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广东省汕尾市2024-2025学年七年级下学期期末监测数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．甲骨文是中国现存最早的文字，是中华文明发展史上的重要里程碑，下列甲骨文中，能用其中 一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
4．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数是（　　）
A．60° B．120° C．110° D．100°
5．已知a＜b，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．a﹣1＞b﹣1 C．ac＜bc D．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
7．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．已知关于 的方程组 ， 满足 ， 则 的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第1次向上平移1个单位长度至点，接着又向右平移1个单位长度至点，然后再向上平移1个单位长度至点，向右平移1个单位长度至点，，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．8的立方根是　 　．
12．2025年5月19日，以“海陆丰号”命名的卫星“天启星座18星”发射成功．卫星发射前，需要对火箭和卫星搭载的主要零件进行质量检测，这种调查适合采用　 　（选填“全面调查”或“抽样调查”）．
13．“的倍与的和是负数”用不等式表示为　 　．
14．如图，于点D，，，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的最小值是　 　．
15．如图，已知，，平分，，则　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（1）计算：．
（2）解方程组：
17．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，已知三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F）．
（1）在图中画出，并直接写出点D的坐标：________；
（2）上一点，经过平移后对应点的坐标为________；
（3）若y轴上有一点P，使面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标：______．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．近几年，中国新能源汽车产业异军突起．中国车企在政策的引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入，形成了领先的技术优势．年汕尾市与某公司签署合作协议，共建新能源汽车/新型储能产业集群．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
（1）本次调查活动随机抽取了_____人，______，_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为______；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
20．如图，已知：，，求证：．完成下面的证明．
证明：∵，（已知）
，（邻补角定义）
∴，（ ）
∴____________，（ ）
∴______（ ）
∵，（已知）
∴______，（等量代换）
∴．（ ）
21．为贯彻落实省政府办公厅《关于开展“大清洁，乡村美”农村清洁工程专项活动的通知》，汕尾市开展“大清洁、乡村美”农村清洁工程专项活动，某村委采购，两种型号的垃圾桶，若购买2个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要420元，购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买，两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买型垃圾桶多少个？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，．
如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．
探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解： ▲ ．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线；设方程的图象与x，y轴的交点分别是A，B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C，D，计算的度数．
【拓展应用】
（3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解： ▲ ．
23．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：选项A：，结果为整数，属于有理数，故不符合题意；
选项B：不能开方，且是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
选项C：是整数，属于有理数，不符合题意；
选项D：是分数，属于有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数定义： 无限不循环小数， 判断各选项是否符合题意．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限；点A的坐标为，横坐标5为正，纵坐标为负，符合第四象限的符号特征；因此，点A在第四象限；
故答案为：D．
【分析】根据点A的横纵坐标符号为正数，纵坐标为负数，判断点A所在象限为第四象限．
3．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的．
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质：不改变大小，方向和形状，对各项进行判断符合题意的是C项．
4．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先由平角和邻补角，可求出，由“两直线平行、同位角相等”即可得．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边都加上1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B、不等式两边都减去1，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边都乘以c，不等号的方向不确定，当c=0时，变等式，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都除以c，当c=0时，无意义，原变形错误，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论，对选项进行判断．
6．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A. 内错角相等：缺少前提条件“两直线平行”，若两直线不平行，内错角不一定相等，因此是假命题；
B. 对顶角相等：对顶角的性质，正确，是真命题；
C. 平行于同一直线的两直线平行：平行公理的推论，正确，是真命题；
D. 同位角相等，两直线平行：平行线判定定理，正确，是真命题；
综上，假命题为A；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质及判定定理，正确的结论是的真命题，不正确的结论是的假命题．
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值应在2和3之间；
故答案为：B．
【分析】大于4小于5，再减去2，确定结果在2和3之间．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
∵，
即，
解得，
∴的最大值是2．
故答案为：C
【分析】先②-①得到，进而结合已知条件即可得到不等式，从而解不等式即可得到，再结合题意即可求解。
9．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵点，点，轴，
∴，
∵，
∴，
解得：或8，
∴ 点A的坐标为或，
故答案为：D．
【分析】本题先根据A、B两点的坐标以及，即可求出纵坐标y=3，再由，利用绝对值列示可求出横坐标x的两个值，从而得出答案．
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
所以当n为奇数时，点的坐标可表示为，
∴当时，，
∴则点的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据题意，观察点，，A5，…，的坐标，得变化规律 ：当n为奇数时，点的坐标为，当时，，即。
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．【答案】全面调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：卫星发射前，需要对火箭和卫星搭载的主要零件进行质量检测，这种调查适合采用全面调查．
故答案为：全面调查．
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确结果，根据题意调查符合全面调查．
13．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】根据题意列出不等式为．
14．【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：当时，的值最小，此时．
故答案为：4
【分析】根据垂线段最短，，的值最小，得．
15．【答案】135
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；数形结合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：135
【分析】根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，由，，得到，从而，即可得到，因此，即可求解．
16．【答案】解：（1）原式．
（2）将①代入②，得，解得．
将代入①，得．
原方程组的解是．
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；实数的绝对值；代入消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及乘方的意义，再计算结果为；
（2）方程组利用代入消元法解得．
17．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
该解集在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出各个不等式的解集分别为，， 找出它们的公共部分即为不等式组的解集 ，在数轴上表示解集，注意：不包含用空心圆圈，包含用实心圆点表示．
18．【答案】解：（1）如图，即为所求；
∴；
（2）；
（3）或
【知识点】三角形的面积；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）由平移的性质可得：上一点，经过平移后对应点的坐标为：；
（3）解：依题意，，
∵若y轴上有一点P，使三角形是三角形面积的2倍，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）根据，，，利用平移的性质点向上平移横坐标不变，纵坐标加单位长度，点向右平移纵坐标不变，横坐标加单位长度，在图中画出△，则的坐标(1，3)；
（2）由平移的性质横坐标加3，纵坐标加2，即；
（3）由网格可得 △面积，根据 △是 △面积的2倍，则，解得三角形的面积公式列式计算，解得或，轴上点坐标为或．
19．【答案】（1），，；
（2）解：由（）得，
补全条形统计图如图，
（3）；
（4）解：（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查活动随机抽取了（人），
∴喜欢“混动”类人数为，
∴，
∴，
∵喜欢“混动”类人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：由由（）得，
∴图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【分析】（）用喜欢油车人数除以其所占的百分比，得调查人数为50人，喜欢“混动”类人数为，15除以调查人数50得为30，用喜欢氢燃料人数3除以调查人数50得为6；
（）由（）得，进而可补全条形统计图；
（）用度乘以喜欢混动所占的百分比等于所占的圆心角108°；
（）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比等于 喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车人数为1800人．
（1）解：本次调查活动随机抽取了（人），
∴喜欢“混动”类人数为，
∴，
∴，
∵喜欢“混动”类人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（）得，
补全条形统计图如图，
（3）解：由由（）得，
∴图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
20．【答案】证明：∵，（已知）
，（邻补角定义）
∴，（同角的补角相等）
∴ABCD，（ 内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【知识点】邻补角；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】利用“同角的补角相等”得出，根据“内错角相等，两直线平行”得到ABCD，根据“两直线平行，同位角相等”得出，再由等量代换得出，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可得出．
21．【答案】（1）解：设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元．
由题意得
解得．
答：型垃圾桶的单价为60元，型垃圾桶的单价为100元．
（2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个．
由题意，得，
解得．
答：至少需购买型垃圾桶125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元，根据题意：A，B两个型的垃圾桶的总价和等于总花费钱数，列二元一次方程组 ，解得；
（2）设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，根据题意：购买型垃圾桶的费用加购买型垃圾桶的费用不超过15000元 ，列出不等式，解得，则至少购买型垃圾桶125个．
（1）解：设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元．
由题意得
解得．
答：型垃圾桶的单价为60元，型垃圾桶的单价为100元．
（2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个．
由题意，得，
解得．
答：至少需购买型垃圾桶125个．
22．【答案】（1）如图所示，即为所求；
；
（2）∵方程组无解，
∴直线与直线没有交点，
∴直线与直线平行，
在方程中，当时，，
∴直线经过点，
如图所示，直线和直线即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；描点法画函数图象；数形结合
【解析】【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
由图象可知，直线与直线交于点，
∴同时是方程和方程的解，
∴是方程组的解，
故答案为：；
（3）如图所示，
在方程中，当时，则，即此时，
∴是方程的解，即直线经过点；
∴直线为直线或直线中的一条，
把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，
∴不是方程的解，即直线不经过点，
∴直线即为直线
∴直线为直线，
在方程中，当时，则，解得，
∴是方程的一个解，
∵直线与直线的交点横坐标为3，
∴直线与直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【分析】（1）求出每个方程的两组解，方程的x-y=-1，当x=0，y=1，当x=-1，y=0描点，2x+}y=4，当x=0，y=4，当x=2，y=0，根据两组解描点，再顺次连接各点，画出两个一次函数图象，两条直线的交点坐标为方程组的解；
（2）根据关于，的二元一次方程无解，得两条直线平行，则直线经过点，画出图象；然后根据平行线的性质；
（3）直线经过点，直线即为直线，得是方程的一个解，两条直线的交点坐标为方程组的解．
23．【答案】解：（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
变式挑战：
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（2）类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】（1）如图，过E点作，
由两直线平行，内错角相等得，，则；
（2）如图2，作，，
根据平行线的性质得，，，，则，角平分线的定义得，，则；
类比迁移：如图3，过E作，过G作，
平行线的性质得，，，根据角平分线的定义得，则，则；
变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，
平行线的性质得，，同理得，角平分线的定义得，，则，则，则。
1 / 1广东省汕尾市2024-2025学年七年级下学期期末监测数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：选项A：，结果为整数，属于有理数，故不符合题意；
选项B：不能开方，且是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
选项C：是整数，属于有理数，不符合题意；
选项D：是分数，属于有理数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数定义： 无限不循环小数， 判断各选项是否符合题意．
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限；点A的坐标为，横坐标5为正，纵坐标为负，符合第四象限的符号特征；因此，点A在第四象限；
故答案为：D．
【分析】根据点A的横纵坐标符号为正数，纵坐标为负数，判断点A所在象限为第四象限．
3．甲骨文是中国现存最早的文字，是中华文明发展史上的重要里程碑，下列甲骨文中，能用其中 一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的．
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质：不改变大小，方向和形状，对各项进行判断符合题意的是C项．
4．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数是（　　）
A．60° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先由平角和邻补角，可求出，由“两直线平行、同位角相等”即可得．
5．已知a＜b，则下列不等关系正确的是（　　）
A．a+1＜b+1 B．a﹣1＞b﹣1 C．ac＜bc D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边都加上1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B、不等式两边都减去1，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边都乘以c，不等号的方向不确定，当c=0时，变等式，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都除以c，当c=0时，无意义，原变形错误，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论，对选项进行判断．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A. 内错角相等：缺少前提条件“两直线平行”，若两直线不平行，内错角不一定相等，因此是假命题；
B. 对顶角相等：对顶角的性质，正确，是真命题；
C. 平行于同一直线的两直线平行：平行公理的推论，正确，是真命题；
D. 同位角相等，两直线平行：平行线判定定理，正确，是真命题；
综上，假命题为A；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质及判定定理，正确的结论是的真命题，不正确的结论是的假命题．
7．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值应在2和3之间；
故答案为：B．
【分析】大于4小于5，再减去2，确定结果在2和3之间．
8．已知关于 的方程组 ， 满足 ， 则 的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
∵，
即，
解得，
∴的最大值是2．
故答案为：C
【分析】先②-①得到，进而结合已知条件即可得到不等式，从而解不等式即可得到，再结合题意即可求解。
9．在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵点，点，轴，
∴，
∵，
∴，
解得：或8，
∴ 点A的坐标为或，
故答案为：D．
【分析】本题先根据A、B两点的坐标以及，即可求出纵坐标y=3，再由，利用绝对值列示可求出横坐标x的两个值，从而得出答案．
10．如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第1次向上平移1个单位长度至点，接着又向右平移1个单位长度至点，然后再向上平移1个单位长度至点，向右平移1个单位长度至点，，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
所以当n为奇数时，点的坐标可表示为，
∴当时，，
∴则点的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据题意，观察点，，A5，…，的坐标，得变化规律 ：当n为奇数时，点的坐标为，当时，，即。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．2025年5月19日，以“海陆丰号”命名的卫星“天启星座18星”发射成功．卫星发射前，需要对火箭和卫星搭载的主要零件进行质量检测，这种调查适合采用　 　（选填“全面调查”或“抽样调查”）．
【答案】全面调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：卫星发射前，需要对火箭和卫星搭载的主要零件进行质量检测，这种调查适合采用全面调查．
故答案为：全面调查．
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确结果，根据题意调查符合全面调查．
13．“的倍与的和是负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】根据题意列出不等式为．
14．如图，于点D，，，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的最小值是　 　．
【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：当时，的值最小，此时．
故答案为：4
【分析】根据垂线段最短，，的值最小，得．
15．如图，已知，，平分，，则　 　．
【答案】135
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；数形结合
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：135
【分析】根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，由，，得到，从而，即可得到，因此，即可求解．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（1）计算：．
（2）解方程组：
【答案】解：（1）原式．
（2）将①代入②，得，解得．
将代入①，得．
原方程组的解是．
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；实数的绝对值；代入消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及乘方的意义，再计算结果为；
（2）方程组利用代入消元法解得．
17．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
该解集在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出各个不等式的解集分别为，， 找出它们的公共部分即为不等式组的解集 ，在数轴上表示解集，注意：不包含用空心圆圈，包含用实心圆点表示．
18．如图，已知三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F）．
（1）在图中画出，并直接写出点D的坐标：________；
（2）上一点，经过平移后对应点的坐标为________；
（3）若y轴上有一点P，使面积是面积的2倍，请直接写出点P的坐标：______．
【答案】解：（1）如图，即为所求；
∴；
（2）；
（3）或
【知识点】三角形的面积；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）由平移的性质可得：上一点，经过平移后对应点的坐标为：；
（3）解：依题意，，
∵若y轴上有一点P，使三角形是三角形面积的2倍，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）根据，，，利用平移的性质点向上平移横坐标不变，纵坐标加单位长度，点向右平移纵坐标不变，横坐标加单位长度，在图中画出△，则的坐标(1，3)；
（2）由平移的性质横坐标加3，纵坐标加2，即；
（3）由网格可得 △面积，根据 △是 △面积的2倍，则，解得三角形的面积公式列式计算，解得或，轴上点坐标为或．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．近几年，中国新能源汽车产业异军突起．中国车企在政策的引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入，形成了领先的技术优势．年汕尾市与某公司签署合作协议，共建新能源汽车/新型储能产业集群．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
（1）本次调查活动随机抽取了_____人，______，_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为______；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【答案】（1），，；
（2）解：由（）得，
补全条形统计图如图，
（3）；
（4）解：（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查活动随机抽取了（人），
∴喜欢“混动”类人数为，
∴，
∴，
∵喜欢“混动”类人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：由由（）得，
∴图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【分析】（）用喜欢油车人数除以其所占的百分比，得调查人数为50人，喜欢“混动”类人数为，15除以调查人数50得为30，用喜欢氢燃料人数3除以调查人数50得为6；
（）由（）得，进而可补全条形统计图；
（）用度乘以喜欢混动所占的百分比等于所占的圆心角108°；
（）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比等于 喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车人数为1800人．
（1）解：本次调查活动随机抽取了（人），
∴喜欢“混动”类人数为，
∴，
∴，
∵喜欢“混动”类人数为人，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（）得，
补全条形统计图如图，
（3）解：由由（）得，
∴图中“混动”类所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人．
20．如图，已知：，，求证：．完成下面的证明．
证明：∵，（已知）
，（邻补角定义）
∴，（ ）
∴____________，（ ）
∴______（ ）
∵，（已知）
∴______，（等量代换）
∴．（ ）
【答案】证明：∵，（已知）
，（邻补角定义）
∴，（同角的补角相等）
∴ABCD，（ 内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【知识点】邻补角；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】利用“同角的补角相等”得出，根据“内错角相等，两直线平行”得到ABCD，根据“两直线平行，同位角相等”得出，再由等量代换得出，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可得出．
21．为贯彻落实省政府办公厅《关于开展“大清洁，乡村美”农村清洁工程专项活动的通知》，汕尾市开展“大清洁、乡村美”农村清洁工程专项活动，某村委采购，两种型号的垃圾桶，若购买2个型垃圾桶和3个型垃圾桶共需要420元，购买6个型垃圾桶和5个型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买，两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买型垃圾桶多少个？
【答案】（1）解：设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元．
由题意得
解得．
答：型垃圾桶的单价为60元，型垃圾桶的单价为100元．
（2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个．
由题意，得，
解得．
答：至少需购买型垃圾桶125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元，根据题意：A，B两个型的垃圾桶的总价和等于总花费钱数，列二元一次方程组 ，解得；
（2）设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，根据题意：购买型垃圾桶的费用加购买型垃圾桶的费用不超过15000元 ，列出不等式，解得，则至少购买型垃圾桶125个．
（1）解：设型垃圾桶的单价为x元，型垃圾桶的单价为y元．
由题意得
解得．
答：型垃圾桶的单价为60元，型垃圾桶的单价为100元．
（2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个．
由题意，得，
解得．
答：至少需购买型垃圾桶125个．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，．
如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．
探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解： ▲ ．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线；设方程的图象与x，y轴的交点分别是A，B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C，D，计算的度数．
【拓展应用】
（3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解： ▲ ．
【答案】（1）如图所示，即为所求；
；
（2）∵方程组无解，
∴直线与直线没有交点，
∴直线与直线平行，
在方程中，当时，，
∴直线经过点，
如图所示，直线和直线即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；描点法画函数图象；数形结合
【解析】【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
由图象可知，直线与直线交于点，
∴同时是方程和方程的解，
∴是方程组的解，
故答案为：；
（3）如图所示，
在方程中，当时，则，即此时，
∴是方程的解，即直线经过点；
∴直线为直线或直线中的一条，
把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，
∴不是方程的解，即直线不经过点，
∴直线即为直线
∴直线为直线，
在方程中，当时，则，解得，
∴是方程的一个解，
∵直线与直线的交点横坐标为3，
∴直线与直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【分析】（1）求出每个方程的两组解，方程的x-y=-1，当x=0，y=1，当x=-1，y=0描点，2x+}y=4，当x=0，y=4，当x=2，y=0，根据两组解描点，再顺次连接各点，画出两个一次函数图象，两条直线的交点坐标为方程组的解；
（2）根据关于，的二元一次方程无解，得两条直线平行，则直线经过点，画出图象；然后根据平行线的性质；
（3）直线经过点，直线即为直线，得是方程的一个解，两条直线的交点坐标为方程组的解．
23．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
【答案】解：（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
变式挑战：
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（2）类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】（1）如图，过E点作，
由两直线平行，内错角相等得，，则；
（2）如图2，作，，
根据平行线的性质得，，，，则，角平分线的定义得，，则；
类比迁移：如图3，过E作，过G作，
平行线的性质得，，，根据角平分线的定义得，则，则；
变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，
平行线的性质得，，同理得，角平分线的定义得，，则，则，则。
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