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广东省肇庆市2024-2025学年高二下学期期末统一考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.6 B．0.2 C．0.1 D．0.4
3．已知正项等比数列中，，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2
0.3
若离散型随机变量，则的方差（　　）
A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4
5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（　　）
A．540 B．180 C．360 D．1080
7．记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数，下列说法正确的是（　　）
A．的单调递减区间是
B．是的极小值点
C．没有最大值也没有最小值
D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
10．记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则事件相互独立
C．
D．若，，，则
11．自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，则该函数图象在点处的切线方程为　 　.
13．的展开式中的常数项为　 　.
14．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示：
1 2 3 4 5
26 37 50 64 93
（1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关
参考公式：①，；
②（其中为样本容量）.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且.
（1）求和的通项公式；
（2）设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围.
17．某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球.
（1）如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；
（2）已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；
（3）顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为元，求的分布列以及均值.
18．已知函数，.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
19．为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为.
（1）求；
（2）证明为等比数列；
（3）若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和排列数公式、组合数公式，从而列出方程求解得出n的值.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和正态分布密度函数的图象的对称性求概率的方法，从而得出的值.
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及对数的运算法则，从而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，
，
所以，
则.
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合概率之和等于1，从而求出的值，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出的值，再利用方差公式和方差的性质，从而得出随机变量的方差.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【解答】解：设答对的题目数量为，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可知随机变量服从二项分布，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出该同学能进入面试的概率.
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，先选人，甲、乙都去有种选择，甲、乙都不去有种选择，
因为每个工地要求至少有一名工程师，
所以分配方案为2，2，1，
根据分组分配部分均分问题有种方案，
所以，不同分配方法的种数为.
故答案为：A.
【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件的分配方式，再结合组合数公式和排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同分配方法的种数.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：设，
则，
解得，
所以，
则，
所以
.
故答案为：B.
【分析】设，再利用已知条件和赋值法，则，从而解出的值，再利用裂项相消法得出三棱的前8项的和.
8．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设，
则，
为奇函数，其图象关于点对称，
，
图象向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到的图象，
的图象关于点中心对称，
，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
为增函数，
，
.
故答案为：D.
【分析】设函数，利用奇函数的定义判断出其为奇函数，再利用函数的图象平移得到函数的图象，再利用的图象关于点中心对称，从而得出，再结合基本不等式求最值的方法，从而得到，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得到关于a的不等式，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
当时，；
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
对于：因为的单调递减区间是，故正确；
对于：由函数的单调性可知是极大值点，故错误；
对于：当时，；当时，，
结合的单调性可知，既没有最大值也没有最小值，故正确；
对于：因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，
所以函数在区间上有两个零点，
则的取值范围为，故正确.
故答案为：.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，则可判断选项A和选项C；根据函数极值定义可判断选项；根据函数单调性和零点存在性定理，则可判断选项，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：，，
， 故A正确；
，，
，故B正确；
因为，故C错误；
，，
又，，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据事件的包含关系和条件概率公式，则判断出选项A；利用条件概率公式和独独立事件的定义，则判断出选项B；利用条件概率公式可证，则可判断选项C；由条件概率和对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出事件A的概率，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A：，
，
，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：
，C正确；
对于D：，
，
则
，
，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意结合递推公式和数列求和公式，从而得出，则判断出选项A；由，依次两两结合相加可得，则判断出选项B；由，，依次两两结合相加可得，则判断出选项C；由题意可得，再将的各项依次展开结合已知条件，从而得出n的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，，
所以，切线的方程为，
则切线方程为（或）.
故答案为：
【分析】根据导数几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出该函数图象在点处的切线方程.
13．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为
，，，，，，
令，则，
∴的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】由二项式定理得出展开式的通项，再利用常数项的定义，从而得出的展开式中的常数项.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
令，则，
只需在有解，
，，
则存在，使得，
，
，
则当时，，
当时，只需，则，
综上所述，.
故答案为：.
【分析】先求导得出，令，则，再利用已知条件，只需在有解，则存在，使得，再利用分类讨论的方法得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：由题意，
得，，
又因为，，
所以，
，
则关于的经验回归方程为.
（2）解：零假设为：增收情况与设备相互独立，
即增收情况与使用不同设备无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以，认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由题意结合平均数公式分别求出，的值，再利用，得出的值，再结合代入法得出的值，从而得出关于的经验回归方程.
（2）设出零假设，再利用独立性检验的方法，则认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
（1）由题意得，，，
，，
.
，
故经验回归方程为.
（2）零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联.
则.
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
16．【答案】（1）解：由题意，得公比，
因为
解得
则，
，，
则当时，，
，，，
当时，，
解得（负值已舍去），
是以为首项，公差为1的等差数列，
.
（2）解：令，
，
，
得，，
，
，
.
，当且仅当时，等号成立，
则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而列出方程组从而得出数列的通项公式，再由可得，从而得出当时，，则，再利用得出，再根据等差数列的定义判断出数列是以为首项，公差为1的等差数列，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）设，再利用（1）中数列的通项公式和数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，从而得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出t的取值范围.
（1）由题意，得公比，解得故.
，，
故当时，，
，，，
当时，，解得（负值已舍去），
是以为首项，公差为1的等差数列，
.
（2）令，
，
，
得，，.
，.
，当且仅当时，等号成立，故.
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：设顾客从第一个盒子中随机取出两球，
取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件，
则.
（2）解：设随机取一个球是来自第个盒子为事件，
则，
设随机取一个球为红球为事件，则
所以.
（3）解：由题意，则的可能取值为240，480，720.
由（2）知，，
同理可得，，
，
则的分布列为：
240 480 720
所以，
则的均值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由已知条件求出顾客从第一个盒子中随机取出两球的取法数，再求出事件所包含的取法数，再利用古典概率公式得出取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率.
（2）设随机取一个球是来自第个盒子为事件，再根据全概率公式求出事件取到红球的概率，再结合条件概率公式得出该红球来自第一个盒子的概率.
（3）利用已知条件确定随机变量的可能取值，再由（2）和古典概率公式、互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，从而求出对应的概率，进而可得随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的均值.
（1）设顾客从第一个盒子中随机取出两球，取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件，
则.
（2）设随机取一个球是来自第个盒子为事件，则，
随机取一个球为红球为事件.
则
所以.
（3）由题意，的可能取值为240，480，720.
由（2）知，
同理，，
，
则的分布列为
240 480 720
.
所以的均值为.
18．【答案】（1）解：由题意，得，
的定义域为，
，
令，则，
解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值，
则函数 极小值为.
（2）解：由题意，得函数的定义域为，
，
，只需判断的符号.
①当时，，则在和上单调递减；
②当时，令，解得，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在上单调递增；
③当时，
同理可得在和上单调递减，在上单调递增，
综上所述，
当时，在及上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：方法一：
由题意，需证，
设，
则的定义域为，
，
，
在上单调递增，
，
在上有零点，且，
易知当时，；当时，，
则当时，取得最小值.
由，得，
，
则
，
.
方法二：
由题意，需证，
设，
则的定义域为，
设，
则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则，
，
令，
则，且在上单调递减，在上单调递增，
，
，
因为等号不能同时成立，
，
，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出函数h(x)的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）根据分类讨论的方法和导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）利用两种方法证明.
方法一：根据导数证不等式恒成立的方法构造函数，再利用函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式成立.
方法二：根据放缩法，使用作为中间项，从而证出，进而证出不等式成立.
（1）由题意得，，的定义域为，
，令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
当时，取得极小值，极小值.
（2）由题意得，的定义域为，
，
，只需判断的符号.
①当时，，则在和上单调递减；
②当时，令，解得，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在上单调递增；
③当时，同理可求在和上单调递减，在上单调递增.
综上所述，
当时，在及上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（3）方法一：
由题意需证，设，则的定义域为.
，，在上单调递增，
，在上有零点，且，
易知当时，，当时，，
所以当时，取得最小值.
由得，，
故，
，.
方法二：
由题意需证，设，
则的定义域为.
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
即.
，
令，则，
且在上单调递减，在上单调递增，
，，
因为等号不能同时成立，，，.
19．【答案】（1）解：由题意，则，
所以，第3天跳绳有两种情况：
第1天跳，第3天跳，其概率为；
第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为，
则.
（2）证明：由题意，得小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
，
则，.
，
则，
是以为首项，为公比的等比数列.
（3）解：，
，
，
，，，，
，
，
，
记他前天中，第天跳绳的天数为，
由题意，得服从两点分布，且，
因为，
所以
，
，
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意分析第三条跳绳受前两天影响，再根据第一天情况结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出第三条跳绳的概率.
（2）根据连续三天跳绳概率之间的关系，从而写出概率关系式，再根据数列递推公式，再构造数列结合等比数列定义，从而证出数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）根据前两天跳绳概率结合等比数列通项公式，从而求出第天跳绳概率的通项公式，再利用跳绳天数服从两点分布，则根据分组求和法得出的值.
（1）由题意，，第3天跳绳有两种情况：
第1天跳，第3天跳，其概率为；
第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为.
.
（2）由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
，
即，.
，，
是以为首项，为公比的等比数列.
（3），，，
，，，，
，
，
.
记他前天中，第天跳绳的天数为.
由题意得，服从两点分布，且，
因为，
所以
，
，
，
.
1 / 1广东省肇庆市2024-2025学年高二下学期期末统一考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和排列数公式、组合数公式，从而列出方程求解得出n的值.
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.6 B．0.2 C．0.1 D．0.4
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和正态分布密度函数的图象的对称性求概率的方法，从而得出的值.
3．已知正项等比数列中，，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及对数的运算法则，从而得出的值.
4．已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1 2
0.3
若离散型随机变量，则的方差（　　）
A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，
，
所以，
则.
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合概率之和等于1，从而求出的值，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出的值，再利用方差公式和方差的性质，从而得出随机变量的方差.
5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【解答】解：设答对的题目数量为，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可知随机变量服从二项分布，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出该同学能进入面试的概率.
6．从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（　　）
A．540 B．180 C．360 D．1080
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，先选人，甲、乙都去有种选择，甲、乙都不去有种选择，
因为每个工地要求至少有一名工程师，
所以分配方案为2，2，1，
根据分组分配部分均分问题有种方案，
所以，不同分配方法的种数为.
故答案为：A.
【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件的分配方式，再结合组合数公式和排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同分配方法的种数.
7．记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：设，
则，
解得，
所以，
则，
所以
.
故答案为：B.
【分析】设，再利用已知条件和赋值法，则，从而解出的值，再利用裂项相消法得出三棱的前8项的和.
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设，
则，
为奇函数，其图象关于点对称，
，
图象向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到的图象，
的图象关于点中心对称，
，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
为增函数，
，
.
故答案为：D.
【分析】设函数，利用奇函数的定义判断出其为奇函数，再利用函数的图象平移得到函数的图象，再利用的图象关于点中心对称，从而得出，再结合基本不等式求最值的方法，从而得到，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得到关于a的不等式，从而得出实数a的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数，下列说法正确的是（　　）
A．的单调递减区间是
B．是的极小值点
C．没有最大值也没有最小值
D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，
当时，；
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
对于：因为的单调递减区间是，故正确；
对于：由函数的单调性可知是极大值点，故错误；
对于：当时，；当时，，
结合的单调性可知，既没有最大值也没有最小值，故正确；
对于：因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，
所以函数在区间上有两个零点，
则的取值范围为，故正确.
故答案为：.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，则可判断选项A和选项C；根据函数极值定义可判断选项；根据函数单调性和零点存在性定理，则可判断选项，从而找出说法正确的选项.
10．记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则事件相互独立
C．
D．若，，，则
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：，，
， 故A正确；
，，
，故B正确；
因为，故C错误；
，，
又，，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据事件的包含关系和条件概率公式，则判断出选项A；利用条件概率公式和独独立事件的定义，则判断出选项B；利用条件概率公式可证，则可判断选项C；由条件概率和对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出事件A的概率，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A：，
，
，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：
，C正确；
对于D：，
，
则
，
，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意结合递推公式和数列求和公式，从而得出，则判断出选项A；由，依次两两结合相加可得，则判断出选项B；由，，依次两两结合相加可得，则判断出选项C；由题意可得，再将的各项依次展开结合已知条件，从而得出n的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，则该函数图象在点处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，，
所以，切线的方程为，
则切线方程为（或）.
故答案为：
【分析】根据导数几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出该函数图象在点处的切线方程.
13．的展开式中的常数项为　 　.
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为
，，，，，，
令，则，
∴的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】由二项式定理得出展开式的通项，再利用常数项的定义，从而得出的展开式中的常数项.
14．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
令，则，
只需在有解，
，，
则存在，使得，
，
，
则当时，，
当时，只需，则，
综上所述，.
故答案为：.
【分析】先求导得出，令，则，再利用已知条件，只需在有解，则存在，使得，再利用分类讨论的方法得出实数a的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示：
1 2 3 4 5
26 37 50 64 93
（1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关
参考公式：①，；
②（其中为样本容量）.
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意，
得，，
又因为，，
所以，
，
则关于的经验回归方程为.
（2）解：零假设为：增收情况与设备相互独立，
即增收情况与使用不同设备无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以，认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）由题意结合平均数公式分别求出，的值，再利用，得出的值，再结合代入法得出的值，从而得出关于的经验回归方程.
（2）设出零假设，再利用独立性检验的方法，则认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
（1）由题意得，，，
，，
.
，
故经验回归方程为.
（2）零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联.
则.
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关.
16．已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且.
（1）求和的通项公式；
（2）设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，得公比，
因为
解得
则，
，，
则当时，，
，，，
当时，，
解得（负值已舍去），
是以为首项，公差为1的等差数列，
.
（2）解：令，
，
，
得，，
，
，
.
，当且仅当时，等号成立，
则，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而列出方程组从而得出数列的通项公式，再由可得，从而得出当时，，则，再利用得出，再根据等差数列的定义判断出数列是以为首项，公差为1的等差数列，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）设，再利用（1）中数列的通项公式和数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，从而得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出t的取值范围.
（1）由题意，得公比，解得故.
，，
故当时，，
，，，
当时，，解得（负值已舍去），
是以为首项，公差为1的等差数列，
.
（2）令，
，
，
得，，.
，.
，当且仅当时，等号成立，故.
所以的取值范围为.
17．某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球.
（1）如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；
（2）已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；
（3）顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为元，求的分布列以及均值.
【答案】（1）解：设顾客从第一个盒子中随机取出两球，
取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件，
则.
（2）解：设随机取一个球是来自第个盒子为事件，
则，
设随机取一个球为红球为事件，则
所以.
（3）解：由题意，则的可能取值为240，480，720.
由（2）知，，
同理可得，，
，
则的分布列为：
240 480 720
所以，
则的均值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由已知条件求出顾客从第一个盒子中随机取出两球的取法数，再求出事件所包含的取法数，再利用古典概率公式得出取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率.
（2）设随机取一个球是来自第个盒子为事件，再根据全概率公式求出事件取到红球的概率，再结合条件概率公式得出该红球来自第一个盒子的概率.
（3）利用已知条件确定随机变量的可能取值，再由（2）和古典概率公式、互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，从而求出对应的概率，进而可得随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的均值.
（1）设顾客从第一个盒子中随机取出两球，取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件，
则.
（2）设随机取一个球是来自第个盒子为事件，则，
随机取一个球为红球为事件.
则
所以.
（3）由题意，的可能取值为240，480，720.
由（2）知，
同理，，
，
则的分布列为
240 480 720
.
所以的均值为.
18．已知函数，.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）解：由题意，得，
的定义域为，
，
令，则，
解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值，
则函数 极小值为.
（2）解：由题意，得函数的定义域为，
，
，只需判断的符号.
①当时，，则在和上单调递减；
②当时，令，解得，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在上单调递增；
③当时，
同理可得在和上单调递减，在上单调递增，
综上所述，
当时，在及上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：方法一：
由题意，需证，
设，
则的定义域为，
，
，
在上单调递增，
，
在上有零点，且，
易知当时，；当时，，
则当时，取得最小值.
由，得，
，
则
，
.
方法二：
由题意，需证，
设，
则的定义域为，
设，
则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则，
，
令，
则，且在上单调递减，在上单调递增，
，
，
因为等号不能同时成立，
，
，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出函数h(x)的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）根据分类讨论的方法和导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）利用两种方法证明.
方法一：根据导数证不等式恒成立的方法构造函数，再利用函数的单调性，从而得出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出不等式成立.
方法二：根据放缩法，使用作为中间项，从而证出，进而证出不等式成立.
（1）由题意得，，的定义域为，
，令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
当时，取得极小值，极小值.
（2）由题意得，的定义域为，
，
，只需判断的符号.
①当时，，则在和上单调递减；
②当时，令，解得，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在上单调递增；
③当时，同理可求在和上单调递减，在上单调递增.
综上所述，
当时，在及上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（3）方法一：
由题意需证，设，则的定义域为.
，，在上单调递增，
，在上有零点，且，
易知当时，，当时，，
所以当时，取得最小值.
由得，，
故，
，.
方法二：
由题意需证，设，
则的定义域为.
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
即.
，
令，则，
且在上单调递减，在上单调递增，
，，
因为等号不能同时成立，，，.
19．为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为.
（1）求；
（2）证明为等比数列；
（3）若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求.
【答案】（1）解：由题意，则，
所以，第3天跳绳有两种情况：
第1天跳，第3天跳，其概率为；
第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为，
则.
（2）证明：由题意，得小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
，
则，.
，
则，
是以为首项，为公比的等比数列.
（3）解：，
，
，
，，，，
，
，
，
记他前天中，第天跳绳的天数为，
由题意，得服从两点分布，且，
因为，
所以
，
，
【知识点】等比数列概念与表示；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意分析第三条跳绳受前两天影响，再根据第一天情况结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出第三条跳绳的概率.
（2）根据连续三天跳绳概率之间的关系，从而写出概率关系式，再根据数列递推公式，再构造数列结合等比数列定义，从而证出数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）根据前两天跳绳概率结合等比数列通项公式，从而求出第天跳绳概率的通项公式，再利用跳绳天数服从两点分布，则根据分组求和法得出的值.
（1）由题意，，第3天跳绳有两种情况：
第1天跳，第3天跳，其概率为；
第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为.
.
（2）由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
，
即，.
，，
是以为首项，为公比的等比数列.
（3），，，
，，，，
，
，
.
记他前天中，第天跳绳的天数为.
由题意得，服从两点分布，且，
因为，
所以
，
，
，
.
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