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江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若 则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ）

A．2 B．9 C．10 D．18
4．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，,且，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．函数，下列结论正确的有（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则
D．函数的最大值为
三、填空题
12．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________．
13．已知，，，若、、三点共线，则______.
14．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______．
四、解答题
15．已知向量，且．
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值；
(3)若向量与互相垂直，求k的值．
16．在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)已知，，
（ⅰ）求的周长；
（ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度.
17．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求中线的长；
(2)求的余弦值．
(3)设，求t的值，并用向量方法证明．
18．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．已知函数．
(1)设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
(2)对任意、，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】由，
可得，
解得，
所以；
又因为，
所以.
故选：D.
2．B
【详解】因为，即，
，即，
，即，
所以.
故选：B
3．B
【详解】因为是的中点，所以.
因为，所以.
由于三点共线，所以可以表示为的线性组合，
即.
所以，即.
因为，所以.
当且仅当时，即时等号成立.
由于，所以解得，此时最小值为9.
故选：B.
4．D
【详解】由题意，可得，
且，在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
所以．
故选：D．
5．C
【详解】因为，
所以，
则.
6．D
解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
7．D
【详解】因为表示两向量各自方向上的单位向量，
又，所以的角平分线与垂直，所以，
因为，，
所以，则
8．D
【详解】由题意可得，解得，
显然，
，
于是.
9．CD
【详解】在中，过点作于点，则为中边上的高，记为.
.
根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意.
10．AC
【详解】A选项，由，
得，
即，故A正确；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，
，故D错误.
11．AD
【详解】，
对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确；
对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，由，可得，由，得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且当，即时，，当，即时，，
当，即时，，
要使方程在上有两个不相等的实数根，
，故，C错误；
对于D，因
，
因，则当时，取得最大值，故D正确.
12．/
【详解】因为向量，的夹角为，，，
.
，
，
解得．
故答案为：.
13．/
【详解】,由于、、三点共线，故共线，
因此，故，
则
14．/1.5
解：因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，
所以设，
则,，
所以，
因为，所以，
所以的最大值是.
故答案为：.
15．(1)
(2)4
(3)或
【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为，
，解得，
所以向量与的夹角．
（2）．
（3）由向量与互相垂直得，，
所以，即，解得或．
16．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）根据正弦定理，将边化角可得： ，
又因为，
又因为在中，，所以，
即，又因为，，
，即 ；
（2）因为，
，整理得，解得或（舍去），
因此周长为；
已知，，故，
由正弦定理 ，
因为，为直角三角形，故，
可得.
17．(1)
(2)
(3)，证明见解析
【详解】（1）因为为BC的中点，，
，
.
（2）因为，
,
，
.
（3），证明如下：
，
因为三点共线，
所以，又，
所以，
所以，解得.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由题意得，
则，得，
即，
得，等号成立时，
的面积为，则的面积取得最大值.
（3）由正弦定理，得，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，，所以，
故周长的取值范围为.
19．(1)（i）最小值为，；（ii）
(2)
【详解】（1）（i）当时，，
的定义域为，
令，，则，
当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.
（ii）在上单调递增，
在上单调递减，令，解得，
所以的单调递减区间为.
（2）当时，令，
可化为．
记函数在上的最大值为，最小值为，
由对任意、，恒成立，得恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线．
①当时，在上单调递增，
可得，，
由，得，解得，不符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，由，可得，所以，
解得，此时；
当时，由，可得，解得，此时；
③当时，，
由，可得，解得，不符合题意．
综上，的取值范围为.

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