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1.1向量
1．下列命题中正确的是( )
A.零向量没有方向
B.共线向量一定是相等向量
C.若向量,同向,且,则
D.单位向量的模都相等
2．下列说法正确的是( )
A.若,方向相反,则与为相反向量
B.模相等的两个平行向量相等
C.零向量与任意向量平行
D.共线向量是在同一条直线上的向量
3．下列各量中是向量的是( )
A.时间 B.路程 C.加速度 D.温度
4．下列物理量不能用向量表示的是( )
A.质量 B.位移 C.速度 D.加速度
5．如图,正方形和正方形有公共边,与向量相等的向量为( )
A. B. C. D.
6．下列物理量中不是向量的是( )
A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移
7．已知向量与的夹角为,若,则( )
A.1 B. C.2 D.3
8．已知,是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的有( )
①,;②,;③,
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
9．设P，Q两点把线段AB三等分（P靠近A），则下列向量表达式中错误的是( )
A. B.
C. D.
10．下列说法中正确的个数为( )
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；
④平面上的数轴都是向量.
A.1 B.2 C.3 D.4
11．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为( )
A. B. C. D.
12．下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
13．下列叙述中错误的是( )
A.若,则 B.
C.若,则 D.若,,则
14．下列说法中正确的有( ).
A.零向量的方向是任意的 B.单位向量都相等
C.相等向量的长度一定相等 D.共线向量一定在同一条直线上
15．下列结论正确的是( )
A.平行向量也叫作共线向量
B.单位向量都相等
C.长度相等且方向相同的向量叫相等向量
D.两个单位向量之和仍可能是单位向量
16．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中.若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为始点表示马走了“一步”的向量共有_______________个.
17．已知，是两个不共线的向量，，，求证：a与b是共线向量.
18．已知非零向量a，求向量的模.
19．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，.求证：四边形ABCD是平行四边形.
20．在四边形ABCD中，已知，求证：四边形ABCD为平行四边形.
21．如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
22．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）.
23．如图，在直线l上，找出与平行的向量.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A:模为0的向量叫零向量,零向量的方向是任意的,故A错误;
对于B:相等向量要求方向相同且模长相等,共线向量不一定是相等向量,故B错误;
对于C:向量不可以比较大小,故C错误;
对于D:单位向量的模为,都相等,故D正确.
故选:D.
2．答案：C
解析：选项A:若,方向相反,但模长不同时,两个向量不是相反向量,故A错误;
选项B:若模长相等的两个平行向量,方向相反,则为相反向量,不是相等向量,故B错误;
选项C:由零向量的定义可知零向量与任意向量平行,故C正确;
选项D:共线向量方向相同或相反,可位于平行直线上,不一定在同一条直线上,故D错误.
3．答案：C
解析：因为时间、路程、温度只有大小没有方向,故是数量,加速度既有大小,又有方向,故是向量.
故选:C.
4．答案：A
解析：向量是既有大小又有方向的量,
而质量只有大小没有方向,不能用向量表示,
位移 速度 加速度是既有大小又有方向的量,都是向量.
5．答案：B
解析：由题可知,,且,
四边形为平行四边形,
则与向量相等的向量为.
6．答案：B
解析：向量既有大小又有方向.时间只有大小,没有方向.
故选B.
7．答案：D
解析：根据题意可得,又,
可得.
故选:D
8．答案：A
解析：①中,与显然共线;②中,因为,故与共线;
③中,设,得,无解,故与不共线.
故选:A.
9．答案：D
解析：因为方向相同，且，所以，A正确；
因为方向相同，且，所以，B正确；
因为方向相反，且，所以，C正确；
因为方向相反，且，所以，D错误.
故选D.
10．答案：B
解析：既有大小又有方向的量称为向量，结合向量的概念可知②④错误，结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，故选B.
11．答案：B
解析：对于选项A，，但方向相反，不满足向量相等的条件，所以与不相等，
对于选项B，与方向相同，且，所以，
对于选项C，与方向不同，所以与不相等，
对于选项D，与方向不同，所以与不相等，D不符合题意.故选B.
12．答案：BD
解析：向量不能比较大小,A错误；
表示向量大小相等,方向相同,所以,B正确；
若是零向量,零向量平行于任意向量,此时即使满足、,但和也可以不平行,C错误；
由得、与同向；由得、与同向,因此、与同向,即,D正确.
13．答案：ACD
解析：对于选项A：向量不能比较大小,故A错误；
对于选项B：,故B正确；
对于选项C：若,即模长相等,但的方向不确定,不一定相同,
所以不一定成立,故C错误；
对于选项D：例如,对于任意,均有,,
但不一定共线,故D错误.
14．答案：AC
解析：对于选项A：零向量的方向是任意的,故A正确；
对于选项B：单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以单位向量不一定相等,故B错误；
对于选项C：相等向量的模长和方向均相同,所以相等向量的长度一定相等,故C正确；
对于选项D：共线向量可能在同一条直线上,也可能在平行线上,故D错误.
15．答案：ACD
解析：长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量,单位向量的方向不确定,B错误.
平行向量也叫作共线向量,长度相等且方向相同的向量叫相等向量,
两个单位向量之和仍可能是单位向量,如图,菱形的边长为1,,
则,都是单位向量,且,
因此ACD正确.
16．答案：11
解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走.
如图，以点B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以点C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个.
17．答案：证明见解析
解析：证明：，，
，
与b是共线向量.
18．答案：1
解析：，
故向量的模为1.
19．答案：证明见解析
解析：证明：，，
，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形.
20．答案：证明见解析
解析：证明：，
，且，
即，
四边形ABCD为平行四边形.
21．答案：有1，2，3，，，，共6种大小不同的模，有16种不同的方向
解析：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有6个模，
下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有4个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共4个方向；的矩形的对角线对应的向量共4个方向；的矩形对角线对应的向量共有4个方向，所以共有16个方向.
22．答案：的长度为，的长度为，的长度为
解析：由题意，图中小正方形的边长为1
故，，，
故，，.
23．答案：与平行的向量有，，，，
解析：由平行向量的定义，与平行的向量与向量方向相同或者相反，
由于在直线l上，故所有向量都满足条件，
因此与平行的向量有：，，，，.

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