四边形，则AD=CF，AD//CF，根据线段中点可得AD=BD，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
选方法二：根据直线平行性质可得∠EAF=∠C， ∠F=∠CGF，根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△CEG(AAS) ，则AF=CG， EF=EG ，再根据平行四边形判定定理可得四边形 ABGF 是平行四边形，则AB=FG， AF=BG，再根据边之间的关系可得BD=EG，再根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
22．综合与实践
项目背景 本校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究
素材一 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树.
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： (1)画出由不同类型的三角形形成的树形图； (2)所画的基础三角形周长均为12cm ，其中一条边长固定为4cm，根据规则，三名同学分别画出了如下三种不同类型的树形图并进行探究.
素材三 类型一： 类型二： 类型三：
解决问题
任务一 如图①，小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC ， BC=4cm， 则 ▲ cm2
任务二 如图②，小红画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°， EF=4cm， 求S2的值.
任务三 如图③，小亮画出了钝角三角形GHI ， ∠GIH =120°，HI=4cm， 求S2的值.
【答案】解：任务一： 16
任务二：∵DE+EF+DF=12cm， EF=4cm，
∴DE+DF=8cm.
∴DE=(8-DF) cm.
在 Rt△DEF中，由勾股定理，得
∴DF=3cm
任务三：如图，过点H作HM⊥GI，交GI的延长线于点 M，则∠M=90°，
∵∠GIH=120°，
∴∠MHI=∠GIH-∠M=30°
由勾股定理，得
设 GI=a cm，则 GM=GI+IM=(a+2) cm，GH=(8-a) cm.
在 Rt△GHM 中，由勾股定理，得
即
解得
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股数；正方形的性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：任务一：∵△ABC的周长为12，AB=AC ， BC=4cm
∴
∴S2=AC2=16
故答案为：16
【分析】任务一：根据三角形周长可得AC，再根据正方形面积即可求出答案.
任务二：根据三角形周长可得DE，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DF，再根据正方形面积即可求出答案.
任务三：过点H作HM⊥GI，交GI的延长线于点 M，则∠M=90°，根据角之间的关系可得∠MHI，根据含30°角的直角三角形性质可得IM，再根据勾股定理可得HM，设 GI=a cm，则 GM=GI+IM=(a+2) cm，GH=(8-a) cm，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．探究与证明
如图①，在正方形ABCD中， E， F，G分别是线段BA， DA， CB上的点，连接CE，CF， FG， 已知BE=DF，CF=GF.
（1）【基础感知】线段CE与GF 的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【猜想证明】如图②，若点E， F ， G 分别在线段BA， DA， CB的延长线上时第(1)中的结论是否依然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展延伸】若点E，F ，G 分别在射线BA，DA，CB上，AB=9，当.BE=2AE时，请直接写出线段BG的长度.
【答案】（1）CE=GF；CE⊥GF
（2）解：CE=GF，CE⊥CF 依然成立，
证明：如图，延长GF交CE于点H.
∵GF=CF
∴∠FGC=∠FCG
∵四边形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠EBC=∠D=∠BCD=90°
又 ∵BE=DF
∴△EBC≌△FDC(SAS)
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF
∵GF=CF
∴CE=GF
∵∠FCG+∠DCF=∠BCD=90°
∴∠FGC+∠BCE=90°
∴∠GHC=180-∠FGC-∠BCE=90°
即CE⊥GF
（3）BG的长为3或27
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点F作FI⊥BC于点I，设FG交CE于点H
∵GF=CF
∴∠GFI=∠CFI，∠FIG=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=CB，∠EBC=∠FDC=∠BCD=90°
在△EBC和△FDC中
∴△EBC≌△FDC(SAS)
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF
∵GF=CF
∴CE=GF
∵∠FIG=∠BCD=90°
∴FI∥DC
∴∠DCF=∠CFI
∵∠BCE=∠DCF
∴∠BCE=∠CFI
∵∠CHG=180°-∠FGI-∠BCE，∠FIG=180°-∠FGI-∠GFI=90°
∴∠CHG=180°0∠FGI-∠GFI=90°
∴∠CHG=∠FIG=90°
∴CE⊥GF
故答案为：CE=GF；CE⊥GF
（3）如图，当点E，F，G分别在BA，DA，CB上时
同（1）可得，△EBC≌△FDC
∴DF=BE
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，BC=BA=9
∵FI∥DC
∴四边形FICD是平行四边形
∴DF=CI
∵AB=9，BE=2AE
∴BE=6
∴CG=2CI=2FD=2BE=12
∴BG=CG-BC=3
如图，当点E，F，G分别在BA，DA，CB的延长线上时
由（2）可得，△EBC≌△FDC
∴DF=BE
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，BC=BA=9
∵FI∥DC
∴四边形FICD是平行四边形
∴DF=CI
∵AB=9，BE=2AE
∴BE=18
∴CG=2CI=2FD=2BE=36
∴BG=CG-BC=27
综上所述，BG的长为3或27
【分析】 （1）过点F作FI⊥BC于点I，设FG交CE于点H，根据等边对等角可得∠GFI=∠CFI，根据正方形性质可得CD=CB，∠EBC=∠FDC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△EBC≌△FDC(SAS)，则CE=CF，∠BCE=∠DCF，根据边之间的关系可得CE=GF，根据直线平行判定定理可得FI∥DC，则∠DCF=∠CFI，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长GF交CE于点H，根据等边对等角可得∠FGC=∠FCG ，根据正方形性质可得CB=CD，∠EBC=∠D=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△EBC≌△FDC(SAS) ，则CE=CF，∠BCE=∠DCF，根据边之间的关系可得CE=GF，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点E，F，G分别在BA，DA，CB上时，当点E，F，G分别在BA，DA，CB的延长线上时，同（1）可得，△EBC≌△FDC，则DF=BE，根据平行四边形判定定理可得四边形FICD是平行四边形，则DF=CI，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑