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浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，且，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．5
2．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充要
C．充分不必要 D．既不充分也不必要
3．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ）
A．16 B． C． D．
6．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A． B． C．11 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若，则
C．若，则
D．若，则事件与事件相互独立
10．在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在平面上
B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为
C．若，则的最小值为
D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为
11．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．则下列选项正确的是（ ）
A．若被直线分隔，则
B．若直线是曲线的分割线，则
C．曲线存在分隔线
D．曲线，有且仅有一条过原点的分隔线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线．若，则实数的值为　 　．
13．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为　 　．
14．已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且．
（1）求事件“”发生的概率；
（2）求事件“”发生的概率．
16．如图，在四面体中，，．
（1）求二面角的平面角的大小；
（2）求异面直线与间的距离．
17．在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）当直线与圆相切时，求实数的值．
（3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．
（1）求四棱锥的体积的最大值：
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
19．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于．
（i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
（ii）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直的坐标运算列式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：化简，可得，
若方程表示圆，则，解得或，
由于为或的真子集，
则方程表示圆是的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】化方程为，根据方程表示圆，列关于m的不等式求得的取值范围，再根据集合的包含关系，集合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意有，
，
则，即.
故答案为：B.
【分析】以为基底，利用空间向量基本定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意有，，，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用古典概型概率公式求得事件的概率，再根据独立事件的定义逐一验证即可.
5．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧，
故取值最小时，三点共线，通过点作于，
则，又，故，
所以，解得，从而，
因此.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，最小时，得到在平面的交线上，此时三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.
6．【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又因为点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，
联立得交点为（舍去第四象限的点），
所以与两点所在直线，与垂直，则.
故答案为：D.
【分析】易知在圆上，由直线经过该圆的圆心，确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，联立两圆方程，求出交点坐标，再利用垂直关系求参数k即可.
7．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，点在底面的投影为，且，
所以平面，又因为平面，所以，
过作于，连接，如图所示：
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，，又，
所以，所以，所以，
又，
在中，可得，
在中，，
设到平面的距离为，
由，可得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】点在底面的投影为，且，利用线面垂直的性质可得，过作于，连接，由题意求得，设到平面的距离为，利用等体积法，求点到面的距离即可.
8．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则
，
同理，，
由向量三角不等式，，
又，
所以，当且仅当与共线反向时，取等号，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，，利用向量的数量积运算以及向量模的运算求得，同理，再由向量三角不等式求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由，若，则事件与事件不是对立事件，
若，则事件与事件互为对立事件，故A错误；
B、若，则，故B正确；
C、若，所以，所以，
所以，故C正确；
D、若 ，所以，即，
所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由，根据对立事件的定义即可判断A；根据事件的包含关系求解即可判断B；先利用条件概率求，根据对立事件的概率公式求得，再根据条件概率的乘法公式求解即可判断C；利用并事件的概率公式，结合独立事件的定义即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当时，可得，，
则点在平面上，故A正确；
B、因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值，
要使与面所成角最小，则的值最大，由题意，
故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误；
C、当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离，
由勾股定理可得，，
，
由余弦定理可得，
，则，
设到平面的距离为，由，
得，则，解得，故C错误；
D、当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧，
圆弧交于点，可得，所以，
所以，所以，
当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心，
2为半径的圆的，所以轨迹长度为，
在平面内的轨迹与在内的相同为，
在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为，
所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】当时，根据向量的线性运算化简求得即可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小即可判断B；当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离，利用余弦定理，结合等体积法求得最小值即可判断C；当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧，求得轨迹长即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，故A正确；
B、作出函数的图像是函数的分割线，
若直线是曲线的分割线，则，故B正确；
C、因为曲线是封闭曲线，所以曲线不存在分隔线，故C错误；
D、因为，所以，所以，当时，，因为，所以，
作出函数的大致图像，如图所示：
由图可知：为分割线，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得，解不等式求得a的范围即可判断A；作出直线和曲线的图像，数形结合即可判断B；曲线是封闭曲线，则曲线不存在分隔线即可判断C；化简曲线为，作出函数的大致图像，数形结合即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为，所以，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，两直线重合，不合题意，
综上，.
故答案为：2.
【分析】根据两直线平行的判定列式求得参数值，注意验证即可.
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得该直线经过圆心，易知直线的斜率为，
则该直线的方程为，倾斜角为，
因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为，
中，当时，，
从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点，
所以射出的直线方程为，即，
又因为该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径，即.
故答案为：.
【分析】由题意可知直线经过圆心，利用斜率公式求直线的斜率，再利用点斜式求得过的直线方程，再求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解即可.
14．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，过作交与，如图所示：
设，因为，
所以，，
设，，
又因为和为异面直线，所以，
直线的一个方向向量为，，
设异面直线和所成角为，
则，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，过作交与，设，求得 点，设的坐标，已知，且，利用空间向量法求解即可.
15．【答案】（1）解：，则或，
又不放回的依次取出2个球共有，
共20种情况，
则事件“”发生的概率为；
（2）解：，，因为，所以，
所以共14种情况符合，
则事件“”发生的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求得或，再利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据向量的模长公式，结合古典概型的概率公式求解即可.
（1），
所以或，
又不放回的依次取出2个球共有
共20种情况，
所以事件“”发生的概率为.
（2），，
因为，所以，
所以共14种情况符合，
所以事件“”发生的概率为.
16．【答案】（1）解：取中点，连接，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
又，所以，，
又，所以是等边三角形，
所以，所以二面角的平面角的大小为；
（2）解：以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，
为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由（1）可知，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
则，
则，
设，且，
则，令，则，
则，
则异面直线与间的距离．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意可得，为二面角的平面角，求解即可；
（2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
（1）取中点，连接，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
又，所以，，
又，所以是等边三角形，
所以，所以二面角的平面角的大小为；
（2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）可知，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
则，
则，
设，且，
则，令，则，
则，
则异面直线与间的距离．
17．【答案】（1）解：设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上，则，
因为利用圆经过点和，所以，
两边平方后得，
整理得，又，解得，，所以圆心为，
的以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）解：因为，
由题意可得 的距离为，所以，
两边平方，化简得，解得或；
（3）解：直线整理可得，
由，解得，则直线经过定点，
因为，所以点在圆外，
设过的直线与圆的切点为，
则，又因为，所以，
所以当为定点时，为定值.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为 ，由圆心在直线 上，可得，利用距离公式求得，联立求得圆心坐标与半径，即可得圆的标准方程；
（2）利用点到直线的距离公式化简求解即可；
（3）化直线方程为，令求得直线经过定点，判断点在圆外，设过的直线与圆的切点为，可得，当为定点，符合题意.
（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上，
则，
因为利用圆经过点和，所以，
两边平方后得，
整理得，又，解得，，所以圆心为，
的以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）因为，
由题意可得 的距离为，所以
两边平方，化简得，解得或；
（3）直线的方程为
即，
由，解得，所以直线经过定点，
又，所以点在圆外，
设过的直线与圆的切点为，
则有，又，
所以
所以当为定点时，为定值.
18．【答案】（1）解：设与相交于点，连接，
因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，，
又因为，所以，
所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值，
此时，
所以四棱锥的体积取得最大值；
（2）解：设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（1）知平面，
又平面，所以，
则，即为等边三角形，，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
，解得，
则，即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：因为，所以，即，所以，
因为是正方形，所以，
又因为平面，所以平面，
所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
则，
设平面的一个法向量，则，
不妨取，所以，
设平面的一个法向量，
同理可得，
，
故平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设与相交于点，连接，由题知，则当平面时，四棱锥的体积的取得最大值，利用棱锥的体积公式求解即可；
（2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，由（1）知平面，根据等体积法求出点点到平面的距离为，利用求解即可；
（3）由题意，利用线面垂直的判定证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角，再利用平面与平面夹角与法向量的关系，求出两法向量夹角的余弦值的最大值即可.
（1）设与相交于点，连接，
因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，，
又，所以，
所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值，
此时，
所以四棱锥的体积取得最大值.
（2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（1）知平面，
又平面，所以，
则，即为等边三角形，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
所以，
解得，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3），，即，
，是正方形，，
又平面，所以平面，
所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系，
设，
则，
设平面的一个法向量，
则，
不妨取，所以，
设平面的一个法向量，
同理可得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
19．【答案】（1）解：由题意得，则，
设，则，
化简得；
（2）解：（i）设，则以为直径的圆为：，
与方程作差可得直线为：.
即，则，解得，
则过定点；
（ii）首先证明一个结论，标准圆，
其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，，
则切线方程为，即，
当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合，
当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合，
综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
设，，
则化简直线为：，
过定点，所以有（*）
直线为：，令，则，则，
同理，直线为：，则同理得，
则直线为：，
即，
同理直线为：，
由，交于可知，
，
两式作差可得，
对比（*）式可得，
即，即也在直线上，
则.
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，由题意可得，利用两点距离公式列式化简求曲线的轨迹方程即可；
（2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程即可得到定点坐标；
（ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离.
（1）由题意得，则，设，
则，
化简得
（2）（i）设，
则以为直径的圆为：.
与方程作差可得直线为：.
即，则，解得.
则过定点.
（ii）首先证明一个结论，标准圆，
其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，，
则切线方程为，即。
当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合，
当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合，
综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为.
设，，
则化简直线为：.
过定点，所以有（*）
直线为：，令，则，则
同理，直线为：，则同理得
则直线为：
即
同理直线为：
由，交于可知
两式作差可得
对比（*）式可得
即，即也在直线上.
则.
1 / 1浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，且，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．5
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直的坐标运算列式求解即可.
2．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充要
C．充分不必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：化简，可得，
若方程表示圆，则，解得或，
由于为或的真子集，
则方程表示圆是的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】化方程为，根据方程表示圆，列关于m的不等式求得的取值范围，再根据集合的包含关系，集合充分、必要条件的定义判断即可.
3．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意有，
，
则，即.
故答案为：B.
【分析】以为基底，利用空间向量基本定理求解即可.
4．有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意有，，，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用古典概型概率公式求得事件的概率，再根据独立事件的定义逐一验证即可.
5．已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧，
故取值最小时，三点共线，通过点作于，
则，又，故，
所以，解得，从而，
因此.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，最小时，得到在平面的交线上，此时三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.
6．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又因为点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，
联立得交点为（舍去第四象限的点），
所以与两点所在直线，与垂直，则.
故答案为：D.
【分析】易知在圆上，由直线经过该圆的圆心，确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，联立两圆方程，求出交点坐标，再利用垂直关系求参数k即可.
7．已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，点在底面的投影为，且，
所以平面，又因为平面，所以，
过作于，连接，如图所示：
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，，又，
所以，所以，所以，
又，
在中，可得，
在中，，
设到平面的距离为，
由，可得，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】点在底面的投影为，且，利用线面垂直的性质可得，过作于，连接，由题意求得，设到平面的距离为，利用等体积法，求点到面的距离即可.
8．已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A． B． C．11 D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则
，
同理，，
由向量三角不等式，，
又，
所以，当且仅当与共线反向时，取等号，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，，利用向量的数量积运算以及向量模的运算求得，同理，再由向量三角不等式求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若，则
C．若，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由，若，则事件与事件不是对立事件，
若，则事件与事件互为对立事件，故A错误；
B、若，则，故B正确；
C、若，所以，所以，
所以，故C正确；
D、若 ，所以，即，
所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由，根据对立事件的定义即可判断A；根据事件的包含关系求解即可判断B；先利用条件概率求，根据对立事件的概率公式求得，再根据条件概率的乘法公式求解即可判断C；利用并事件的概率公式，结合独立事件的定义即可判断D.
10．在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在平面上
B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为
C．若，则的最小值为
D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为
【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量基本定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当时，可得，，
则点在平面上，故A正确；
B、因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值，
要使与面所成角最小，则的值最大，由题意，
故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误；
C、当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离，
由勾股定理可得，，
，
由余弦定理可得，
，则，
设到平面的距离为，由，
得，则，解得，故C错误；
D、当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧，
圆弧交于点，可得，所以，
所以，所以，
当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心，
2为半径的圆的，所以轨迹长度为，
在平面内的轨迹与在内的相同为，
在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为，
所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】当时，根据向量的线性运算化简求得即可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小即可判断B；当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离，利用余弦定理，结合等体积法求得最小值即可判断C；当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧，求得轨迹长即可判断D.
11．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．则下列选项正确的是（ ）
A．若被直线分隔，则
B．若直线是曲线的分割线，则
C．曲线存在分隔线
D．曲线，有且仅有一条过原点的分隔线
【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，故A正确；
B、作出函数的图像是函数的分割线，
若直线是曲线的分割线，则，故B正确；
C、因为曲线是封闭曲线，所以曲线不存在分隔线，故C错误；
D、因为，所以，所以，当时，，因为，所以，
作出函数的大致图像，如图所示：
由图可知：为分割线，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得，解不等式求得a的范围即可判断A；作出直线和曲线的图像，数形结合即可判断B；曲线是封闭曲线，则曲线不存在分隔线即可判断C；化简曲线为，作出函数的大致图像，数形结合即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线．若，则实数的值为　 　．
【答案】2
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为，所以，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，两直线重合，不合题意，
综上，.
故答案为：2.
【分析】根据两直线平行的判定列式求得参数值，注意验证即可.
13．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得该直线经过圆心，易知直线的斜率为，
则该直线的方程为，倾斜角为，
因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为，
中，当时，，
从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点，
所以射出的直线方程为，即，
又因为该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径，即.
故答案为：.
【分析】由题意可知直线经过圆心，利用斜率公式求直线的斜率，再利用点斜式求得过的直线方程，再求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解即可.
14．已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，过作交与，如图所示：
设，因为，
所以，，
设，，
又因为和为异面直线，所以，
直线的一个方向向量为，，
设异面直线和所成角为，
则，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，过作交与，设，求得 点，设的坐标，已知，且，利用空间向量法求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且．
（1）求事件“”发生的概率；
（2）求事件“”发生的概率．
【答案】（1）解：，则或，
又不放回的依次取出2个球共有，
共20种情况，
则事件“”发生的概率为；
（2）解：，，因为，所以，
所以共14种情况符合，
则事件“”发生的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求得或，再利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据向量的模长公式，结合古典概型的概率公式求解即可.
（1），
所以或，
又不放回的依次取出2个球共有
共20种情况，
所以事件“”发生的概率为.
（2），，
因为，所以，
所以共14种情况符合，
所以事件“”发生的概率为.
16．如图，在四面体中，，．
（1）求二面角的平面角的大小；
（2）求异面直线与间的距离．
【答案】（1）解：取中点，连接，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
又，所以，，
又，所以是等边三角形，
所以，所以二面角的平面角的大小为；
（2）解：以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，
为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由（1）可知，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
则，
则，
设，且，
则，令，则，
则，
则异面直线与间的距离．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意可得，为二面角的平面角，求解即可；
（2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
（1）取中点，连接，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
又，所以，，
又，所以是等边三角形，
所以，所以二面角的平面角的大小为；
（2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）可知，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
则，
则，
设，且，
则，令，则，
则，
则异面直线与间的距离．
17．在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）当直线与圆相切时，求实数的值．
（3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上，则，
因为利用圆经过点和，所以，
两边平方后得，
整理得，又，解得，，所以圆心为，
的以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）解：因为，
由题意可得 的距离为，所以，
两边平方，化简得，解得或；
（3）解：直线整理可得，
由，解得，则直线经过定点，
因为，所以点在圆外，
设过的直线与圆的切点为，
则，又因为，所以，
所以当为定点时，为定值.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为 ，由圆心在直线 上，可得，利用距离公式求得，联立求得圆心坐标与半径，即可得圆的标准方程；
（2）利用点到直线的距离公式化简求解即可；
（3）化直线方程为，令求得直线经过定点，判断点在圆外，设过的直线与圆的切点为，可得，当为定点，符合题意.
（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上，
则，
因为利用圆经过点和，所以，
两边平方后得，
整理得，又，解得，，所以圆心为，
的以圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）因为，
由题意可得 的距离为，所以
两边平方，化简得，解得或；
（3）直线的方程为
即，
由，解得，所以直线经过定点，
又，所以点在圆外，
设过的直线与圆的切点为，
则有，又，
所以
所以当为定点时，为定值.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．
（1）求四棱锥的体积的最大值：
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【答案】（1）解：设与相交于点，连接，
因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，，
又因为，所以，
所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值，
此时，
所以四棱锥的体积取得最大值；
（2）解：设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（1）知平面，
又平面，所以，
则，即为等边三角形，，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
，解得，
则，即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：因为，所以，即，所以，
因为是正方形，所以，
又因为平面，所以平面，
所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
则，
设平面的一个法向量，则，
不妨取，所以，
设平面的一个法向量，
同理可得，
，
故平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设与相交于点，连接，由题知，则当平面时，四棱锥的体积的取得最大值，利用棱锥的体积公式求解即可；
（2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，由（1）知平面，根据等体积法求出点点到平面的距离为，利用求解即可；
（3）由题意，利用线面垂直的判定证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角，再利用平面与平面夹角与法向量的关系，求出两法向量夹角的余弦值的最大值即可.
（1）设与相交于点，连接，
因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，，
又，所以，
所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值，
此时，
所以四棱锥的体积取得最大值.
（2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（1）知平面，
又平面，所以，
则，即为等边三角形，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
所以，
解得，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3），，即，
，是正方形，，
又平面，所以平面，
所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系，
设，
则，
设平面的一个法向量，
则，
不妨取，所以，
设平面的一个法向量，
同理可得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
19．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于．
（i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
（ii）求的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，则，
设，则，
化简得；
（2）解：（i）设，则以为直径的圆为：，
与方程作差可得直线为：.
即，则，解得，
则过定点；
（ii）首先证明一个结论，标准圆，
其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，，
则切线方程为，即，
当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合，
当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合，
综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
设，，
则化简直线为：，
过定点，所以有（*）
直线为：，令，则，则，
同理，直线为：，则同理得，
则直线为：，
即，
同理直线为：，
由，交于可知，
，
两式作差可得，
对比（*）式可得，
即，即也在直线上，
则.
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，由题意可得，利用两点距离公式列式化简求曲线的轨迹方程即可；
（2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程即可得到定点坐标；
（ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离.
（1）由题意得，则，设，
则，
化简得
（2）（i）设，
则以为直径的圆为：.
与方程作差可得直线为：.
即，则，解得.
则过定点.
（ii）首先证明一个结论，标准圆，
其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，
证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，，
则切线方程为，即。
当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合，
当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合，
综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为.
设，，
则化简直线为：.
过定点，所以有（*）
直线为：，令，则，则
同理，直线为：，则同理得
则直线为：
即
同理直线为：
由，交于可知
两式作差可得
对比（*）式可得
即，即也在直线上.
则.
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