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广西壮族自治区南宁市北湖北路学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.0是整数，属于有理数，故不符合题意；
B. 是整数，属于有理数，故不符合题意；
C.是开方开不尽的数，它是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D.是分数，属于有理数，故不符合题意
故选：C．
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是指无限不循环小数，进行判断即可．
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标，纵坐标，符合第一象限的符号特征，因此点在第一象限．
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可．第一象限为，第二象限，第三象限，第四象限．
3．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可知：
A：图案发生了旋转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
B：图案发生了翻转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
C：图案发生了旋转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
D：图案的形状、大小、方向均与原图完全一致，仅位置发生了变化，符合平移的特征，故符合题意。
故选D．
【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的大小，形状，方向不变，位置发生改变，进行判断即可．
4．如图，直线与相交于点O，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵和是对顶角，
，
故答案为：B．
【分析】本题结合图形，依据“对顶角相等”即可得出答案。
5．9的平方根是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵ ，
∴9的平方根为±3，
故答案为：C．
【分析】根据平方根的含义，计算即可。
6．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移3个单位长度，横坐标变为，水平平移不改变纵坐标，仍为 2．因此，平移后的点坐标为，
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可．
7．如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（　　）
A．南偏西 B．南偏西
C．北偏东 D．北偏东
【答案】D
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东；
故答案为：D．
【分析】本题根据图示给的信息并结合方位描述，即可得出答案．
8．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
点到轴的距离为．
故答案为：D．
【分析】根据点坐标的定义求解即可。
9．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸条的两边平行，
∴根据 “两直线平行，同位角相等”，得，
∵三角板是直角三角板，所以 ，因此 ，
根据 “两直线平行，同旁内角互补”，得 ，因此
故选A．
【分析】本题考查平行线的性质与三角板中角度的计算，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等“，得到，再结合直角三角板算出，最后根据同旁内角互补求出。
10．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
11．如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
，且，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理得，再根据，，得，再根据平行线性质得即可求得答案．
12．如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）．
A．24 B．48 C．56 D．72
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：种植鲜花的面积=．
故答案为：B．
【分析】结合图形并利用平移可知，阴影区域可看作是长为米，宽为6米的长方形，然后根据长方形面积计算公式计算即可．
13．实数8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 23=8，
∴ 8的立方根是2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
14．比较下列两个数的大小：　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数比较大小，根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，由 ，可得
15．如图，实数，在数轴上的对应点可能是点　 　．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上只有点表示的数在和之间，
在数轴上的对应点可能是点．
故答案为：D．
【分析】本题先根据，计算出，从而确定的范围，最后即可得出点D的位置。
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵，，，…，
∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）．
进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处．
，这说明是第 675 个循环周期的最后一个点，符合 “下标为 3 的倍数” 的特征。
将 n=2025 代入规律，得横坐标为 ，纵坐标为 0。
∴的坐标为
故答案为：
【分析】本题属于平面直角坐标系中的点的坐标规律探究题。解题的核心在于观察点的下标序号与坐标之间的循环特征，发现每 3 个点为一个循环周期，且下标为 3 的倍数的点均落在 x 轴上，横坐标随序号增加呈线性递增。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：，
可得：，即，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】本题主要考查了实数的加减混合运算、解二元一次方程组．
第一题需先分别算出算术平方根、绝对值和乘方的结果，再按顺序进行加减运算。
用加减消元法消去未知数，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出，把代入方程求出即可．
（1）解：
；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
18．完成下面的证明．
已知：如图，在三角形中，于点D，E是上一点，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴__________（__________）．
∴__________，
∵（已知），
∴__________．
∴（__________）．
【答案】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∴，
∵（已知），
∴．（根据同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定，解题时先根据垂直的定义得到，推出∠1 与∠CDE 互余，再结合已知，利用同角的余角相等得到，最后根据 “内错角相等，两直线平行” 证明。
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为，已知三角形及三角形外一点，平移三角形使点移动到点，得到三角形，的对应点为，对应点为．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）求出三角形的面积．
【答案】（1）解：B( 2，3) 平移后：E( 2+3，3 2)=(1，1)
C( 1， 1) 平移后：F( 1+3， 1 2)=(2， 3)
在坐标系中描出 D(3，2)、E(1，1)、F(2， 3)，顺次连接三点，即得到 △DEF。如图所示，即为所求；
（2）解：由（）图可得，，；
（3）解：以 A、B、C 三点为顶点，构造一个边长为 2×5 的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
三角形的面积．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键．（）由点的坐标可知，三角形向右平移格，再向下平移格得到三角形，据此找到点的位置，顺次连接三点即可画出；
（）根据平移规律和（）图写成坐标即可；
（）本题考查网格中三角形面积的计算，采用 “割补法”（矩形减直角三角形面积），通过构造包含 的最小矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，从而求出的面积，该方法能避免直接找三角形的底和高，简化计算过程。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（）图可得，，；
（3）解：三角形的面积．
20．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（）由“两直线平行、同位角相等”得出，由角平分线的定义可得，从而推出，结合条件进而得到，此时利用“同位角相等、两直线平行”即可求证；
（）由“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件求出，最后根据三角形外角性质列式计算即可求解。
（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
21．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，所以，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】无理数的估值；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．（1）给定了长方形的面积以及长和宽的比例，可以采用方程思想，设长方形信封的长为，宽为，列方程求解即可；
（2）已知正方形的面积，可以利用算术平方根求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可
22．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以．
任务：
（1）猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
（2）运用以上结论，计算：
①；
②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
【答案】（1）解：由题意得当 ， 时.
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得长方形的面积为
答：这个长方形的面积为.
【知识点】算术平方根的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解；
（1）本题是探究性问题，通过材料中对两种验证方法，引导我们猜想并归纳出二次根式的乘法性质：当被开方数均为非负数时，两个数乘积的算术平方根等于它们各自算术平方根的乘积，即根据已知可得，即可求解；
（2）本题是对第 (1) 题结论的直接应用
①根据关系得，即可求解；
②根据关系得，即可求解；
（3）本题将二次根式乘法性质应用于实际问题，解题关键是根据长方形面积公式列出算式可得面积为，即可求解．
（1）解：由题意得
；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得
，
答：这个长方形的面积为.
23．综合与实践
【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E
【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______；
（2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数；
【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可）
【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）或或.
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：和交于点，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（3）或或.
当点在上方时
①当时，如图，延长交于，过点作.
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
②当时，如图，延长交于，过点作.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
当点在下方时
③如图，延长交于，过点作，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）利用平行线的性质可得， 再利用角的运算求出， 最后结合，即可得到；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：第一种情况： 当点在上方时，第二种情况：当点在下方时，先分别画出图形并利用平行线的性质及角的运算分析求解即可.
1 / 1广西壮族自治区南宁市北湖北路学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线与相交于点O，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．9的平方根是（　　）
A．3 B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（　　）
A．南偏西 B．南偏西
C．北偏东 D．北偏东
8．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为（　　）
A．3 B． C． D．4
9．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
11．如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）．
A．24 B．48 C．56 D．72
13．实数8的立方根是　 　．
14．比较下列两个数的大小：　 　．
15．如图，实数，在数轴上的对应点可能是点　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．完成下面的证明．
已知：如图，在三角形中，于点D，E是上一点，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴__________（__________）．
∴__________，
∵（已知），
∴__________．
∴（__________）．
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为，已知三角形及三角形外一点，平移三角形使点移动到点，得到三角形，的对应点为，对应点为．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）求出三角形的面积．
20．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
22．【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以．
任务：
（1）猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
（2）运用以上结论，计算：
①；
②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
23．综合与实践
【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E
【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______；
（2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数；
【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.0是整数，属于有理数，故不符合题意；
B. 是整数，属于有理数，故不符合题意；
C.是开方开不尽的数，它是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D.是分数，属于有理数，故不符合题意
故选：C．
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是指无限不循环小数，进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标，纵坐标，符合第一象限的符号特征，因此点在第一象限．
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可．第一象限为，第二象限，第三象限，第四象限．
3．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可知：
A：图案发生了旋转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
B：图案发生了翻转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
C：图案发生了旋转，与原图方向不同，不符合平移特征，故不符合题意。
D：图案的形状、大小、方向均与原图完全一致，仅位置发生了变化，符合平移的特征，故符合题意。
故选D．
【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的大小，形状，方向不变，位置发生改变，进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵和是对顶角，
，
故答案为：B．
【分析】本题结合图形，依据“对顶角相等”即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵ ，
∴9的平方根为±3，
故答案为：C．
【分析】根据平方根的含义，计算即可。
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移3个单位长度，横坐标变为，水平平移不改变纵坐标，仍为 2．因此，平移后的点坐标为，
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可．
7．【答案】D
【知识点】方位角；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东；
故答案为：D．
【分析】本题根据图示给的信息并结合方位描述，即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
点到轴的距离为．
故答案为：D．
【分析】根据点坐标的定义求解即可。
9．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸条的两边平行，
∴根据 “两直线平行，同位角相等”，得，
∵三角板是直角三角板，所以 ，因此 ，
根据 “两直线平行，同旁内角互补”，得 ，因此
故选A．
【分析】本题考查平行线的性质与三角板中角度的计算，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等“，得到，再结合直角三角板算出，最后根据同旁内角互补求出。
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
11．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
，且，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理得，再根据，，得，再根据平行线性质得即可求得答案．
12．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：种植鲜花的面积=．
故答案为：B．
【分析】结合图形并利用平移可知，阴影区域可看作是长为米，宽为6米的长方形，然后根据长方形面积计算公式计算即可．
13．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 23=8，
∴ 8的立方根是2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
14．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数比较大小，根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，由 ，可得
15．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上只有点表示的数在和之间，
在数轴上的对应点可能是点．
故答案为：D．
【分析】本题先根据，计算出，从而确定的范围，最后即可得出点D的位置。
16．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵，，，…，
∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）．
进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处．
，这说明是第 675 个循环周期的最后一个点，符合 “下标为 3 的倍数” 的特征。
将 n=2025 代入规律，得横坐标为 ，纵坐标为 0。
∴的坐标为
故答案为：
【分析】本题属于平面直角坐标系中的点的坐标规律探究题。解题的核心在于观察点的下标序号与坐标之间的循环特征，发现每 3 个点为一个循环周期，且下标为 3 的倍数的点均落在 x 轴上，横坐标随序号增加呈线性递增。
17．【答案】（1）解：
（2）解：，
可得：，即，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】本题主要考查了实数的加减混合运算、解二元一次方程组．
第一题需先分别算出算术平方根、绝对值和乘方的结果，再按顺序进行加减运算。
用加减消元法消去未知数，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出，把代入方程求出即可．
（1）解：
；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解是．
18．【答案】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∴，
∵（已知），
∴．（根据同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定，解题时先根据垂直的定义得到，推出∠1 与∠CDE 互余，再结合已知，利用同角的余角相等得到，最后根据 “内错角相等，两直线平行” 证明。
19．【答案】（1）解：B( 2，3) 平移后：E( 2+3，3 2)=(1，1)
C( 1， 1) 平移后：F( 1+3， 1 2)=(2， 3)
在坐标系中描出 D(3，2)、E(1，1)、F(2， 3)，顺次连接三点，即得到 △DEF。如图所示，即为所求；
（2）解：由（）图可得，，；
（3）解：以 A、B、C 三点为顶点，构造一个边长为 2×5 的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
三角形的面积．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键．（）由点的坐标可知，三角形向右平移格，再向下平移格得到三角形，据此找到点的位置，顺次连接三点即可画出；
（）根据平移规律和（）图写成坐标即可；
（）本题考查网格中三角形面积的计算，采用 “割补法”（矩形减直角三角形面积），通过构造包含 的最小矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，从而求出的面积，该方法能避免直接找三角形的底和高，简化计算过程。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（）图可得，，；
（3）解：三角形的面积．
20．【答案】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（）由“两直线平行、同位角相等”得出，由角平分线的定义可得，从而推出，结合条件进而得到，此时利用“同位角相等、两直线平行”即可求证；
（）由“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件求出，最后根据三角形外角性质列式计算即可求解。
（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
21．【答案】（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，所以，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【知识点】无理数的估值；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．（1）给定了长方形的面积以及长和宽的比例，可以采用方程思想，设长方形信封的长为，宽为，列方程求解即可；
（2）已知正方形的面积，可以利用算术平方根求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可
22．【答案】（1）解：由题意得当 ， 时.
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得长方形的面积为
答：这个长方形的面积为.
【知识点】算术平方根的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解；
（1）本题是探究性问题，通过材料中对两种验证方法，引导我们猜想并归纳出二次根式的乘法性质：当被开方数均为非负数时，两个数乘积的算术平方根等于它们各自算术平方根的乘积，即根据已知可得，即可求解；
（2）本题是对第 (1) 题结论的直接应用
①根据关系得，即可求解；
②根据关系得，即可求解；
（3）本题将二次根式乘法性质应用于实际问题，解题关键是根据长方形面积公式列出算式可得面积为，即可求解．
（1）解：由题意得
；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得
，
答：这个长方形的面积为.
23．【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）或或.
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：和交于点，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（3）或或.
当点在上方时
①当时，如图，延长交于，过点作.
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
②当时，如图，延长交于，过点作.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
当点在下方时
③如图，延长交于，过点作，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）利用平行线的性质可得， 再利用角的运算求出， 最后结合，即可得到；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：第一种情况： 当点在上方时，第二种情况：当点在下方时，先分别画出图形并利用平行线的性质及角的运算分析求解即可.
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