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甘肃武威第二十中学2025-2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试卷
1．下列各式中，与计算结果相同的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A.，错误；
B.，错误；
C.，错误；
D.，正确；
故答案为：D．
【分析】本题先利用积的乘方运算计算出，然后分别根据合并同类项、单项式乘以多项式、完全平方公式以及平方差公式，分别计算出各选项，最后比较即可得出答案．
2．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
该反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
、两点在第二象限，点在第四象限，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限为二、四象限，再根据，即可得出，从而得出答案．
3．若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴要使在范围内与轴只有一个交点，只需时对应图象上的点在轴下方，时对应函数图象上的点在轴上或轴上方，如图，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】本题先根据函数图象平移规则“上加下减”，求得平移后的函数解析式，然后根据二次函数的性质确定开口和对称轴，结合条件和函数的图象列出不等式组，最后求解不等式即可．
4．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：已知抛物线与轴交于和：
由二次函数的对称性，对称轴为两交点横坐标的中点，即，A正确；
抛物线与轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，即和，C正确；
由图象开口向下，对称轴为，因此在对称轴右侧（），随的增大而减小，B正确；
当时，对应图象在轴下方的部分，此时或，故D错误；
故答案为：D。
【分析】 本题聚焦二次函数的图象与性质，核心考查从抛物线与坐标轴的交点信息中，推导对称轴、方程根、增减性及函数值符号区间的能力，关键在于灵活运用对称性、单调性及二次函数与一元二次方程的对应关系
5．如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：对于、∵，
∴，
即，
又∵，，
∴（），
故A不符合题意；
对于、∵，，，
∴（），
故B不符合题意；
对于、，，，不能判定，
故C符合题意；
对于、∵，，，
∴（），
故D不符合题意；
故选：．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，，，，连接，则所在直线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，则。
由，可得；又，故。
结合，可证（AAS）。
由全等性质得，。
已知，，则，，因此，。
可得，故。
设直线的解析式为，将代入得，解得。
因此直线的解析式为。
故答案为：A。
【分析】过点C作CD⊥x轴构造全等三角形，利用AAS证明△AOB △BDC，求出点C的坐标后，用待定系数法求出直线OC的解析式。
7．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”并结合AA可得出，从而得出；然后利用平行可以得出，从而得出，此时即可综合得出，从而得出答案。
8．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，由切线的性质可知，圆的切线垂直于过切点的半径，因此，即。
在中，已知，
根据直角三角形两锐角互余，可得。
由于，为等腰三角形，因此。
根据圆周角定理，是圆心角，是它所对的圆周角，
故。
故答案为：B。
【分析】 连接辅助线 OD，先利用切线性质和直角三角形两锐角互余求出圆心角∠COD，再结合圆周角定理求出∠B 的度数。
9．如图，已知平分，于点C，，，D为射线上一点，连接，则的值不可能为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，根据“垂线段最短”，当点与重合时，的长度最小，最小值为。
已知平分，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得。
由，设，则。
根据勾股定理，。
已知，则，解得，即，因此，即的最小值为。
因为的最小值为，所以的长度不可能小于。，故的长不可能为；
故答案为：A。
【分析】过点作，利用垂线段最短确定的最小值为，再结合角平分线性质和勾股定理求出，由此判断不可能为。
10．在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置个黄球，个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．将去括号得　 　．
【答案】
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】，
故答案为：．
【分析】本题考查去括号法则，根据去括号法则，括号前是正号时，去掉括号后括号内各项符号不变，直接对a+(b c)去括号，得到a+b c。
12．已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　 　．
【答案】x＞a
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【分析】先结合数轴得出a＞b，然后根据确定不等式组的解集原则“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”即可得出答案。
13．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点在轴上，连接．若面积为2，则的值为　 　
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接，如图
∵轴，
∴轴，
∴，
解得．
故答案为：4．
【分析】作辅助线后，结合反比例函数系数的几何意义可以直接得出，求出k即可．
14．如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度得到，当是直角三角形时，的长为　 　．
【答案】5或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：，，，
∴，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
在中，，
在中，，
综上可知，的长为5或．
故答案为：5或．
【分析】本题先根据勾股定理求出，然后结合全等三角形的性质和旋转的性质，得到，利用中点定义得到．此时分和两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可。
15．如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明对应边成比例且夹角相等，得出△ADE∽△ACB，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，求出 AG 与 AF 的比值，进而推得 AG 与 GF 的比值
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．
∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴∠BAT=60°，AC=BC tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC=CT，AF=FE，
∴CF=ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
【分析】构造辅助线，延长AC到T使CT=AC，利用三角形中位线定理得CF=ET，再结合等边三角形性质与圆的性质求出ET的最大值，进而得到CF的最大值。
17．如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；圆周角定理的推论；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为直径，
，
，
，
，
，
∵是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】本题根据圆周角定理的推论得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出AD=12，结合切线的性质得出，角度变形列式计算得出，利用等腰三角形的性质得出，此时即可证明得出，最后利用等积法列式变形，即可求出DE的长度。
18．如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则　 　；若，则的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴；
延长至G，使，连接，过点I作，交于点H，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；
【分析】先利用角平分线性质求角度：由及、为角平分线，求得；再构造辅助线实现面积转化：延长至，构造平行四边形，再通过多次全等三角形证明，将转化为；接着计算的面积：过作，利用和，求得高，进而算出；最后求目标面积：根据转化关系，。
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）；
；
；
；
（2）．
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1) 代入、、、的特殊角三角函数值，按运算顺序计算得出结果；
(2) 利用和互余两角三角函数关系，化简计算得出结果。
20．如图，中，点D在边上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
21．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1）解：对于，由，得，
∴，
把代入中，
可得：，
解得：；
（2）解：∵，，∴，
①选择扣球，令，有，
解得：，
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
②选择吊球，令，有，
解得：（负值舍去），
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求点P的坐标，再用待定系数法求解析式，得出a的值；
（2）选择扣球或选择吊球，分别令，求出x的值，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
22．如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据条件以及对顶角相等，综合得出，然后依据垂直的定义得出，最后根据即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得，变形计算得出，然后利用AAS证明，得到，替换计算即可求出．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
23．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
是直角三角形，
在中，点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
四边形是矩形，
，，
和是直角三角形，
在中，，
，
，，
，
由结论可知，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
在中，，
点是斜边的中点，
，
在中，，
，
，
，
的值为．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线内错角相等，结合等腰三角形等边对等角，推出；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，推出，进而证明与的两组角对应相等，证得两三角形相似。
（2）先在中，利用勾股定理求出的长，再由三角函数值求出；结合（1）的结论推出，进而证得为直角三角形；再通过勾股定理求出、的长度，在中求出、的长；最后利用三角形面积公式，通过同高三角形面积比等于底边长的比，求出的值。
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
是直角三角形，
在中，点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
四边形是矩形，
，，
和是直角三角形，
在中，，
，
，，
，
由结论可知，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
在中，，
点是斜边的中点，
，
在中，，
，
，
，
的值为．
24．如图，已知，圆心O在上点M与点C分别是与的交点，点P是延长线与的交点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：连接、，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：设，
，，
是的切线，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）通过证明得，再证，推出，从而证明是切线；
（2）设半径为，利用勾股定理求出和的长，再通过相似三角形求出，进而得到的值。
（1）证明：连接、，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：设，
，，
是的切线，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
25．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
【答案】解：如图，延长交于点，则四边形是矩形，
则m，m，
在中，，
在中，，
m，
即m，
解得，
(m)．
拂云阁DC的高度约为32m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】做辅助线后，结合图中信息可知，四边形是矩形，从而得出m，m，利用正切值分别表示出、，根据m，建立方程，解方程求解可得，根据代入计算即可．
26．2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在 3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：
信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；
信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：
信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：
（分）
信息四：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
九年级 82.5 80 n
八年级 80.5 m 70
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；
（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．
（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．
【答案】（1）75；80
（2）解：九年级1班的成绩更稳定，
九年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
九年级方差八年级的方差，
九年级的成绩更稳定。
（3）解：九年级成绩的中位数为80，八年级成绩的中位数为75，而甲同学成绩小于该班成绩中位数，而乙同学成绩大于该班成绩中位数，
乙同学成绩在该班成绩的排名更靠前。
（4）解：画树状图如下：
所有等可能的结果数有20种，其中七年级选择D和E的结果数有2个，
七年级选择D和E的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：八年级成绩第20和21个数分别为：70和80，
∴，
九年级成绩，80分出现了14次数，次数最多，
∴，
故答案为：（1）75；80；
【分析】（1）中位数，即一组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是中位数；如果中间有两个数，则中位数就是这两个数的平均数；众数，即一组数据中出现次数最多的数。本题结合图中信息以及中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）根据方差的意义，即方差越小，稳定性越好；方差越大，稳定性越差；从而得出答案；
（3）根据中位数的意义分析即可；
（4）先画树状图，得出一共有20种等可能的结果，分别是（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（C，E）、（D，A）、（D，B）、（D，C）、（D，E）、（E，A）、（E，B）、（E，C）、（E，D），而七年级选择D和E的结果数有2个，最后利用概率公式列示计算即可．
27．如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，
得，解得，
∴抛物线的解析式为
将点A，C的坐标代入直线的解析式，
得，解得
∴直线的解析式为．
（2）或
（3）解：如图，
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小，
将代入，得，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：①当点D在线段上时，
∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点，
∴；
②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；
③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴点D的纵坐标为，
在中，当时，，
∴此时．
综上所述，或．
【分析】（1）利用待定系数法先求出抛物线的解析式为，然后利用待定系数法将点A，C的坐标代入直线的解析式，求出k和m即可得出直线解析式；
（2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点。分别分析计算求解即可；
（3）根据对称性以及将军饮马原理可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，然后将代入，求出y即可得出答案。
1 / 1甘肃武威第二十中学2025-2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试卷
1．下列各式中，与计算结果相同的是(　　)
A． B． C． D．
2．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
5．如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，，，，连接，则所在直线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知平分，于点C，，，D为射线上一点，连接，则的值不可能为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置个黄球，个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是(　　)
A． B． C． D．
11．将去括号得　 　．
12．已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　 　．
13．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点在轴上，连接．若面积为2，则的值为　 　
14．如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度得到，当是直角三角形时，的长为　 　．
15．如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为　 　.
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是　 　．
17．如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为　 　．
18．如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则　 　；若，则的面积为　 　．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．如图，中，点D在边上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
21．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
22．如图1，在中，，延长至D，过点D作交的延长线于点E，延长至F，过点F作交的延长线于点G，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点H，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
23．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
24．如图，已知，圆心O在上点M与点C分别是与的交点，点P是延长线与的交点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
25．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
26．2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在 3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：
信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；
信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：
信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：
（分）
信息四：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
九年级 82.5 80 n
八年级 80.5 m 70
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；
（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．
（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．
27．如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A.，错误；
B.，错误；
C.，错误；
D.，正确；
故答案为：D．
【分析】本题先利用积的乘方运算计算出，然后分别根据合并同类项、单项式乘以多项式、完全平方公式以及平方差公式，分别计算出各选项，最后比较即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，
该反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
、两点在第二象限，点在第四象限，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据反比例函数的解析式判断出该函数图象所在的象限为二、四象限，再根据，即可得出，从而得出答案．
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴要使在范围内与轴只有一个交点，只需时对应图象上的点在轴下方，时对应函数图象上的点在轴上或轴上方，如图，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】本题先根据函数图象平移规则“上加下减”，求得平移后的函数解析式，然后根据二次函数的性质确定开口和对称轴，结合条件和函数的图象列出不等式组，最后求解不等式即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：已知抛物线与轴交于和：
由二次函数的对称性，对称轴为两交点横坐标的中点，即，A正确；
抛物线与轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，即和，C正确；
由图象开口向下，对称轴为，因此在对称轴右侧（），随的增大而减小，B正确；
当时，对应图象在轴下方的部分，此时或，故D错误；
故答案为：D。
【分析】 本题聚焦二次函数的图象与性质，核心考查从抛物线与坐标轴的交点信息中，推导对称轴、方程根、增减性及函数值符号区间的能力，关键在于灵活运用对称性、单调性及二次函数与一元二次方程的对应关系
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：对于、∵，
∴，
即，
又∵，，
∴（），
故A不符合题意；
对于、∵，，，
∴（），
故B不符合题意；
对于、，，，不能判定，
故C符合题意；
对于、∵，，，
∴（），
故D不符合题意；
故选：．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于，则。
由，可得；又，故。
结合，可证（AAS）。
由全等性质得，。
已知，，则，，因此，。
可得，故。
设直线的解析式为，将代入得，解得。
因此直线的解析式为。
故答案为：A。
【分析】过点C作CD⊥x轴构造全等三角形，利用AAS证明△AOB △BDC，求出点C的坐标后，用待定系数法求出直线OC的解析式。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”并结合AA可得出，从而得出；然后利用平行可以得出，从而得出，此时即可综合得出，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，由切线的性质可知，圆的切线垂直于过切点的半径，因此，即。
在中，已知，
根据直角三角形两锐角互余，可得。
由于，为等腰三角形，因此。
根据圆周角定理，是圆心角，是它所对的圆周角，
故。
故答案为：B。
【分析】 连接辅助线 OD，先利用切线性质和直角三角形两锐角互余求出圆心角∠COD，再结合圆周角定理求出∠B 的度数。
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，根据“垂线段最短”，当点与重合时，的长度最小，最小值为。
已知平分，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得。
由，设，则。
根据勾股定理，。
已知，则，解得，即，因此，即的最小值为。
因为的最小值为，所以的长度不可能小于。，故的长不可能为；
故答案为：A。
【分析】过点作，利用垂线段最短确定的最小值为，再结合角平分线性质和勾股定理求出，由此判断不可能为。
10．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】，
故答案为：．
【分析】本题考查去括号法则，根据去括号法则，括号前是正号时，去掉括号后括号内各项符号不变，直接对a+(b c)去括号，得到a+b c。
12．【答案】x＞a
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【分析】先结合数轴得出a＞b，然后根据确定不等式组的解集原则“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”即可得出答案。
13．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接，如图
∵轴，
∴轴，
∴，
解得．
故答案为：4．
【分析】作辅助线后，结合反比例函数系数的几何意义可以直接得出，求出k即可．
14．【答案】5或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：，，，
∴，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
在中，，
在中，，
综上可知，的长为5或．
故答案为：5或．
【分析】本题先根据勾股定理求出，然后结合全等三角形的性质和旋转的性质，得到，利用中点定义得到．此时分和两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可。
15．【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明对应边成比例且夹角相等，得出△ADE∽△ACB，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，求出 AG 与 AF 的比值，进而推得 AG 与 GF 的比值
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．
∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴∠BAT=60°，AC=BC tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC=CT，AF=FE，
∴CF=ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
【分析】构造辅助线，延长AC到T使CT=AC，利用三角形中位线定理得CF=ET，再结合等边三角形性质与圆的性质求出ET的最大值，进而得到CF的最大值。
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；圆周角定理的推论；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为直径，
，
，
，
，
，
∵是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】本题根据圆周角定理的推论得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出AD=12，结合切线的性质得出，角度变形列式计算得出，利用等腰三角形的性质得出，此时即可证明得出，最后利用等积法列式变形，即可求出DE的长度。
18．【答案】；
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴；
延长至G，使，连接，过点I作，交于点H，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；
【分析】先利用角平分线性质求角度：由及、为角平分线，求得；再构造辅助线实现面积转化：延长至，构造平行四边形，再通过多次全等三角形证明，将转化为；接着计算的面积：过作，利用和，求得高，进而算出；最后求目标面积：根据转化关系，。
19．【答案】解：（1）；
；
；
；
（2）．
【知识点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1) 代入、、、的特殊角三角函数值，按运算顺序计算得出结果；
(2) 利用和互余两角三角函数关系，化简计算得出结果。
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
21．【答案】（1）解：对于，由，得，
∴，
把代入中，
可得：，
解得：；
（2）解：∵，，∴，
①选择扣球，令，有，
解得：，
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
②选择吊球，令，有，
解得：（负值舍去），
即落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求点P的坐标，再用待定系数法求解析式，得出a的值；
（2）选择扣球或选择吊球，分别令，求出x的值，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据条件以及对顶角相等，综合得出，然后依据垂直的定义得出，最后根据即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得，变形计算得出，然后利用AAS证明，得到，替换计算即可求出．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
是直角三角形，
在中，点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
四边形是矩形，
，，
和是直角三角形，
在中，，
，
，，
，
由结论可知，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
在中，，
点是斜边的中点，
，
在中，，
，
，
，
的值为．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线内错角相等，结合等腰三角形等边对等角，推出；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，推出，进而证明与的两组角对应相等，证得两三角形相似。
（2）先在中，利用勾股定理求出的长，再由三角函数值求出；结合（1）的结论推出，进而证得为直角三角形；再通过勾股定理求出、的长度，在中求出、的长；最后利用三角形面积公式，通过同高三角形面积比等于底边长的比，求出的值。
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
是直角三角形，
在中，点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
四边形是矩形，
，，
和是直角三角形，
在中，，
，
，，
，
由结论可知，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
在中，，
点是斜边的中点，
，
在中，，
，
，
，
的值为．
24．【答案】（1）证明：连接、，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：设，
，，
是的切线，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）通过证明得，再证，推出，从而证明是切线；
（2）设半径为，利用勾股定理求出和的长，再通过相似三角形求出，进而得到的值。
（1）证明：连接、，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：设，
，，
是的切线，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
25．【答案】解：如图，延长交于点，则四边形是矩形，
则m，m，
在中，，
在中，，
m，
即m，
解得，
(m)．
拂云阁DC的高度约为32m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】做辅助线后，结合图中信息可知，四边形是矩形，从而得出m，m，利用正切值分别表示出、，根据m，建立方程，解方程求解可得，根据代入计算即可．
26．【答案】（1）75；80
（2）解：九年级1班的成绩更稳定，
九年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
九年级方差八年级的方差，
九年级的成绩更稳定。
（3）解：九年级成绩的中位数为80，八年级成绩的中位数为75，而甲同学成绩小于该班成绩中位数，而乙同学成绩大于该班成绩中位数，
乙同学成绩在该班成绩的排名更靠前。
（4）解：画树状图如下：
所有等可能的结果数有20种，其中七年级选择D和E的结果数有2个，
七年级选择D和E的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：八年级成绩第20和21个数分别为：70和80，
∴，
九年级成绩，80分出现了14次数，次数最多，
∴，
故答案为：（1）75；80；
【分析】（1）中位数，即一组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是中位数；如果中间有两个数，则中位数就是这两个数的平均数；众数，即一组数据中出现次数最多的数。本题结合图中信息以及中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）根据方差的意义，即方差越小，稳定性越好；方差越大，稳定性越差；从而得出答案；
（3）根据中位数的意义分析即可；
（4）先画树状图，得出一共有20种等可能的结果，分别是（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（C，E）、（D，A）、（D，B）、（D，C）、（D，E）、（E，A）、（E，B）、（E，C）、（E，D），而七年级选择D和E的结果数有2个，最后利用概率公式列示计算即可．
27．【答案】（1）解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，
得，解得，
∴抛物线的解析式为
将点A，C的坐标代入直线的解析式，
得，解得
∴直线的解析式为．
（2）或
（3）解：如图，
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小，
将代入，得，
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：①当点D在线段上时，
∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点，
∴；
②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；
③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴点D的纵坐标为，
在中，当时，，
∴此时．
综上所述，或．
【分析】（1）利用待定系数法先求出抛物线的解析式为，然后利用待定系数法将点A，C的坐标代入直线的解析式，求出k和m即可得出直线解析式；
（2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点。分别分析计算求解即可；
（3）根据对称性以及将军饮马原理可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，然后将代入，求出y即可得出答案。
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