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山西大学附属中学校 2025- 2026学年第二学期高三 5月模块诊断
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设集合 A= 1,2,3,4,5 , B= x∣y= x-3 ，则 A∩ B=
A. 1,2,3 B. 3,4,5 C. 4,5 D. 1,2
【答案】B
【解析】B= x∣y= x-3 ={x ∣ x≥ 3}，所以 A∩ B={3 , 4 , 5}.
2.已知复数 z= a+1 - ai a∈R ，则 a=-1是 z = 1的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 z = 1，可得 a+1 2 + -a 2 = 1，解得 a=-1或 0，所以 a=-1是 z = 1的充分不必要条件.
3.已知m , n是两条不同的直线，α , β , γ是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
A. 若 α⊥ β ,m α，则m β B. 若 α⊥ β , α⊥ γ，则 β γ
C. 若m α , n α，则m n D. 若m⊥ α ,m⊥ β，则 α β
【答案】D
【解析】A，若 α⊥ β且m α，则m可平行于 β，或者在 β内，或者与 β相交，错误；
B，若 α⊥ β，α⊥ γ，则 β可平行于 γ，或者与 γ相交，错误；
C，若m α , n α，则m可与 n平行，或者与 n相交，或者与 n异面，错误；
D，若m⊥ α，m⊥ β，可知 α , β的法向量都与m平行，也即 α , β的法向量平行，可得 α β，正确.
4. 1-sin2α已知 π = 1，则 sin2α=sin α- 4
A. 14 B.
2
3 C.
1
2 D.
3
4
【答案】C
【解析】由 sinα-cosα 2 = sin2α+ cos2α- 2sinαcosα= 1- sin2α，
sinα-cosα 2 sinα-cosα 2
故 π = = 2 sinα-cosα2
= 1，
sin α- 4 2 sinα-cosα
2
故 sinα- cosα= 2 2 1 12 ，故 1- sin2α= 2 = 2 ，即 sin2α= 2 .
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5.已知函数 f x 的导函数是 f x = 1-x2，则函数 f x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知 f x ≥ 0且不恒等于 0，又 y= 1- x2在 0,1 上单调递减，在 -1,0 上单调递增，
y= x在定义域上单调递增，
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 -1,0 上单调递增，
即当 x∈ -1,1 时，f x 的值由小变大，再由大变小，
即函数 f x 图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.
6.等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0.若 a2 , a3 , a6成等比数列，则数列 an 的前 6项和为
A. - 24 B. - 3 C. 26 D. 24
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为 d≠ 0，
因为 a 22 , a3 , a6成等比数列，则 a3= a2a6，且 a1= 1，
即 1+2d 2 = 1+d 1+5d ，整理可得 d2+ 2d= 0，解得 d=-2或 d= 0(舍去)，
可得 an= 1- 2 n-1 = 3- 2n，
令 an= 3- 2n< 0，解得 n≥ 2，
所以数列 an 的前 6项和为 a1 + a2 + + a6 = a1- a2+ +a6 = a1- 5a4= 1- 5× -5 = 26.
7.设函数 f (x) = sinωx+ cosωx(ω> 0)，若 f (x+ π) = f (x)恒成立，且 f (x)在 π 0, 4 上最大值与最小值的
和为 0，则ω的最小值为
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】B
ωx+ π 2π【解析】 4 ，周期为 ω ，
∵ f (x+ π) = f (x)，则 π是周期，
∴ω= 2k , k∈N ，即ω是正偶数，
π π π ω+1 π当 x∈ 0, 4 时，t=ωx+ 4 ∈

4 , 4 ，
已知最大值与最小值的和为 0，
∴最大值与最小值互为相反数，
ω= 2 π , 3π若 ，区间 4 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为 1，和不为 0；
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若ω= 4 π 5π，区间 , 4 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为-1，和不为 0；
若ω= 6，区间 π 7π 4 , 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为- 2，和为 0；
∴ω的最小值为 6.
2026
8.已知函数 f (x)的定义域为 R，f (3x- 2)为奇函数，f (4x- 1)为偶函数，且 f (-1) = 2，则 f (i) =
i=1
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】因为 f (3x- 2)为奇函数，所以 f (-3x- 2) =- f (3x- 2)，
令 t= 3x- 2，则 f (-t- 4) =- f (t)，即 f (-x- 4) =- f (x)①；
因为 f (4x- 1)为偶函数，所以 f (-4x- 1) = f (4x- 1)，
令 s= 4x- 1，则 f (-s- 2) = f (s)，即 f (-x- 2) = f (x)，
所以 f (-x- 4) =- f (-x- 2)，所以 f (x) =- f (x+ 2)，即 f (x+ 2) =- f (x)②，
所以 f (x+ 4) = f (x)，所以 4是 f (x)的一个周期．
由①式，取 x=-2，可得 f (-2) =- f (-2)，即得 f (-2) = 0，
又由②式，取 x=-2，可得 f (0) =- f (-2) = 0
故 f (4) = f (0) = 0，f (2) = f (2- 4) = f (-2) = 0，
由②式，取 x=-1，可得 f (1) =- f (-1) =-2，取 x= 1，可得 f (1) =- f (0) =-2 , f (2) =- f (0) =-2 , f (3)
=- f (1) = 2，
故 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) =-2+ 0+ 2+ 0= 0，
2026
则 f (i) = 506[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)] + f (2025) + f (2026) = f (1) + f (2) =-2+ 0=-2.
i=1
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.从某小区抽取 100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50~350kW h之间，进行适当
分组后 (除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间)，画出如图所示的频率分布直方图，则下列
选项正确的是
A. 直方图中 x的值为 0.0044
B. 在被调查的用户中，用电量落在区间 100,250 内的户数为 70户
C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 180kW h
D. 用频率估计概率，从该小区抽取 10人，则 X表示用电量不超过 150kW h的人数，则 E X = 1.5
【答案】AB
【解析】对于 A，由图可得组距为 50，根据频率和为 1，得 50×
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0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012 = 1，解得 x= 0.0044，故 A正确；
对于 B，用电量落在区间 100,250 内的频率 P= 50× 0.0036+0.0060+0.0044 = 0.7，
由样本容量为 100，得用电量落在区间 100,250 内的户数= 100× 0.7= 70，故 B正确；
对于C，由图可得第一组 50,100 的频率为 50× 0.0024= 0.12，第二组 100,150 的频率为
50× 0.0036= 0.18，第三组 150,200 的频率为 50× 0.0060= 0.30；
∵前两组的累计频率为 0.12+ 0.18= 0.3，前三组的累计频率为 0.12+ 0.18= 0.6，
∴中位数位于第三组 150,200 内；
设中位数为m，则 0.3+ m-150 × 0.0060= 0.5，解得m= 183 13 ；
∵ 183 13 > 180，∴中位数超过 180kW h，故C错误；
对于D，用电量不超过 150kW h的频率为前两组频率之和，即 P= 0.12+ 0.18= 0.3；
∴用频率估计概率，从该小区抽取 1人，其用电量不超过 150kW h的概率 p= 0.3.
从该小区抽取 10人，设 X表示用电量不超过 150kW h的人数，
则 X服从二项分布 B 10，0.3 ，则 E X = 10× 0.3= 3≠ 1.5，故D错误.

10.已知在△ABC中，AB= 2 , AC= 1 , A= π3 , BD= 2DC，点 P为线段 AD的中点，则下列结论正确的有

A. AD = 33

B. PB= 5 AB- 1

AC
6 3
C. 向量 PB在向量 AB上的投影向量为 AB

D. 若 AM = λAB , AN = μAC , λ> 0 , μ> 0 1 2，且M ,N ,D三点共线，则 λ + μ = 3
【答案】BCD
【解析】因为 AB= 2 , AC= 1 , A= π3 ，
所以 BC2= AB2+ AC2- 2AB·AC·cos π3 = 4+ 1- 2× 2× 1×
1
2 = 3，
所以 AB2= AC2+ BC2，
所以△ABC为直角三角形，

因为 BD= 2DC，所以D是 BC上靠近点C的三等分点，
对于 A，CD= 13 BC=
3
3 ，
2 2 3
由勾股定理知 AD = 12+ 33 = 3 ，故 A错误；

对于 B，由题意知 AD= AB+ BD= AB+ 23 BC= AB+
2
3 AC-AB =
1
3 AB+
2
3 AC，
1
所以 PB= AB- AP= AB- 2 AD= AB-
1 1 2
2 3 AB+ 3 AC =
5 AB- 16 3 AC，故 B正确；
5 1
对于C，由 B知 PB= 6 AB- 3 AC，
5
所以 PB AB= 6 AB AB-
1
3 AC AB=
5 2
6 AB -
1
3 AC AB cosA
= 5 × 22- 16 3 × 1× 2×
1
2 = 3，
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PB AB PB

所以向量 在向量 上的投影向量为 AB 32 ·AB= AB=
3 AB，故C正确；
AB 22 4

对于D，因为 AM = λAB , AN = μAC , λ> 0 , μ> 0，

所以 AB= 1λ AM , AC=
1
μ AN，
1 2 B AD= AB+ AC AD= 1 × 1 AM + 2 × 1

由 知 3 3 ，所以 3 λ 3 μ AN，
又M ,N ,D 1 2 1 2三点共线，所以 3λ + 3μ = 1，所以 λ + μ = 3，故D正确.
11.已知⊙C： x+5 2 + y2= 64，P为⊙C上的任意一点，点 A 5,0 ，线段 AP的垂直平分线 l与直线CP相交
于点Q，点Q的轨迹与 x轴交于 A1，A2两点，则
2 y2
A. 点Q x的轨迹方程为 16 - 9 = 1
B. 当点Q不在 x轴上时，直线QA1与QA
16
2的斜率之积为 9
C. 当 cos∠A1QA 1 92= 4 时，sin∠QA1A2 sin∠QA2A1= 100
D. 过点C作直线 l的垂线，垂足为M x0,y0 ，则 x0+ 2y0的最大值为 4 5
【答案】ACD
【解析】⊙C： x+5 2 + y2= 64，则C -5,0 ，半径 r= 8，
由 l为线段 AP的垂直平分线，故 QP = QA ，
又 P为⊙C上的任意一点，故 PC = 8，
由 AC = 10，则 QP + CQ = AQ + CQ > 10，
则 CQ - QP = 8或 QP - CQ = 8，则 QA - QC = 8，
故点Q的轨迹为以 A、C为焦点，2a= 8的双曲线，
由C -5,0 、A 5,0 ，故 c= 5，则 b2= c2- a2= 25- 16= 9，
x2 y2
即点Q的轨迹方程为 16 - 9 = 1，故 A正确；
B x
2 2
对 ：设 A1在 A2左侧，由点Q的轨迹方程为 16 -
y
9 = 1，故 A1 -4,0 、A2 4,0 ，
2 y2 2
设Q x ,y
x
，则有 11 1 16 -
1
9 = 1，故 y
2= 9 x11 16 -1 ，
x21
= y
2 9 -1
1 y1 y1 16
则 k 9QA k = = = ，故 B错误；1 QA2 x1+4 x1-4 x2-16 x21 1-16 16
对C：由∠A1QA2+∠QA1A2+∠QA2A1= π，故∠QA1A2+∠QA2A1= π-∠A1QA2，
则 cos ∠QA1A2+∠QA2A1 = cos π-∠A1QA2 =-cos∠A1QA2=- 14 ，
即 cos∠QA1A2 cos∠QA2A1- sin∠QA1A 12 sin∠QA2A1=- 4 ，
由 B知 k 9QA k = ，又 k = tan∠QA A ，1 QA2 16 QA1 1 2
kQA = tan π-∠QA2A1 =-tan∠QA2A1，2
故 tan∠QA1A2 tan∠QA2A1=- 916 ，
即 cos∠QA1A2 cos∠QA A 162 1=- 9 sin∠QA1A2 sin∠QA2A1，
数学试题 第 5 页 共 14 页
- 16则 9 sin∠QA1A2 sin∠QA2A1- sin∠QA1A2 sin∠QA2A1=-
1
4 ，
即 sin∠QA1A 1 9 92 sin∠QA2A1= 4 × 25 = 100 ，故C正确；
对D：取点C关于 l对称点C ，则 C A = CP = 8，
故点C 的轨迹方程为 x-5 2 + y2= 64，
-5+x y
由M在 l上且CM⊥ l，则M x0,y0 为CC 中点，则有 x = C C0 2 ，y0= 2 ，
故 xC = 2x0+ 5，yC = 2y0，即有 2x +5-5
2
0 + 2y 20 = 64，
化简得 x2 20+ y0= 16，故可设 x0= 4cosθ，y0= 4sinθ，θ∈ 0,2π ，
则 x0+ 2y0= 4cosθ+ 8sinθ= 4 5sin
1
θ+φ ≤ 4 5，其中 tanφ= 2 ，
即 x0+ 2y0的最大值为 4 5，故D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知 θ 2的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边经过点 P 2 ,
1
2 ，则 sinθ= .
3
【答案】 3
θ P 2 , 1 r= x2+y2 x= 2 1【解析】因为已知角 终边过点 2 2 ，根据 ，其中 2 , y= 2 ，
1
2 2 3 y 2 1 3
可得 r= 2 12 + 2 = 2 ，所以 sinθ= r = = =3 3 3 .
2
13.小李的银行卡的六位密码由 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5组成，如果数字 1与 2不相邻，则小李可以设置的不同的密
码个数为 .
【答案】144
【解析】如果六位密码中 1 , 1相邻，则先排 3 , 4 , 5，
再利用插空法可得不同的密码个数为 A33A24= 6× 12= 72，
如果六位密码中 1 , 1不相邻，则先排 2 , 3 , 4 , 5，此时有 5个空挡，
这 5个空挡中有 3个空挡可以插入 1 , 1，故此时不同的密码个数为 A44C23= 24× 3= 72，
故不同密码的个数为 144.
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14.已知菱形 ABCD , AB= BD= 2，现将△ABD沿对角线 BD向上翻折，得到三棱锥 A- BCD，设点 E是 AC
的中点．记△BDE的面积为 S1，三棱锥 A- BCD的外接球的表面积为 S2，则 S1 S2的最小值为 .
【答案】8π
【解析】已知菱形 ABCD , AB= BD= 2，则△ABD , △BCD均为边长为 2的等边三角形，
连接 AO ,CO，则 AO⊥ BD ,CO⊥ BD，且 AO=CO= 3，
设二面角 A- BD-C的平面角为 θ=∠AOC，则 BD⊥平面 AOC，
E为 AC的中点，在等腰△AOC中，OE⊥ AC，
由 BD⊥平面 AOC，得 BD⊥OE，
∴OE= 3cos θ2 ，
∴ S1= 12 BD OE=
1
2 2 3cos
θ
2 = 3cos
θ
2 ，
以O为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则O 0,0,0 , B -1,0,0 ,D 1,0,0 ,C 0, 3 ,0 , A 0, 3cosθ, 3sinθ ，
∵ E是 AC中点，
3 1+cosθ∴ E 0, , 3sinθ2 2 ，
A- BCD O OD OD 1设三棱锥 的外接球球心为 °1，则 OO = tan60，解得OO2=2 tan60°
= ，
3
O O =OO tan θ = 1 tan θ1 2 2 2 3 2
，
∴O1 0, 1 , 1 tan θ ，3 3 2
设外接球半径为 R，则
2 2
R2=O 21D =O 2 2 1 θ 2 1 2 θ1O2+O2D = tan 2 + = 3 4+ tan3 3 2 ，
∴ S = 4πR2= 4π2 3 4+ tan2
θ
2 ，
∴ S S = 3cos θ 4π 4+ tan2 θ = 4 3π 3cos θ + 1 1 2 2 3 2 3 2 θ ，
cos 2
t= cos θ θ 1 1令 2 ∈ 0,1 ，则 3cos 2 + θ = 3t+ t ≥ 2 3t
1
t = 2 3，cos 2
1
当且仅当 t= 时取最小值，
3
∴ S1 S 4 3π2 min= 3 2 3= 8π.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
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15.已知数列 a 3n 的首项是 a1= 5 ，且 an+1=
3an
2an+1
．
(1) 1证明数列 a -1 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；n
(2) 1 + 1 + 1若 a a a + +
1
a > 2026，求满足条件的最小整数 n的值.1 2 3 n
(1)a = 3an 1 = 2an+1 = 2 + 1 1 - 1= 2 1 1 1【解析】 n+1 2an+1 an+1 3an 3 3a
+ - 1= -
n an+1 3 3an 3an 3
，
1
1 - 1= 1 1 -1 a
-1
n+1 1所以 an+1 3 an 1
= 3 ，
a -1n
1
又 a - 1=
5
3 - 1=
2
1 3
，
1
所以数列 a -1
2 1
是以首项为 3 ，公比为 3 的等比数列，n
1 n-1
所以 a - 1=
2 1
n 3 3 ，
1 1 3n
可得 a = 2 n + 1 an= .n 3 3n+2
(2)由 (1) 1得 a -1 为等比数列，n
1 1 1 1 1 1 1 1
设数列的前 n项和为 Sn，Sn= a - 1+ a - 1+ a - 1+ + a - 1= a + a + + + - n=1 2 3 n 1 2 a3 an
n
2 1-
1
3
3 1- 1
，
3
1 1 1 n n
所以 a + a + a + +
1
a = 1-
1
3 + n> 2026 n-
1
3 > 2025，1 2 3 n
x
构造函数令 f x = x- 13 ，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
2025
n为整数，所以当 n= 2025 1，2025- 3 < 2025，不成立，
2026 2026
当 n= 2026，2026- 13 = 2025+ 1-
1
3 > 2025，成立，
所以满足条件的最小整数 n的值为 2026.
16.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下
2 1
一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为 3 ，乙、丙之间的胜率互为 2 ．
(1)求甲连续打前四局比赛的概率；
(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
(3)如果甲胜一局得 2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为 X，求 X的分布列和期望.
【解析】(1)由甲连续打前四局比赛，说明甲在前 3局都获胜，
2
第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为 3 ，
2
第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为 3 ，
2
第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为 3 ，
2 2 2 8
所以甲连续打前四局比赛的概率为：P= 3 × 3 × 3 = 27 .
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(2)设事件 A：前四局中第二局乙获胜，事件 B：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，
对于前四局中第二局乙获胜：
1- 2 1即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为 3 = 3 ，
1
第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为 2 ，
所以 P A = 1 × 1 3 2 =
1
6 ，
在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第 4局甲轮空
1- 2 = 1第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为 3 3 ，
第四局：乙、丙对打，概率为 1，
所以 P 1 AB = 3 ×
1 × 1 × 1= 12 3 18 ，
1
P AB
根据条件概率知：P B|A =
= 18 = 1P A 1 3
.
6
(3)由题意知得分 X的可能值为：0 , 2 , 4，6，
P 2 X=0 = 1- 3 × 1-
2 = 13 9 ，
P X=2 = 23 × 1-
2
3 + 1-
2 × 2 = 43 3 9 ，
P X=4 2 2 1 4 = 3 × 3 × 3 = 27 ，
P X=6 = 2 2 2 83 × 3 × 3 = 27 ，
所以 X的分布列为：
X 0 2 4 6
P 1 4 4 89 9 27 27
E X = 0× 1 + 2× 4 + 4× 4 + 6× 8 = 88 9 9 27 27 27 .
17.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，AB= 3 , BC= 2，侧面 PBC为正三角形，平面 PBC⊥
平面 ABCD，点 E为棱 PA上一点，O、G分别为 BC , AD中点．
(1)求证：平面 POG⊥平面 BEC；
(2)若点 E为 PA中点，点 P关于平面 BCE的对称点为点Q，求平面QAB与平面 PCD夹角的余弦值．
【解析】
(1) ∵侧面 PBC为正三角形，O为 BC的中点，
∴ PO⊥ BC，
∵ ABCD是矩形，且O、G分别为 BC , AD中点，∴OG⊥ BC，
数学试题 第 9 页 共 14 页
∵ PO 面 POG ,OG 面 POG , PO∩OG=O，
∴ BC⊥面 POG ,∵ BC 平面 BEC，
∴平面 POG⊥平面 BEC.
(2)方法一：由 (1)知 PO⊥ BC，∵平面 PBC⊥平面 ABCD，
PO 平面 PBC，平面 PBC∩平面 ABCD= BC ,∴ PO⊥平面 ABCD，OG⊥ BC，
以O为坐标原点，OB ,OG ,OP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则 P 0,0, 3 , A 1,3,0 , B 1,0,0 ,C -1,0,0 ,D -1,3,0 , E 12 ,
3 3
2 , 2 ，

BC= -2,0,0 , BE= - 12 ,
3 3
2 , 2 , PB= 1,0,- 3 ，

PC= -1,0,- 3 , PD= -1,3,- 3 ，设Q a,b,c ，

则QB= 1-a,-b,-c , PQ= a,b,c- 3 ，

BCE m = x,y,z m
BC=0 -2x=0
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 m BE=0 -x+3y+ 3 z=0，
取 z= 3，则 y=-1 , x= 0 ，所以m= 0,-1, 3 ，

易知点 P到平面 BCE 的距离与点Q到平面 BCE的距离相等且 PQ m，

PB m QB m
= a= 0 , b即 且 -1 =
c- 3
，
m m 3
即 3= b- 3c 且 a= 0 , 3b= 3- c，
解得 b= 0 , c= 3 ( 3 3 3 3舍去)或 b= 2 , c=- 2 ，所以Q 0, 2 ,- 2 ．

设平面QAB的一个法向量为 t = x0,y0,z0 ，

又QA= 1, 3 , 3 ,QB= 1,- 3 , 32 2 2 2 ，

t QA=0 2x0+3y0+ 3 z 0=0则 ，即 t QB=0 2x ，0-3y0+ 3 z0=0

取 x0= 3 , y0= 0 , z0=-2，所以 t = 3 ,0,-2 ．

设平面 PCD的一个法向量为 n= x1,y1,z1 ，

n PC=0 -x 1- 3 z1=0则 ，即 -x +3y - 3 z =0 取 x1= 3，n PD=0 1 1 1
则 y1= 0 , z1=-1

，所以 n= 3 ,0,-1 ，

设平面QAB与平面 PCD夹角为 θ，则 cosθ= cos t ,n = 5 714 ．
数学试题 第 10 页 共 14 页
QAB PCD 5 7故平面 与平面 夹角的余弦值为 14 ．
方法二：设平面 BEC与棱 PD相交于点 F，
因为 AD BC , AD 面 BCFE，则 AD 平面 BCFE，
且面 BCFE∩面 PAD= EF，则 AD FE，又因为 E为 PA中点，可得 F为 PD中点，
设平面 BEFC∩平面 POG=OH，OH∩ PG=H，则H为 PG中点，
因为 P关于平面 BCFE的对称点为Q，PQ的中点为M，
所以 PQ⊥面 BCFE，由 (1)知平面 POG⊥平面 BCFE，
所以 PQ 平面 POG，又平面 POG∩平面 BCFE=OH
且 PQ⊥OH，且 PM=MQ，
在平面 POG内，PO= 3 ,OG= BA= 3，所以∠OPG= 60°，
因为H为 PG 1中点 PH=OH= 2 PG= 3，
可得△POH为正三角形，因为 PM⊥OH，所以M为OH中点，
由对称性可知，△PHM △QHM , ∠PHM=∠QHM= 60°，
所以∠POH=∠QHM= 60°，可得HQ PO，且HQ= PO= 3，
设HQ交OG于点K，则K为OG中点，
3
则OK= 2 ,HK=KQ=
1
2 PO=
3
2 ，
由 PO⊥面 ABCD , BC⊥CD，可得 PC⊥CD，
则平面 PCD与平面 ABCD夹角为∠PCO= 60°，
设平面QAB与平面 ABCD夹角为 α，同理可得 tanα= 32 ，
则平移可得平面QAB与平面 PCD夹角为 60° -α，
3- 3
则 tan 60°-α = 2 = 35 ，即 cos 60°-α
5 7
=
1+ 3 3 14
，
2
故平面QAB 5 7与平面 PCD夹角的余弦值为 14 ．
x2 y218. 2已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)经过点 P 1, 2 ，F为C的右焦点，且 PF与 x轴垂直．a b
数学试题 第 11 页 共 14 页
(1)求C的标准方程；
(2)设直线 l与C交于 A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，探究：是否存在定圆与直线 l始终相切 若
存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在 (2)的条件下，求△AOB面积的最大值，并求此时直线 l的方程.
【解析】(1)因为 PF与 x轴垂直，所以 F(1 , 0)，∴ c= 1，∴ a2- b2= 1
又点 P 1, 22
1 1
在椭圆上，∴ 2 + 2 = 1，得 a
2= 2 , b2= 1.
a 2b
2
所以椭圆C x的标准方程为 22 + y = 1.
(2)当直线 l的斜率存在时，设直线 l方程为 y= kx+m，A(x1 , y1) , B(x2 , y2).
x2 2
联立得 2
+y =1
，整理得 (1+ 2k2)x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0.
y=kx+m
Δ= (4km)2- 4(1+ 2k2) (2m2- 2) = 8(2k2-m2+ 1)> 0，即 2k2+ 1>m2.
2 2 2
∴ x1+ x2= -4km , x x = 2m -2 ，y y = (kx +m) (kx +m) = k2x x + km(x + x ) +m2= m -2k1+2k2 1 2 1+2k2 1 2 1 2 1 2 1 2 1+2k2
2 2 2
∵OA⊥OB，∴OA OB= x1x2+ y1y = 0
2m -2 m -2k
2 ，即 + 2 21+2k2 1+2k2
= 0，整理得 3m = 2k + 2.
2(k2+1)
m 2 2
原点O到直线 l的距离 d= ，将m2= 2k +2 m 3 23 代入得 d
2= = =
k2+1 k2+1 k2+1 3
故距离 d 2为定值 23 ，所以存在定圆 x
2+ y2= 3 与直线 l相切.
当直线 l的斜率不存在时，设直线 l的方程为 x=m，A(m , y1) , B(m , y2).
x
2
+y2=1 m2 m2
联立 2 ，∴ y2+ 22 - 1= 0，则m ≥ 2，∴ y1y2= 2 - 1.x=m
2
OA OB=m2+ y1y2=m2+
m 2 2
2 - 1= 0，得m=± 3 ，即直线 l的方程为 x=± 3 ，
2
此时直线 l与圆 x2+ y2= 3 相切，符合题意.
2
综上，存在定圆与直线 l相切，定圆的方程为 x2+ y2= 3 .
(3) 1由三角形面积公式得 S△AOB= 2 AB d，其中 d=
2
3 为定值.
= + 2 ( + )2- = + 2 8(2k
2+1-m2)
当直线 l的斜率存在时， AB 1 k x1 x2 4x1x2 1 k 2 ，1+2k
2(k2+1) 8(4k2+1)(k2
将m2= +1)3 代入整理得 AB = 3(2k2+1)2 .
令 t= 2k2+ 1(t≥ 1)，则 AB = 4(t+1)(2t-1) 43t2 = 3 2+
1 1
t - t2 .
数学试题 第 12 页 共 14 页
1 = 1当 t 2 时，即 t= 2(
1
此时 k2= 2 )时， AB 有最大值 3 .
1 2
此时三角形面积有最大值，最大值为 S△AOB= 2 × 3 ×
2
3 = 2 .
2 2(k2+1)
此时 k=± ，代入m2= ，得m22 3 = 1，∴m=±1.
直线 l 2 2的方程为 y= 2 x± 1或 y=- 2 x± 1.
当直线 l的斜率不存在时，由 (2)可得 A 23 , 23 , B 2 ,- 23 3 或 A - 23 , 23 ,
B - 23 ,- 23 .
此时 AB 1 2 2 = 2 2 ，S 2 23 △AOB= 2 × 2 3 × 3 = 3 < 2 .
综上，△AOB 2面积的最大值为 2 ，此时直线 l y=
2 x± 1 y=- 2的方程为 2 或 2 x± 1.
19.已知 f x = ex+ ax2+ bx- 1，a , b∈ R
(1)当 a= 0时，讨论 f x 的单调性；
(2)当 a=-2 , b∈ Z时，若 x> 0 , f x > 0恒成立，求 b的最小值；
(3)已知当 b= 0时，存在 a0∈ R，使得函数 f x 有三个零点 x1 , x2 , x3 x1列，求 a0的值.
【解析】(1)a= 0，f x = ex+ bx- 1，f x = ex+ b，
当 b≥ 0时，f x = ex+ b> 0，f x 在 R上单调递增；
当 b< 0时，f x = ex+ b= 0，解得 x= ln -b ，
则 x< ln -b 时，f x = ex+ b< 0，f x 单调递减，
x> ln -b 时，f x = ex+ b> 0，f x 单调递增；
综上，b≥ 0时，f x 在 R上单调递增；
b< 0时，f x 在 -∞, ln -b 上单调递减，在 ln -b ,+∞ 上单调递增.
(2)a=-2，f x = ex- 2x2+ bx- 1，
x
又 x> 0 , f x > 0 b> 2x+ 1 - e 恒成立，所以 x x 在 0,+∞ 上恒成立，
1 ex 1 e
x x-1 2x2- x-1 ex-1
令 g x = 2x+ x - x , x> 0，g x = 2- 2 - 2 =x x x2
，
令 u x = 2x2- x-1 ex- 1 , x> 0，u x = 4x- xex= x 4-ex ，
则 u x = 0的解为 x= ln4，
当 0< x< ln4时，u x > 0，u x 单调递增，x> ln4时，u x < 0，u x 单调递减，
又 u 0 = 0，所以 u x max= u ln4 > u 0 = 0，且 u 2 = 7- e2< 0，
∴存在唯一 x0∈ ln4,2 ，使得 u x0 = 0，即 2x20- x0-1 ex0- 1= 0，
∴ ex = 2x
2
0-10
x0-1
，
∴当 0< x< x0时，u x > 0，g x > 0，g x 单调递增，
x> x0时，u x < 0，g x < 0，g x 单调递减，
又 g 1 = 3- e> 0，
数学试题 第 13 页 共 14 页
2
2x2 2x0-11 ex0 0- +1∴ g x = g
x
x = 2x + - = 0
-1
max 0 0 x0 x0 x0
= 2x
2
0-4x0+1
x -1 = 2 x -1 -
1
0 x -1 ，且 g x max= g x0 > 00 0
又 y= 2 x 10-1 - x 在 ln4,2 上单调递增，x0= 2时，y= 1，0-1
∴ g x max= g x0 ∈ 0,1 ，又 b∈ Z，
∴ b的最小值为 1.
(3)b= 0，f x = ex+ ax2- 1，且 f 0 = 0，
x
当 x≠ 0时，f x = 0 1-e ，则 a= x2
，
1-ex 2-x ex-2
令 h x = 2 x≠0 ，h
x

= ，x x3
令 v x = 2-x ex- 2，v x = 1-x ex，
当 x∈ -∞,0 时，v x > 0，v x 单调递增，
x∈ 0,1 时，v x > 0，v x 单调递增，x∈ 1,+∞ 时，v x < 0，v x 单调递减，
又 v 0 = 0，v 1 = e- 2，v 2 =-2< 0，
x
∴ x∈ -∞,0 时，v x < v 0 = 0，h
2-xx =
e -2
3 > 0，h x 单调递增；x
当 x∈ 0,+∞ 时，v x = 0有唯一解，设为m，
2-x ex-2
则当 x∈ 0,m 时，v x > 0 h x =

， 3 > 0，h x 单调递增；x
2-x ex-2
当 x∈ m,+∞ v

时， x < 0，h x = 3 < 0，h x 单调递减，x
x∈ -∞,0 h x = 1-e
x x
又 时， 2 > 0，x∈
1-e
0,+∞ 时，hx
x = 2 < 0，x
则 h x 的简要图形如下：
x
则 x≠ 0 a= 1-e时， 2 最多有两个不同的交点，且恒大于零，x
函数 f x 有三个零点 x1 , x2 , x3 x1∴ x1= 0，且 x3= 2x2，
1-ex2 1-ex3∴ a = = = 1-e
2x2
0 x2 2
，
2 x3 4x22
整理得 e2x2- 4ex2+ 3= 0，解得 ex2= 3或 ex2= 1(舍去)，
∴ x2= ln3，
∴ a = 1-e
x2
= 1-3 20 2 =- .x2 ln3 2 ln3 2
数学试题 第 14 页 共 14 页山西大学附属中学校 2025- 2026学年第二学期高三 5月模块诊断
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设集合 A= 1,2,3,4,5 , B= x∣y= x-3 ，则 A∩ B=
A. 1,2,3 B. 3,4,5 C. 4,5 D. 1,2
2.已知复数 z= a+1 - ai a∈R ，则 a=-1是 z = 1的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知m , n是两条不同的直线，α , β , γ是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
A. 若 α⊥ β ,m α，则m β B. 若 α⊥ β , α⊥ γ，则 β γ
C. 若m α , n α，则m n D. 若m⊥ α ,m⊥ β，则 α β
4. 1-sin2α已知 = 1，则 sin2α=
sin α- π4
A. 1 2 14 B. 3 C. 2 D.
3
4
5.已知函数 f x 的导函数是 f x = 1-x2，则函数 f x 的图象可能是
A. B.
C. D.
6.等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0.若 a2 , a3 , a6成等比数列，则数列 an 的前 6项和为
A. - 24 B. - 3 C. 26 D. 24
数学试题 第 1 页 共 4 页
7.设函数 f (x) = sinωx+ cosωx(ω> 0)，若 f (x+ π) = f (x)恒成立，且 f (x)在 π 0, 4 上最大值与最小值的
和为 0，则ω的最小值为
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
2026
8.已知函数 f (x)的定义域为 R，f (3x- 2)为奇函数，f (4x- 1)为偶函数，且 f (-1) = 2，则 f (i) =
i=1
A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.从某小区抽取 100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50~350kW h之间，进行适当
分组后 (除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间)，画出如图所示的频率分布直方图，则下列
选项正确的是
A. 直方图中 x的值为 0.0044
B. 在被调查的用户中，用电量落在区间 100,250 内的户数为 70户
C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 180kW h
D. 用频率估计概率，从该小区抽取 10人，则 X表示用电量不超过 150kW h的人数，则 E X = 1.5

10. π已知在△ABC中，AB= 2 , AC= 1 , A= 3 , BD= 2DC，点 P为线段 AD的中点，则下列结论正确的有

A. AD = 33
5 1 B. PB=
6
AB- AC
3
C. 向量 PB在向量 AB上的投影向量为 AB

D. 若 AM = λAB , AN = μAC , λ> 0 , μ> 0，且M ,N ,D 1三点共线，则 λ +
2
μ = 3
11.已知⊙C： x+5 2 + y2= 64，P为⊙C上的任意一点，点 A 5,0 ，线段 AP的垂直平分线 l与直线CP相交
于点Q，点Q的轨迹与 x轴交于 A1，A2两点，则
2 y2
A. x点Q的轨迹方程为 16 - 9 = 1
B. 当点Q不在 x 16轴上时，直线QA1与QA2的斜率之积为 9
C. 当 cos∠A1QA2= 14 时，sin∠QA
9
1A2 sin∠QA2A1= 100
D. 过点C作直线 l的垂线，垂足为M x0,y0 ，则 x0+ 2y0的最大值为 4 5
数学试题 第 2 页 共 4 页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知 θ 2 1的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边经过点 P 2 , 2 ，则 sinθ= .
13.小李的银行卡的六位密码由 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5组成，如果数字 1与 2不相邻，则小李可以设置的不同的密
码个数为 .
14.已知菱形 ABCD , AB= BD= 2，现将△ABD沿对角线 BD向上翻折，得到三棱锥 A- BCD，设点 E是 AC
的中点．记△BDE的面积为 S1，三棱锥 A- BCD的外接球的表面积为 S2，则 S1 S2的最小值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 3 3a已知数列 an 的首项是 a1= 5 ，且 a
n
n+1= 2a ．n+1
(1) 1证明数列 a -1 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；n
(2) 1 1 1 1若 a + a + a + + a > 2026，求满足条件的最小整数 n的值.1 2 3 n
16.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下
2 1
一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为 3 ，乙、丙之间的胜率互为 2 ．
(1)求甲连续打前四局比赛的概率；
(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
(3)如果甲胜一局得 2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为 X，求 X的分布列和期望.
17.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，AB= 3 , BC= 2，侧面 PBC为正三角形，平面 PBC⊥
平面 ABCD，点 E为棱 PA上一点，O、G分别为 BC , AD中点．
(1)求证：平面 POG⊥平面 BEC；
(2)若点 E为 PA中点，点 P关于平面 BCE的对称点为点Q，求平面QAB与平面 PCD夹角的余弦值．
数学试题 第 3 页 共 4 页
18. C : x
2 y2
已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
2
经过点 P 1, 2 ，F为C的右焦点，且 PF与 x轴垂直．a b
(1)求C的标准方程；
(2)设直线 l与C交于 A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，探究：是否存在定圆与直线 l始终相切 若
存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在 (2)的条件下，求△AOB面积的最大值，并求此时直线 l的方程.
19.已知 f x = ex+ ax2+ bx- 1，a , b∈ R
(1)当 a= 0时，讨论 f x 的单调性；
(2)当 a=-2 , b∈ Z时，若 x> 0 , f x > 0恒成立，求 b的最小值；
(3)已知当 b= 0时，存在 a0∈ R，使得函数 f x 有三个零点 x1 , x2 , x3 x1列，求 a0的值.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. B
【解析】B= x∣y= x-3 ={x ∣ x≥ 3}，所以 A∩ B={3 , 4 , 5}.
2. A
【解析】由 z = 1，可得 a+1 2 + -a 2 = 1，解得 a=-1或 0，所以 a=-1是 z = 1的充分不必要条件.
3. D
【解析】A，若 α⊥ β且m α，则m可平行于 β，或者在 β内，或者与 β相交，错误；
B，若 α⊥ β，α⊥ γ，则 β可平行于 γ，或者与 γ相交，错误；
C，若m α , n α，则m可与 n平行，或者与 n相交，或者与 n异面，错误；
D，若m⊥ α，m⊥ β，可知 α , β的法向量都与m平行，也即 α , β的法向量平行，可得 α β，正确.
4. C
【解析】由 sinα-cosα 2 = sin2α+ cos2α- 2sinαcosα= 1- sin2α，
sinα-cosα 2 sinα-cosα 2= 故 π = 2 sinα-cosα = 1，sin α- 4 22 sinα-cosα
2
sinα- cosα= 2 1- sin2α= 2 = 1 sin2α= 1故 2 ，故 2 2 ，即 2 .
5. B
【解析】由题知 f x ≥ 0且不恒等于 0，又 y= 1- x2在 0,1 上单调递减，在 -1,0 上单调递增，
y= x在定义域上单调递增，
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 -1,0 上单调递增，
即当 x∈ -1,1 时，f x 的值由小变大，再由大变小，
即函数 f x 图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.
6. C
【解析】设等差数列 an 的公差为 d≠ 0，
因为 a2 , a3 , a6成等比数列，则 a23= a2a6，且 a1= 1，
即 1+2d 2 = 1+d 1+5d ，整理可得 d2+ 2d= 0，解得 d=-2或 d= 0(舍去)，
可得 an= 1- 2 n-1 = 3- 2n，
令 an= 3- 2n< 0，解得 n≥ 2，
所以数列 an 的前 6项和为 a1 + a2 + + a6 = a1- a2+ +a6 = a1- 5a4= 1- 5× -5 = 26.
7. B
ωx+ π 2π【解析】 4 ，周期为 ω ，
∵ f (x+ π) = f (x)，则 π是周期，
∴ω= 2k , k∈N ，即ω是正偶数，
ω+1 π
当 x∈ 0, π 4 时，t=ωx+
π ∈ π 4 4 , 4 ，
已知最大值与最小值的和为 0，
∴最大值与最小值互为相反数，
π 3π
若ω= 2，区间 4 , 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为 1，和不为 0；
参考答案 1 页 共 11 页
ω= 4 π , 5π若 ，区间 4 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为-1，和不为 0；
若ω= 6 π 7π，区间 4 , 4 ，f (x)最大值为 2，最小值为- 2，和为 0；
∴ω的最小值为 6.
8. A
【解析】因为 f (3x- 2)为奇函数，所以 f (-3x- 2) =- f (3x- 2)，
令 t= 3x- 2，则 f (-t- 4) =- f (t)，即 f (-x- 4) =- f (x)①；
因为 f (4x- 1)为偶函数，所以 f (-4x- 1) = f (4x- 1)，
令 s= 4x- 1，则 f (-s- 2) = f (s)，即 f (-x- 2) = f (x)，
所以 f (-x- 4) =- f (-x- 2)，所以 f (x) =- f (x+ 2)，即 f (x+ 2) =- f (x)②，
所以 f (x+ 4) = f (x)，所以 4是 f (x)的一个周期．
由①式，取 x=-2，可得 f (-2) =- f (-2)，即得 f (-2) = 0，
又由②式，取 x=-2，可得 f (0) =- f (-2) = 0
故 f (4) = f (0) = 0，f (2) = f (2- 4) = f (-2) = 0，
由②式，取 x=-1，可得 f (1) =- f (-1) =-2，取 x= 1，可得 f (1) =- f (0) =-2 , f (2) =- f (0) =-2 , f (3)
=- f (1) = 2，
故 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) =-2+ 0+ 2+ 0= 0，
2026
则 f (i) = 506[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)] + f (2025) + f (2026) = f (1) + f (2) =-2+ 0=-2.
i=1
9. AB
【解析】对于 A，由图可得组距为 50，根据频率和为 1，得 50×
0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012 = 1，解得 x= 0.0044，故 A正确；
对于 B，用电量落在区间 100,250 内的频率 P= 50× 0.0036+0.0060+0.0044 = 0.7，
由样本容量为 100，得用电量落在区间 100,250 内的户数= 100× 0.7= 70，故 B正确；
对于C，由图可得第一组 50,100 的频率为 50× 0.0024= 0.12，第二组 100,150 的频率为
50× 0.0036= 0.18，第三组 150,200 的频率为 50× 0.0060= 0.30；
∵前两组的累计频率为 0.12+ 0.18= 0.3，前三组的累计频率为 0.12+ 0.18= 0.6，
∴中位数位于第三组 150,200 内；
设中位数为m，则 0.3+ m-150 × 0.0060= 0.5，解得m= 183 13 ；
∵ 183 13 > 180，∴中位数超过 180kW h，故C错误；
对于D，用电量不超过 150kW h的频率为前两组频率之和，即 P= 0.12+ 0.18= 0.3；
∴用频率估计概率，从该小区抽取 1人，其用电量不超过 150kW h的概率 p= 0.3.
从该小区抽取 10人，设 X表示用电量不超过 150kW h的人数，
则 X服从二项分布 B 10，0.3 ，则 E X = 10× 0.3= 3≠ 1.5，故D错误.
10. BCD
π
【解析】因为 AB= 2 , AC= 1 , A= 3 ，
所以 BC2= AB2+ AC2- 2AB·AC·cos π3 = 4+ 1- 2× 2× 1×
1
2 = 3，
所以 AB2= AC2+ BC2，
所以△ABC为直角三角形，
参考答案 2 页 共 11 页

因为 BD= 2DC，所以D是 BC上靠近点C的三等分点，
1 3
对于 A，CD= 3 BC= 3 ，
2
由勾股定理知 AD = 12+ 33 = 2 33 ，故 A错误；

对于 B，由题意知 AD= AB+ BD= AB+ 23 BC= AB+
2
3 AC-AB =
1
3 AB+
2
3 AC，

所以 PB= AB- AP= AB- 12 AD= AB-
1 12 3 AB+
2
3 AC =
5
6 AB-
1
3 AC，故 B正确；

C B PB= 5
1
对于 ，由 知 6 AB- 3 AC，
5 1 5
所以 PB AB= 6 AB AB- 3 AC AB= 6 AB
2
- 13 AC AB cosA
= 5 × 22- 16 3 × 1× 2×
1
2 = 3，
PB AB 3 3
所以向量 PB在向量 AB上的投影向量为 2 ·AB= AB= AB，故C正确；
AB 22 4

对于D，因为 AM = λAB , AN = μAC , λ> 0 , μ> 0，

所以 AB= 1λ AM , AC=
1
μ AN，
1 2 1 1
由 B知 AD= 3 AB+ 3 AC，所以 AD= 3 × λ AM +
2 1
3 × μ AN，
又M ,N ,D 1 2 1 2三点共线，所以 3λ + 3μ = 1，所以 λ + μ = 3，故D正确.
11. ACD
【解析】⊙C： x+5 2 + y2= 64，则C -5,0 ，半径 r= 8，
由 l为线段 AP的垂直平分线，故 QP = QA ，
又 P为⊙C上的任意一点，故 PC = 8，
由 AC = 10，则 QP + CQ = AQ + CQ > 10，
则 CQ - QP = 8或 QP - CQ = 8，则 QA - QC = 8，
故点Q的轨迹为以 A、C为焦点，2a= 8的双曲线，
由C -5,0 、A 5,0 ，故 c= 5，则 b2= c2- a2= 25- 16= 9，
x2 y2
即点Q的轨迹方程为 16 - 9 = 1，故 A正确；
x2 y2
对 B：设 A1在 A2左侧，由点Q的轨迹方程为 16 - 9 = 1，故 A1 -4,0 、A2 4,0 ，
Q x
2 y2 21 x
设 x1,y1 ，则有 1 - = 1，故 y2 116 9 1= 9 16 -1 ，
9 x
2
1
y y y2 -11 1 1 16 9
则 kQA kQA =1 2 x1+4
x -4 = 2 = 2 = ，故 B错误；1 x1-16 x1-16 16
对C：由∠A1QA2+∠QA1A2+∠QA2A1= π，故∠QA1A2+∠QA2A1= π-∠A1QA2，
1
则 cos ∠QA1A2+∠QA2A1 = cos π-∠A1QA2 =-cos∠A1QA2=- 4 ，
即 cos∠QA1A2 cos∠QA2A1- sin∠QA1A2 sin∠QA2A1=- 14 ，
由 B 9知 kQA k1 QA = 16 ，又 kQA = tan∠QA1A2 1 2，
参考答案 3 页 共 11 页
kQA = tan π-∠QA2A1 =-tan∠QA2 2A1，
故 tan∠QA1A2 tan∠QA2A1=- 916 ，
即 cos∠QA 161A2 cos∠QA2A1=- 9 sin∠QA1A2 sin∠QA2A1，
- 16则 9 sin∠QA1A2 sin∠QA2A1- sin∠QA A sin∠QA A =-
1
1 2 2 1 4 ，
sin∠QA A sin∠QA A = 1 × 9 9即 1 2 2 1 4 25 = 100 ，故C正确；
对D：取点C关于 l对称点C ，则 C A = CP = 8，
故点C 的轨迹方程为 x-5 2 + y2= 64，
-5+x y
由M在 l上且CM⊥ l，则M x0,y0 为CC 中点，则有 x0= C2 ，y0=
C
2 ，
故 xC = 2x0+ 5，yC = 2y0，即有 2x0+5-5
2 + 2y 20 = 64，
化简得 x20+ y20= 16，故可设 x0= 4cosθ，y0= 4sinθ，θ∈ 0,2π ，
则 x0+ 2y0= 4cosθ+ 8sinθ= 4 5sin θ+φ ≤ 4 5 tanφ=
1
，其中 2 ，
即 x0+ 2y0的最大值为 4 5，故D正确.
12. 33
2
【解析】因为已知角 θ终边过点 P 2 ,
1
2 ，根据 r= x2+y2
2 1
，其中 x= 2 , y= 2 ，
1
r= 2
2 2
+ 1 = 3可得 2 2 2 ，所以 sinθ=
y = 2 = 1 = 3r .3 3 3
2
13. 144
【解析】如果六位密码中 1 , 1相邻，则先排 3 , 4 , 5，
再利用插空法可得不同的密码个数为 A33A24= 6× 12= 72，
如果六位密码中 1 , 1不相邻，则先排 2 , 3 , 4 , 5，此时有 5个空挡，
这 5个空挡中有 3个空挡可以插入 1 , 1，故此时不同的密码个数为 A44C23= 24× 3= 72，
故不同密码的个数为 144.
14. 8π
参考答案 4 页 共 11 页
【解析】已知菱形 ABCD , AB= BD= 2，则△ABD , △BCD均为边长为 2的等边三角形，
连接 AO ,CO，则 AO⊥ BD ,CO⊥ BD，且 AO=CO= 3，
设二面角 A- BD-C的平面角为 θ=∠AOC，则 BD⊥平面 AOC，
E为 AC的中点，在等腰△AOC中，OE⊥ AC，
由 BD⊥平面 AOC，得 BD⊥OE，
∴OE= 3cos θ2 ，
∴ S = 1 BD OE= 1 2 3cos θ1 2 2 2 = 3cos
θ
2 ，
以O为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则O 0,0,0 , B -1,0,0 ,D 1,0,0 ,C 0, 3 ,0 , A 0, 3cosθ, 3sinθ ，
∵ E是 AC中点，
3 1+cosθ∴ E 0, , 3sinθ2 2 ，
设三棱锥 A- BCD OD OD 1的外接球球心为O1，则 OO = tan60
°，解得OO2= = ，
2 tan60° 3
O O =OO tan θ 11 2 2 2 = tan
θ
2 ，3
∴O1 0, 1 , 1 tan θ ，3 3 2
设外接球半径为 R，则
R2=O 2 2 2 1 θ
2 2 2 1 2 θ
1D =O1O2+O2D = tan3 2 + = 3 4+ tan3 2 ，
∴ S = 4πR2= 4π 2 θ2 3 4+ tan 2 ，
∴ S S = 3cos θ 4π 4+ tan2 θ = 4 3π 1 2 2 3 2 3 3cos
θ 1
2 + θ ，
cos 2
令 t= cos θ2 ∈ 0,1 ，则 3cos
θ 1 1 1
2 + θ = 3t+ t ≥ 2 3t t = 2 3，cos 2
1
当且仅当 t= 时取最小值，
3
∴ S S = 4 3π 1 2 min 3 2 3= 8π.
15. (1)a 3an 1 2an+1 2 1 1 2 1 1 1n+1= 2an+1
a = = + - 1= + - 1= - ，n+1 3an 3 3an an+1 3 3an 3an 3
1
1 1 1 a -1 1
所以 - 1= n+1an+1 3 a -1 n 1 =-1 3 ，an
参考答案 5 页 共 11 页
1
又 a - 1=
5
3 - 1=
2
1 3
，
1 2 1
所以数列 -1 an 是以首项为 3 ，公比为 3 的等比数列，
1 2 1 n-1
所以 a - 1= 3 3 ，n
1 n
可得 a = 2
1
n + 1 a =
3
.
n 3 n 3n+2
(2)由 (1) 1得 a -1 为等比数列，n
1
设数列的前 n项和为 Sn，Sn= a - 1+
1 - 1+ 1a a - 1+ +
1 1 1 1 1
1 2 3 a
- 1= + + + + - n=
n a1 a2 a3 an
1 n
2 1- 3
3 ，1- 13
1 1 1 1 1 n 1 n
所以 a + a + a + + a = 1- 3 + n> 2026 n- 3 > 2025，1 2 3 n
x
构造函数令 f x = x- 13 ，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
2025
n为整数，所以当 n= 2025，2025- 13 < 2025，不成立，
2026 2026
当 n= 2026，2026- 13 = 2025+ 1-
1
3 > 2025，成立，
所以满足条件的最小整数 n的值为 2026.
16. (1)由甲连续打前四局比赛，说明甲在前 3局都获胜，
2
第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为 3 ，
2
第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为 3 ，
2
第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为 3 ，
2 2 2 8
所以甲连续打前四局比赛的概率为：P= 3 × 3 × 3 = 27 .
(2)设事件 A：前四局中第二局乙获胜，事件 B：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，
对于前四局中第二局乙获胜：
2 1
即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为 1- 3 = 3 ，
1
第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为 2 ，
所以 P A = 13 ×
1
2 =
1
6 ，
在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第 4局甲轮空
2 1
第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为 1- 3 = 3 ，
第四局：乙、丙对打，概率为 1，
P AB = 1 × 1 × 1 1所以 3 2 3 × 1= 18 ，
1
P AB 18 1
根据条件概率知：P B|A = = = .P A 1 3
6
(3)由题意知得分 X的可能值为：0 , 2 , 4，6，
参考答案 6 页 共 11 页
P X=0 = 1- 2 × 1- 2 = 1 3 3 9 ，
P X=2 = 2 × 1- 2 + 1- 2 × 2 4 3 3 3 3 = 9 ，
P X=4 = 2 × 2 × 1 = 4 3 3 3 27 ，
P X=6 = 2 × 2 2 8 3 3 × 3 = 27 ，
所以 X的分布列为：
X 0 2 4 6
P 1 4 4 89 9 27 27
E 1 4 4 8 X = 0× 9 + 2× 9 + 4× 27 + 6× 27 =
88
27 .
17. (1) ∵侧面 PBC为正三角形，O为 BC的中点，
∴ PO⊥ BC，
∵ ABCD是矩形，且O、G分别为 BC , AD中点，∴OG⊥ BC，
∵ PO 面 POG ,OG 面 POG , PO∩OG=O，
∴ BC⊥面 POG ,∵ BC 平面 BEC，
∴平面 POG⊥平面 BEC.
(2)方法一：由 (1)知 PO⊥ BC，∵平面 PBC⊥平面 ABCD，
PO 平面 PBC，平面 PBC∩平面 ABCD= BC ,∴ PO⊥平面 ABCD，OG⊥ BC，
以O为坐标原点，OB ,OG ,OP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
P 0,0, 3 , A 1,3,0 , B 1,0,0 ,C -1,0,0 ,D -1,3,0 , E 1 3 3则 2 , 2 , 2 ，
1 3 3 BC= -2,0,0 , BE= - 2 , 2 , 2 , PB= 1,0,- 3 ，

PC= -1,0,- 3 , PD= -1,3,- 3 ，设Q a,b,c ，

则QB= 1-a,-b,-c , PQ= a,b,c- 3 ，

设平面 BCE m BC=0 -2x=0的一个法向量为m= x,y,z ，则 ，即 m BE=0 -x+3y+ 3 z=0，
取 z= 3，则 y=-1 , x= 0 ，所以m= 0,-1, 3 ，

易知点 P到平面 BCE的距离与点Q到平面 BCE的距离相等且 PQ m ，

PB m QB m
即 = 且 a= 0 ,
b c- 3
m m -1
= ，
3
即 3= b- 3c 且 a= 0 , 3b= 3- c，
参考答案 7 页 共 11 页
解得 b= 0 , c= 3 ( ) 3 3 3 3舍去 或 b= 2 , c=- 2 ，所以Q 0, 2 ,- 2 ．

设平面QAB的一个法向量为 t = x0,y0,z0 ，

又QA= 1, 32 ,
3 ,QB= 1,- 3 , 32 2 2 ，

t QA=0 2x0+3y0+ 3 z0=0则 ，即 2x ，t QB=0 0-3y0+ 3 z0=0

取 x0= 3 , y0= 0 , z0=-2，所以 t = 3 ,0,-2 ．

设平面 PCD的一个法向量为 n= x1,y1,z1 ，
n

PC=0 -x1- 3 z1=0则 ，即 n PD=0 -x1+3y1- 3 z =0 取 x1= 3，1
则 y1= 0 , z1=-1，所以 n
= 3 ,0,-1 ，
= 设平面QAB与平面 PCD夹角为 θ，则 cosθ cos t ,n = 5 714 ．
故平面QAB与平面 PCD 5 7夹角的余弦值为 14 ．
方法二：设平面 BEC与棱 PD相交于点 F，
因为 AD BC , AD 面 BCFE，则 AD 平面 BCFE，
且面 BCFE∩面 PAD= EF，则 AD FE，又因为 E为 PA中点，可得 F为 PD中点，
设平面 BEFC∩平面 POG=OH，OH∩ PG=H，则H为 PG中点，
因为 P关于平面 BCFE的对称点为Q，PQ的中点为M，
所以 PQ⊥面 BCFE，由 (1)知平面 POG⊥平面 BCFE，
所以 PQ 平面 POG，又平面 POG∩平面 BCFE=OH
且 PQ⊥OH，且 PM=MQ，
在平面 POG内，PO= 3 ,OG= BA= 3，所以∠OPG= 60°，
因为H为 PG中点 PH=OH= 12 PG= 3，
可得△POH为正三角形，因为 PM⊥OH，所以M为OH中点，
由对称性可知，△PHM △QHM , ∠PHM=∠QHM= 60°，
所以∠POH=∠QHM= 60°，可得HQ PO，且HQ= PO= 3，
设HQ交OG于点K，则K为OG中点，
OK= 3则 2 ,HK=KQ=
1
2 PO=
3
2 ，
由 PO⊥面 ABCD , BC⊥CD，可得 PC⊥CD，
则平面 PCD与平面 ABCD夹角为∠PCO= 60°，
3
设平面QAB与平面 ABCD夹角为 α，同理可得 tanα= 2 ，
参考答案 8 页 共 11 页
则平移可得平面QAB与平面 PCD夹角为 60° -α，
3- 3
则 tan 60°-α = 2 = 35 ，即 cos 60°-α
5 7
3
= ，
1+ 3 142
5 7
故平面QAB与平面 PCD夹角的余弦值为 14 ．
18. (1)因为 PF与 x轴垂直，所以 F(1 , 0)，∴ c= 1，∴ a2- b2= 1
又点 P 1, 22
1 1
在椭圆上，∴ 2 + 2 = 1，得 a
2= 2 , b2= 1.
a 2b
x2
所以椭圆C的标准方程为 22 + y = 1.
(2)当直线 l的斜率存在时，设直线 l方程为 y= kx+m，A(x1 , y1) , B(x2 , y2).
x2 22 +y =1联立得 ，整理得 (1+ 2k2)x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0.y=kx+m
Δ= (4km)2- 4(1+ 2k2) (2m2- 2) = 8(2k2-m2+ 1)> 0，即 2k2+ 1>m2.
2 2 2
∴ x -4km 2m -2 2 2 m -2k1+ x2= , x1+2k2 1
x2= 1+2k2
，y1y2= (kx1+m) (kx2+m) = k x1x2+ km(x1+ x2) +m = 1+2k2
2 2 2
∵OA⊥OB，∴OA OB= x x + y y = 0 2m -2 + m -2k1 2 1 2 ，即 2 2 = 0，整理得 3m
2= 2k2+ 2.
1+2k 1+2k
2(k2+1)
O l d=
m m2= 2k
2+2 m2 3 2
原点 到直线 的距离 ，将 代入得 d2=
k2+1 3 k2
= =
+1 k2+1 3
故距离 d为定值 2 ，所以存在定圆 x2+ y2= 23 3 与直线 l相切.
当直线 l的斜率不存在时，设直线 l的方程为 x=m，A(m , y1) , B(m , y2).
x
2
2 +y
2=1 m2 m2
联立 ，∴ y2+ 2 - 1= 0，则m2≥ 2，∴ y1y2= 2 - 1.x=m
2
OA OB=m2+ y 2 m 21y2=m + 2 - 1= 0，得m=± 3 ，即直线 l的方程为 x=±
2
3 ，
此时直线 l与圆 x2+ y2= 23 相切，符合题意.
参考答案 9 页 共 11 页
2
综上，存在定圆与直线 l相切，定圆的方程为 x2+ y2= 3 .
(3) S = 1由三角形面积公式得 2△AOB 2 AB d，其中 d= 3 为定值.
2 2
当直线 l的斜率存在时， AB = 1+k2 (x1+x 22) - = + 2
8(2k +1-m )
4x1x2 1 k ，1+2k2
2(k22= +1)
2
m AB = 8(4k +1)(k
2+1)
将 3 代入整理得 ( 2+ )2 .3 2k 1
t= 2k2+ 1(t≥ 1) AB = 4(t+1)(2t-1)令 ，则 43t2 = 3 2+
1
t -
1
t2 .
1
当 t =
1 1
2 时，即 t= 2(此时 k
2= 2 )时， AB 有最大值 3.
S = 1 × 3 × 2 = 2此时三角形面积有最大值，最大值为 △AOB 2 3 2 .
2 2(k2+1)
此时 k=± 2 ，代入m
2= ，得m23 = 1，∴m=±1.
l y= 2 x± 1 y=- 2直线 的方程为 2 或 2 x± 1.
当直线 l的斜率不存在时，由 (2)可得 A 2 , 2 , B 2 2 2 23 3 3 ,- 3 或 A - 3 , 3 ,
B - 23 ,- 23 .
1 2 2
此时 AB = 2 23 ，S△AOB= 2 × 2
2 2
3 × 3 = 3 < 2 .
2 2 2
综上，△AOB面积的最大值为 2 ，此时直线 l的方程为 y= 2 x± 1或 y=- 2 x± 1.
19. (1)a= 0，f x = ex+ bx- 1，f x = ex+ b，
当 b≥ 0时，f x = ex+ b> 0，f x 在 R上单调递增；
当 b< 0时，f x = ex+ b= 0，解得 x= ln -b ，
则 x< ln -b 时，f x = ex+ b< 0，f x 单调递减，
x> ln -b 时，f x = ex+ b> 0，f x 单调递增；
综上，b≥ 0时，f x 在 R上单调递增；
b< 0时，f x 在 -∞, ln -b 上单调递减，在 ln -b ,+∞ 上单调递增.
(2)a=-2，f x = ex- 2x2+ bx- 1，
x
又 x> 0 , f x > 0恒成立，所以 b> 2x+ 1 - ex x 在 0,+∞ 上恒成立，
1 ex 1 ex x-1 2x2- x-1 ex-1
令 g x = 2x+ x - x , x> 0，g
x = 2- - = ，x2 x2 x2
令 u x = 2x2- x-1 ex- 1 , x> 0，u x = 4x- xex= x 4-ex ，
则 u x = 0的解为 x= ln4，
当 0< x< ln4时，u x > 0，u x 单调递增，x> ln4时，u x < 0，u x 单调递减，
又 u 0 = 0，所以 u x max= u ln4 > u 0 = 0，且 u 2 = 7- e2< 0，
∴存在唯一 x0∈ ln4,2 ，使得 u x0 = 0，即 2x20- x x00-1 e - 1= 0，
∴ ex = 2x
2
0-10
x0-1
，
∴当 0< x< x0时，u x > 0，g x > 0，g x 单调递增，
x> x0时，u x < 0，g x < 0，g x 单调递减，
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又 g 1 = 3- e> 0，
2
2x2 2x0-1x0 0-
∴ g x = g x = 2x + 1 - e = x0-1
+1
max 0 0 x0 x0 x0
= 2x
2
0-4x0+1
x -1 = 2 x
1
0-1 - x -1 ，且 g x max= g x0 > 00 0
又 y= 2 x0-1 1 - x -1 在 ln4,2 上单调递增，x0= 2时，y= 1，0
∴ g x max= g x0 ∈ 0,1 ，又 b∈ Z，
∴ b的最小值为 1.
(3)b= 0，f x = ex+ ax2- 1，且 f 0 = 0，
x
当 x≠ 0时，f x = 0，则 a= 1-ex2
，
x 2-x ex-2
令 h x = 1-e 2 x≠0 ，h
x

= ，x x3
令 v x = 2-x ex- 2，v x = 1-x ex，
当 x∈ -∞,0 时，v x > 0，v x 单调递增，
x∈ 0,1 时，v x > 0，v x 单调递增，x∈ 1,+∞ 时，v x < 0，v x 单调递减，
又 v 0 = 0，v 1 = e- 2，v 2 =-2< 0，
2-x ex-2∴ x∈ -∞,0 时，v x < v 0 = 0，h x = 3 > 0，h x 单调递增；x
当 x∈ 0,+∞ 时，v x = 0有唯一解，设为m，
2-x ex-2
则当 x∈ 0,m 时，v x > 0 h x =

， 3 > 0，h x 单调递增；x
2-x ex-2
当 x∈ m,+∞ v

时， x < 0，h x = 3 < 0，h x 单调递减，x
x∈ -∞,0 h x = 1-e
x x
又 时， 2 > 0，x∈
1-e
0,+∞ 时，hx
x = 2 < 0，x
则 h x 的简要图形如下：
x
则 x≠ 0 a= 1-e时， 2 最多有两个不同的交点，且恒大于零，x
函数 f x 有三个零点 x1 , x2 , x3 x1∴ x1= 0，且 x3= 2x2，
1-ex2 1-ex3∴ a = = = 1-e
2x2
0 x2 2
，
2 x3 4x22
整理得 e2x2- 4ex2+ 3= 0，解得 ex2= 3或 ex2= 1(舍去)，
∴ x2= ln3，
∴ a = 1-e
x2
= 1-3 20 2 =- .x2 ln3 2 ln3 2
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