资源简介

广西壮族自治区贵港市港北区2024-2025学年下学期期中教学质量检测八年级数学试题
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数是勾股数的是（　　）
A． B．1，，
C．16，12，20 D．8，15，19
3．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等
B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形
D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形
8．如图，四边形为正方形，以为边在正方形外作等边，连接、交于点F，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形的对角线，相交于点，，，，，则下列结论错误的是
A． B．
C．四边形是菱形 D．四边形的面积是
11．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．中， ，最小边，则最长边的长为　 　．
14．如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为　 　．
15．如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点H，延长交于点F，连接，若正方形边长是5，，则的长为　 　．
16．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为　 　．
17．如图在中，，，边上的中线．求：
（1）的度数；
（2）的面积．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝4，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
19．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．如图，在四边形中，，，，平分交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
22．在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F．
（1）连接，如图1，
①求证：；
②若，求的度数．
（2）如图2，过点F作交于点G，求证：．
23．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
（1）__________，__________（用表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、0.3，0.4，0.5 不是正整数，不符合题意；
B、1，，不全是正整数，不符合题意；
C、∵12，16，20 都是正整数，且
∴它们是勾股数，符合题意；
D、∵，∴它们不是勾股数，不符合题意。
故选：C．
【分析】本题考查勾股数的判定，解题关键是紧扣勾股数的两个核心条件：一是三个数必须为正整数，二是需满足两数的平方和等于第三个数的平方。解题时可先排除非正整数的选项，再对剩余选项验证平方关系，即可快速选出答案。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于，
∴多边形的内角与相邻外角互补，此多边形的每个外角都等于；
∵多边形的外角和为，
∴此多边形的边数为：；
故选：C．
【分析】本题考查多边形内角与外角的关系，解题关键是利用 “多边形外角和为 ” 这一固定性质，先通过内角求出每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数，即可快速算出多边形的边数，比直接用内角和公式计算更简便。
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等边对等角可得，最后根据三角形的外角性质，即可得出结果．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，所以EO是的中位线，根据三角形中位线定理
；
故选：D．
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与三角形中位线定理，解题的关键是先通过 “平行线 + 角平分线” 的组合证明，算出PB的长度，再利用E、O分别是PD、BD中点的条件，判定EO是△DPB的中位线，从而直接用中位线定理求出EO的长。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵为的平分线，，，根据角平分线的性质定理
∴；
∵，
即，代入三角形面积公式：
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形面积计算，解题关键是先利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到；再利用即可求解．
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理，G、H分别是边CD、DA的中点 ，
∴HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，但AC与BD不一定相等，A说法错误；
若四边形EFGH是正方形时，如图
此时∠HEF=∠2=∠1=90°，因此AC与BD互相垂直且相等，B说法正确；
若AC＝BD，则EH==FG=HG==EF，因此四边形EFGH是菱形，C说法错误；
若AC⊥BD，如图
则∠1=∠2=∠HEF=90°，因此四边形EFGH是矩形，D说法错误；
故答案为：B．
【分析】本题先根据条件以及三角形中位线定理，分别得出EF∥AC，EF＝AC、HG∥AC，HG＝AC，进而综合得出EF∥HG，EF＝HG，此时依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，从而得出四边形EFGH是平行四边形；但不一定有AC与BD相等，因此可以判断A选项；
结合正方形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”，可以推出∠HEF=∠2=∠1=90°，从而判断B选项；
结合“临边相等的平行四边形是菱形”，即可判断C选项；
结合正方形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”，可以推出∠1=∠2=∠HEF=90°，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可判断D选项。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】本题由正方形及等边三角形的性质，综合得，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和，列式求得∠FBC=15°，然后利用三角形外角和计算出，从而求出，根据SAS证明，则得，最后利用邻补角计算出=60°．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、当，且四边形ABCD是平行四边形时，可以判定是菱形，正确；
B、当，且四边形ABCD是平行四边形时，可以判定是菱形，正确；．
C、当，且四边形ABCD是平行四边形时，四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，因此不可以判定是菱形，错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．正确。
故答案为：C．
【分析】A选项，利用“对角线垂直的平行四边形是菱形”进行判定即可；B选项，利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判定即可；C选项，利用“对角线相等的平行四边形是矩形”进行判断；D选项，先利用平行四边形的性质得出，利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合选项条件推出，从而利用“等角对等边”得出，此时利用“临边相等的平行四边形是菱形”即可进行判定。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】四边形是矩形，所以对角线互相平分且相等：
，，
，，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意，
，，
，
在矩形 ABCD 中， ，由勾股定理
，故选项正确，不符合题意，
，
是等边三角形，
，故选项正确，不符合题意，
矩形的面积，菱形 OCED 的面积是矩形 ABCD 面积的一半
四边形的面积为，故D选项错误，符合题意。
故选D．
【分析】本题综合考查矩形、菱形的性质与勾股定理，由矩形的性质可得，，可证四边形OCED是菱形，可得DE＝OC＝OD＝2，∠E＝∠COD，由勾股定理可求，可证△AOB是等边三角形，即可求∠E的度数，由面积关系可求四边形OCED的面积为2．
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接；
∵点F，G分别是，的中点，
∴是的中位线，根据三角形中位线定理：
∴；
∴当最小时，最小；
当时，最小，从而最小；
∵四边形是菱形，，
∴；
∵，
∴，因此 △AED 是等腰直角三角形
∴；
已知菱形边长 AD=AB=6，由勾股定理：
在中，，
∴，
∴
即的最小值为；
故选：B．
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等角对等边，垂线段最短等知识；解题关键是通过中位线定理将FG的最小值问题转化为AE的最小值问题，再利用 “垂线段最短” 确定AE取最小值的位置，最后结合等腰直角三角形的性质求出AE的长度，进而得到FG的最小值。即连接；则，当最小时，最小；当时，最小；在中，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求得的最小值，从而可求得的最小值．
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴；
∵，
∴，
∴，即；
∵，
∴，
故①正确；
∵，可知△AEP是等腰直角三角形，故，
∴，
∴；
∵，可得对应角相等
∴，
故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴在中，由勾股定理得，
故③错误；
∵，
∴，
∴，
而，，
∴；
故④正确；
综上，正确的有3个；
故选：C．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△APD △AEB是解题的关键，以此为基础推导角度和边长关系，再结合勾股定理和面积转换，逐一验证结论的正确性。即由正方形的性质及、可证明，则可判断①正确；由①的结论可判断②正确；由②可得，在中由勾股定理求得，从而可判定③；由①得，，即可判断④，最后可得答案．
13．【答案】8cm
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
∴△ABC为直角三角形，∠C 为直角，其对边 AB 是斜边，即最长边。
∴AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故答案为：8cm．
【分析】本题考查三角形内角和定理与含 30° 角的直角三角形的性质。解题关键是先通过角度比例关系和内角和定理，判断出三角形是含 30° 角的直角三角形，再利用 “直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半” 这一性质，直接求出最长边（斜边）的长度。
14．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形，
∵是中心对称图形，，
∴，
∵，由于 △ADE 和 △CAD 同底 AD，且高相等，因此它们的面积相等：
∴，
故答案为：3．
【分析】此题主要考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，平行线性质，是解题的关键．
连接，根据平行四边形是中心对称图形，平行四边形的对角线平分其面积得，平行线间的距离处处相等判断出 △ADE 与 △CAD 同底等高，因此面积相等，从而得出，得．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5，
∴，
∵，
∴所以，同时 ，可得 ∠BAE=∠CBF。
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理∴．
故答案为：．
【分析】本题综合考查正方形性质、三角形全等判定与勾股定理，解题关键是先利用 “同角的余角相等” 找到相等的角，通过 ASA 证明△ABE △BCF，从而求出CF的长度，再计算出DF，最后在直角三角形ADF中用勾股定理求出AF的长度。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OA1的长，再求出规律，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意得：AD 是 BC 边上的中线，所以，
∵，
∴是直角三角形，
∴
（2）解：由（1）可知 ，所以，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；三角形的中线
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记相关结论即可；
（1）本问考查勾股定理的逆定理，解题关键是利用中线定义求出 BD 的长度，再通过计算三边的平方关系，可推出，即可求解；
（2）由（1）可知：，得。
（1）解：由题意得：，
∵，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴；
18．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴CD＝CE＝4；
（2）证明：由（1）知，∵Rt△BDC≌Rt△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE．
∵∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥AE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用证明Rt△BDC≌Rt△AEC，从而根据对应边相等即可得到CD＝CE＝4；
（2）由（1）的证明过程Rt△BDC≌Rt△AEC，可得∠CBD＝∠CAE，然后结合直角三角形锐角互余推出∠BFE＝90°，从而得出证明结果.
19．【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行线得到∠DFE=∠BEF，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据△AFD≌△CEB可得AD=BC且AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理解题即可．
20．【答案】（1）证明：，，
，
，平分，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，，
．
∵=2，
是等边三角形．
，
在中，．
在中，．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定；已知余弦值求边长；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先依据“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后依据“等腰三角形三线合一”即可得出，最后根据三个角是直角的四边形是矩形即可得出证明结果；
（2）先结合条件计算出，此时即可证明是等边三角形，从而得出，在中，利用余弦公式计算出CD=，在中，由勾股定理列式计算即可得到答案．
21．【答案】（1）证明：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE
∵FG∥CE
∴∠FGE=∠CEB
∴∠FGE=∠FEG
∴FG=FE
∵FE=CE
∴FG=EC
∵FG∥CE
∴四边形CEFG是平行四边形
∵FE=CE
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴BC=BF
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°
∵AB=6
∴在Rt△ABF中，
∴DF=AB-AF=2
∴设EF=x，则CE=x，
∴DE=DC-CE=6-x
∵∠CDA=90°
∴在Rt△FDE中，
即：，
解得： ，
即，
∴平行四边形CEFG的面积是：．
【知识点】菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的判定，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，平行四边形的判定，熟知折叠的性质是解题关键.（1）根据折叠的性质：折叠前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：∠BEC=∠BEF，FE=CE，BC=BF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠FGE=∠CEB，等量代换得：∠FGE=∠FEG，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：FG=FE，等量代换得：FG=CE；结合FG∥CE和平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得：四边形CEFG是平行四边形，再结合EF=CE和菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可得：四边形CEFG是菱形，由此可证得结论；
（2）根据矩形的性质：对边相等，四个角是直角可知：AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°，再根据勾股定理可求得AF的长，即：在Rt△ABF中，，根据线段的和差运算可得：DF=AB-AF=2，设EF=x，则CE=x，即DE=DC-CE=6-x，再根据勾股定理：在Rt△FDE中，，代入数据列出关于x的方程，求出x的值，即可得CE的长，即，最后根据平行四边形的面积公式：，可得：，代入数据即可求出平行四边形CEFG的面积，即可得出答案.
22．【答案】（1）①证明：四边形是正方形，是对角线，
，
在和中，
，
，
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
根据三角形外角性质，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图，连接，利用正方形性质证明三角形全等
由（1）知同理，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 △AFG 是等腰直角三角形
，
，
，
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①根据正方形的性质得到，，可证明，即可得到结论；
②以①的全等结论为基础，结合等腰三角形性质和三角形外角定理，将角度关系转化为方程求解，最终得到，即由可得，由，可得，由，即可求出；
（2）先利用正方形对角线的对称性，通过三角形全等得到边和角的关系；再通过四边形内角和、邻补角性质，推导出等腰三角形 CFG，从而证明 AF=FG；最后根据等腰直角三角形的性质，直接得出 ．整个过程层层递进，关键在于将已知的垂直条件转化为边相等关系．
（1）①证明：四边形是正方形，是对角线，
，
在和中，
，
，
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图，连接，
由（1）知同理，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
23．【答案】（1）t，
（2）解：四边形能成为菱形．理由如下：
解：，，
，
又=t，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
，
，
，解得：，
即当时，四边形能够成为菱形；
（3）解：①当时，如图。
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
，
2AD=AE， AE=t
又，即2(30-2t)=t，解得：；
②当时，如图。
由（2）知四边形为平行四边形，
∠EDF=∠AED=90°
，
，
，即，
解得：．
③若，则与重合，与重合，此种情况不存在．
综上所述，当或12秒时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动
∴
∴
∵
；
故答案为：，
【分析】（1）由已知条件可得中，CD=2t. 根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半即可知DF=t，AD=AC-CD=30-2t；
（2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可；
（3）分三种情形讨论；①当时，根据（2）四边形为平行四边形，，在直角三角形ADE中，AD=30-2t，AE=t，且2AD=AE，可求出运动时间。
②当时．根据（2）四边形为平行四边形，，在直角三角形ADE中，AD=30-2t，AE=t，且AD=2AE，可求出运动时间。
③若，则与重合，与重合，此种情况不存在．

1 / 1广西壮族自治区贵港市港北区2024-2025学年下学期期中教学质量检测八年级数学试题
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
2．下列各组数是勾股数的是（　　）
A． B．1，，
C．16，12，20 D．8，15，19
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、0.3，0.4，0.5 不是正整数，不符合题意；
B、1，，不全是正整数，不符合题意；
C、∵12，16，20 都是正整数，且
∴它们是勾股数，符合题意；
D、∵，∴它们不是勾股数，不符合题意。
故选：C．
【分析】本题考查勾股数的判定，解题关键是紧扣勾股数的两个核心条件：一是三个数必须为正整数，二是需满足两数的平方和等于第三个数的平方。解题时可先排除非正整数的选项，再对剩余选项验证平方关系，即可快速选出答案。
3．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于，
∴多边形的内角与相邻外角互补，此多边形的每个外角都等于；
∵多边形的外角和为，
∴此多边形的边数为：；
故选：C．
【分析】本题考查多边形内角与外角的关系，解题关键是利用 “多边形外角和为 ” 这一固定性质，先通过内角求出每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数，即可快速算出多边形的边数，比直接用内角和公式计算更简便。
4．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等边对等角可得，最后根据三角形的外角性质，即可得出结果．
5．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，所以EO是的中位线，根据三角形中位线定理
；
故选：D．
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与三角形中位线定理，解题的关键是先通过 “平行线 + 角平分线” 的组合证明，算出PB的长度，再利用E、O分别是PD、BD中点的条件，判定EO是△DPB的中位线，从而直接用中位线定理求出EO的长。
6．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵为的平分线，，，根据角平分线的性质定理
∴；
∵，
即，代入三角形面积公式：
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形面积计算，解题关键是先利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到；再利用即可求解．
7．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等
B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形
D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理，G、H分别是边CD、DA的中点 ，
∴HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，但AC与BD不一定相等，A说法错误；
若四边形EFGH是正方形时，如图
此时∠HEF=∠2=∠1=90°，因此AC与BD互相垂直且相等，B说法正确；
若AC＝BD，则EH==FG=HG==EF，因此四边形EFGH是菱形，C说法错误；
若AC⊥BD，如图
则∠1=∠2=∠HEF=90°，因此四边形EFGH是矩形，D说法错误；
故答案为：B．
【分析】本题先根据条件以及三角形中位线定理，分别得出EF∥AC，EF＝AC、HG∥AC，HG＝AC，进而综合得出EF∥HG，EF＝HG，此时依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，从而得出四边形EFGH是平行四边形；但不一定有AC与BD相等，因此可以判断A选项；
结合正方形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”，可以推出∠HEF=∠2=∠1=90°，从而判断B选项；
结合“临边相等的平行四边形是菱形”，即可判断C选项；
结合正方形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”，可以推出∠1=∠2=∠HEF=90°，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可判断D选项。
8．如图，四边形为正方形，以为边在正方形外作等边，连接、交于点F，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】本题由正方形及等边三角形的性质，综合得，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和，列式求得∠FBC=15°，然后利用三角形外角和计算出，从而求出，根据SAS证明，则得，最后利用邻补角计算出=60°．
9．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、当，且四边形ABCD是平行四边形时，可以判定是菱形，正确；
B、当，且四边形ABCD是平行四边形时，可以判定是菱形，正确；．
C、当，且四边形ABCD是平行四边形时，四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，因此不可以判定是菱形，错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．正确。
故答案为：C．
【分析】A选项，利用“对角线垂直的平行四边形是菱形”进行判定即可；B选项，利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判定即可；C选项，利用“对角线相等的平行四边形是矩形”进行判断；D选项，先利用平行四边形的性质得出，利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合选项条件推出，从而利用“等角对等边”得出，此时利用“临边相等的平行四边形是菱形”即可进行判定。
10．如图，矩形的对角线，相交于点，，，，，则下列结论错误的是
A． B．
C．四边形是菱形 D．四边形的面积是
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】四边形是矩形，所以对角线互相平分且相等：
，，
，，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意，
，，
，
在矩形 ABCD 中， ，由勾股定理
，故选项正确，不符合题意，
，
是等边三角形，
，故选项正确，不符合题意，
矩形的面积，菱形 OCED 的面积是矩形 ABCD 面积的一半
四边形的面积为，故D选项错误，符合题意。
故选D．
【分析】本题综合考查矩形、菱形的性质与勾股定理，由矩形的性质可得，，可证四边形OCED是菱形，可得DE＝OC＝OD＝2，∠E＝∠COD，由勾股定理可求，可证△AOB是等边三角形，即可求∠E的度数，由面积关系可求四边形OCED的面积为2．
11．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接；
∵点F，G分别是，的中点，
∴是的中位线，根据三角形中位线定理：
∴；
∴当最小时，最小；
当时，最小，从而最小；
∵四边形是菱形，，
∴；
∵，
∴，因此 △AED 是等腰直角三角形
∴；
已知菱形边长 AD=AB=6，由勾股定理：
在中，，
∴，
∴
即的最小值为；
故选：B．
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等角对等边，垂线段最短等知识；解题关键是通过中位线定理将FG的最小值问题转化为AE的最小值问题，再利用 “垂线段最短” 确定AE取最小值的位置，最后结合等腰直角三角形的性质求出AE的长度，进而得到FG的最小值。即连接；则，当最小时，最小；当时，最小；在中，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求得的最小值，从而可求得的最小值．
12．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴；
∵，
∴，
∴，即；
∵，
∴，
故①正确；
∵，可知△AEP是等腰直角三角形，故，
∴，
∴；
∵，可得对应角相等
∴，
故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴在中，由勾股定理得，
故③错误；
∵，
∴，
∴，
而，，
∴；
故④正确；
综上，正确的有3个；
故选：C．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△APD △AEB是解题的关键，以此为基础推导角度和边长关系，再结合勾股定理和面积转换，逐一验证结论的正确性。即由正方形的性质及、可证明，则可判断①正确；由①的结论可判断②正确；由②可得，在中由勾股定理求得，从而可判定③；由①得，，即可判断④，最后可得答案．
13．中， ，最小边，则最长边的长为　 　．
【答案】8cm
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
∴△ABC为直角三角形，∠C 为直角，其对边 AB 是斜边，即最长边。
∴AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故答案为：8cm．
【分析】本题考查三角形内角和定理与含 30° 角的直角三角形的性质。解题关键是先通过角度比例关系和内角和定理，判断出三角形是含 30° 角的直角三角形，再利用 “直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半” 这一性质，直接求出最长边（斜边）的长度。
14．如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接，平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形，
∵是中心对称图形，，
∴，
∵，由于 △ADE 和 △CAD 同底 AD，且高相等，因此它们的面积相等：
∴，
故答案为：3．
【分析】此题主要考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，平行线性质，是解题的关键．
连接，根据平行四边形是中心对称图形，平行四边形的对角线平分其面积得，平行线间的距离处处相等判断出 △ADE 与 △CAD 同底等高，因此面积相等，从而得出，得．
15．如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点H，延长交于点F，连接，若正方形边长是5，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5，
∴，
∵，
∴所以，同时 ，可得 ∠BAE=∠CBF。
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理∴．
故答案为：．
【分析】本题综合考查正方形性质、三角形全等判定与勾股定理，解题关键是先利用 “同角的余角相等” 找到相等的角，通过 ASA 证明△ABE △BCF，从而求出CF的长度，再计算出DF，最后在直角三角形ADF中用勾股定理求出AF的长度。
16．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OA1的长，再求出规律，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.
17．如图在中，，，边上的中线．求：
（1）的度数；
（2）的面积．
【答案】（1）解：由题意得：AD 是 BC 边上的中线，所以，
∵，
∴是直角三角形，
∴
（2）解：由（1）可知 ，所以，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；三角形的中线
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记相关结论即可；
（1）本问考查勾股定理的逆定理，解题关键是利用中线定义求出 BD 的长度，再通过计算三边的平方关系，可推出，即可求解；
（2）由（1）可知：，得。
（1）解：由题意得：，
∵，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴；
18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．
（1）若CD＝4，则求CE的长；
（2）求证：BF⊥AE．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴CD＝CE＝4；
（2）证明：由（1）知，∵Rt△BDC≌Rt△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE．
∵∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥AE．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用证明Rt△BDC≌Rt△AEC，从而根据对应边相等即可得到CD＝CE＝4；
（2）由（1）的证明过程Rt△BDC≌Rt△AEC，可得∠CBD＝∠CAE，然后结合直角三角形锐角互余推出∠BFE＝90°，从而得出证明结果.
19．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行线得到∠DFE=∠BEF，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据△AFD≌△CEB可得AD=BC且AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理解题即可．
20．如图，在四边形中，，，，平分交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
，平分，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，，
．
∵=2，
是等边三角形．
，
在中，．
在中，．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定；已知余弦值求边长；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先依据“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后依据“等腰三角形三线合一”即可得出，最后根据三个角是直角的四边形是矩形即可得出证明结果；
（2）先结合条件计算出，此时即可证明是等边三角形，从而得出，在中，利用余弦公式计算出CD=，在中，由勾股定理列式计算即可得到答案．
21．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE
∵FG∥CE
∴∠FGE=∠CEB
∴∠FGE=∠FEG
∴FG=FE
∵FE=CE
∴FG=EC
∵FG∥CE
∴四边形CEFG是平行四边形
∵FE=CE
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处
∴BC=BF
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°
∵AB=6
∴在Rt△ABF中，
∴DF=AB-AF=2
∴设EF=x，则CE=x，
∴DE=DC-CE=6-x
∵∠CDA=90°
∴在Rt△FDE中，
即：，
解得： ，
即，
∴平行四边形CEFG的面积是：．
【知识点】菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的判定，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，平行四边形的判定，熟知折叠的性质是解题关键.（1）根据折叠的性质：折叠前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：∠BEC=∠BEF，FE=CE，BC=BF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠FGE=∠CEB，等量代换得：∠FGE=∠FEG，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：FG=FE，等量代换得：FG=CE；结合FG∥CE和平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得：四边形CEFG是平行四边形，再结合EF=CE和菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可得：四边形CEFG是菱形，由此可证得结论；
（2）根据矩形的性质：对边相等，四个角是直角可知：AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°，再根据勾股定理可求得AF的长，即：在Rt△ABF中，，根据线段的和差运算可得：DF=AB-AF=2，设EF=x，则CE=x，即DE=DC-CE=6-x，再根据勾股定理：在Rt△FDE中，，代入数据列出关于x的方程，求出x的值，即可得CE的长，即，最后根据平行四边形的面积公式：，可得：，代入数据即可求出平行四边形CEFG的面积，即可得出答案.
22．在正方形中，E为上的一点，连接交对角线于点F．
（1）连接，如图1，
①求证：；
②若，求的度数．
（2）如图2，过点F作交于点G，求证：．
【答案】（1）①证明：四边形是正方形，是对角线，
，
在和中，
，
，
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
根据三角形外角性质，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图，连接，利用正方形性质证明三角形全等
由（1）知同理，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 △AFG 是等腰直角三角形
，
，
，
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①根据正方形的性质得到，，可证明，即可得到结论；
②以①的全等结论为基础，结合等腰三角形性质和三角形外角定理，将角度关系转化为方程求解，最终得到，即由可得，由，可得，由，即可求出；
（2）先利用正方形对角线的对称性，通过三角形全等得到边和角的关系；再通过四边形内角和、邻补角性质，推导出等腰三角形 CFG，从而证明 AF=FG；最后根据等腰直角三角形的性质，直接得出 ．整个过程层层递进，关键在于将已知的垂直条件转化为边相等关系．
（1）①证明：四边形是正方形，是对角线，
，
在和中，
，
，
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：如图，连接，
由（1）知同理，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
23．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
（1）__________，__________（用表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）t，
（2）解：四边形能成为菱形．理由如下：
解：，，
，
又=t，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
，
，
，解得：，
即当时，四边形能够成为菱形；
（3）解：①当时，如图。
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
，
2AD=AE， AE=t
又，即2(30-2t)=t，解得：；
②当时，如图。
由（2）知四边形为平行四边形，
∠EDF=∠AED=90°
，
，
，即，
解得：．
③若，则与重合，与重合，此种情况不存在．
综上所述，当或12秒时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动
∴
∴
∵
；
故答案为：，
【分析】（1）由已知条件可得中，CD=2t. 根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半即可知DF=t，AD=AC-CD=30-2t；
（2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可；
（3）分三种情形讨论；①当时，根据（2）四边形为平行四边形，，在直角三角形ADE中，AD=30-2t，AE=t，且2AD=AE，可求出运动时间。
②当时．根据（2）四边形为平行四边形，，在直角三角形ADE中，AD=30-2t，AE=t，且AD=2AE，可求出运动时间。
③若，则与重合，与重合，此种情况不存在．

1 / 1

展开更多......

收起↑