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广东省韶关市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数据2，3，5，3，2，2，7的众数是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，8，13 D．1，，4
3．下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．在函数的图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
6．若一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
7．已知，则的值为（　　）
A． B．1 C．5 D．6
8．如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（　　）
A．10 B． C．4 D．5
9．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为（　　）
A．x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1
10．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
12．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，每班各派名学生参加．已知甲班名学生测试成绩的方差，乙班名学生测试成绩的方差，两个班参加测试学生成绩的平均分都是分，则　 　（填“甲”或“乙”）班参加测试学生的成绩更稳定．
13．如图，在中，、分别为，的中点，若，则的长为　 　．
14．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
15．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当　 　s时，．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
18．如图，菱形的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．求证：四边形是菱形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．2025年春节国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球热映，累计票房超150.19亿元，某影院为了了解本市观众对该影片的喜爱程度，随机调查了a名观众，根据评分（满分为10分）的统计结果、绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为_________，图①中m的值为_________；
（2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数；
（3）若该影院单日观看影片人数达到1700人，请估计这些观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数．
20．如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，且，，求矩形的面积．
21．综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总费用最少
素材1 瑶绣是工艺美术织品，是瑶族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到1800个瑶绣手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．已知甲部门每天生产的总数比乙部门每天生产的总数多60个，若甲、乙两个部门合作完成这项任务需10天．
素材2 完成这项订单时，公司需要付钱给这两个部门： 每天需付给甲部门的费用是6000元，每天需付给乙部门的费用是3600元．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的三分之一．
问题解决
任务1 根据素材1确定工作效率 求甲、乙部门每天分别生产多少个瑶绣手提包．
任务2 根据素材2和3拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包________个，乙部门工作时间可表示为_________天；（用含m的式子表示） ②在①的条件下，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总费用最少？此时总费用是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．已知点E为正方形的边上的一点，连接，将沿折叠得到．
（1）如图①，若点A的对应点落在边的垂直平分线上．
①写出图①中一个度数为的角：_________；
②若此时，则的长度为_________；
（2）如图②，若点A的对应点落在正方形的对角线上，且，求的长．
（3）如图③，若点E是边的中点，，延长交边于点F，连接，求的长．
23．如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．过点A的另一条直线交y轴于点C．将直线向上平移5个单位长度，所得直线与直线相交于点P，交y轴于点Q．
（1）直接写出P点坐标：_________；
（2）如图②，在x轴上有一动点D，当点D在点A的右侧时，过点D作x轴的垂线，分别交直线和直线于点E和F．若，求点D的坐标；
（3）如图③，若点N是平面内任意一点，在y轴上是否存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵数值2出现3次，数值3出现2次，数值5和7各出现1次，
∴出现次数最多的数是2，
∴众数是2，
故答案为：C．
【分析】根据出现次数最多的数为众数即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴3，4，5能作为直角三角形三边，故Ａ正确.
B、∵，
∴4，5，6不能作为直角三角形三边，故Ｂ错误.
C、∵，
∴5，8，13不能构成三角形，故Ｃ错误.
D、∵，
∴1，，4不能构成三角形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理分别Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的三边进行计算即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故Ａ错误.
B、，被开方数无平方因数，且无分母，是最简二次根式，故Ｂ正确.
C、＝，不是最简二次根式，故Ｃ错误.
D、＝，不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的条件对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ．
∴，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得平行，再根据平行线的性质得和为，根据
，计算即可得即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误．
B、当时，，故B正确．
C、当时，，故C错误．
D、当时，，故D错误．
故答案为：B．
【分析】将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的坐标代入函数关系式，验证即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解： 在一次函数中，有：
，
∴随的增大而减小，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的系数，可得随的增大而减小，再根据，即可得.
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，结合得，，代入
计算即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
，
点为的中点，
.
故答案为：D．
【分析】在在中，根据勾股定理，结合已知条件求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得等于的一半，等于即可得答案.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx＋b的图象与x轴的交点为（－1，0），
∴当y=kx＋b=0时，x=－1．
故选：C．
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标即为对应方程的解，即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵正方体棱长为，
∴，
在中中，
∴它运动的最短路程．
故答案为：B．
【分析】把正方体侧面展开为长方形，再根据两点之间线段最短得蚂蚁的最短路程是，再根据勾股定理可求出即可得答案.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵两个班参加测试学生成绩的平均分都是分，，，
∴，
∴甲班参加测试学生的成绩更稳定.
故答案为：甲．
【分析】根据两个班平均分相等，，结合方差的意义即可判断哪个班成绩更稳定.
13．【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵、分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴.
故答案为： ．
【分析】根据、分别为，的中点，结合中位线定义得为的中位线，在根据三角形的中位线定理，结合即可得的长.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集可以理解为一次函数的图像在一次函数的图像之上时自变量的取值范围，观察两函数图象即可得答案.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，解得：.
故答案为：．
【分析】根据已知条件得，，可得四边形为平行四边形，根据相等，即可得，解出即可得答案.
16．【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算的二次根式的乘法，算术平方根，二次根式的性质化简得
，最后合并同即可得答案.
17．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，与x轴交于点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为.
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设直线的解析式为，根据条件列方程组，解出即可得直线的解析式为.
（2）当时，，得，即可得，再根据三角形面积公式即可得的面积为2.
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：当，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】证明：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，即，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据菱形性质得相等，相等，垂直，再根据相等得
相等，即可判断四边形是平行四边形，再根据垂直即可得四边形是菱形．
19．【答案】（1）；6
（2）解：根据条形统计图得：
∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，
∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱
程度评分为10分的占，
∴（人），
∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
，即．
故答案为：；.
【分析】（1）用评分为9分的人数除以其百分比，即可得a的值，用评分为7分的人数除以a的值，即可得m的值.
（2）根据加权平均数的计算方法计算得这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）根据样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，得该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，再用观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可得答案.
（1）解：，
，
即．
（2）解：根据条形统计图，得
∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，
∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱
程度评分为10分的占，
∴（人），
∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
20．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形.
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（）根据平行四边形的性质得相等，再根据为的中点，得是的中位线，即可得平行，再根据垂直，垂直，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明平行四边形是矩形.
（）根据菱形的性质得相等，得等于6，等于，再根据勾股定理得，根据矩形的性质得到平行，求出，根据等积变换得，计算得，再根据矩形的面积公式计算即可得答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解： ∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
21．【答案】解：任务1：
设乙部门原来每天生产x个瑶绣手提包，则甲部门原来每天生产个瑶绣手提包，由题意得：
，解得：，
∴，
∴甲部门原来每天生产120个瑶绣手提包，乙部门原来每天生产60个瑶绣手提包.
任务2：
①【答案】；.
②设完成任务时该公司支付的总费用为元，
∴，
∵甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的三分之一，
∴，解得：，
∵，
∴当时，最低费用为：（元）.
∴安排甲部门工作6天，乙部门工作天，费用最低，最低费用为元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】任务2：解： ①甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包个，
乙部门工作时间可表示为：（天），
故答案为：；.
【分析】（1）设乙部门原来每天生产x个瑶绣手提包，则甲部门原来每天生产个瑶绣手提包，根据题目情境列方程解出即可得甲部门原来每天生产120个瑶绣手提包，乙部门原来每天生产60个瑶绣手提包.
（2）①设甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包个，即可得乙部门的工作时间为天即可得答案.
②设完成任务时该公司支付的总费用为元，即可得，根据条件列出不等式
，解出，再根据一次函数的性质，即可得当时，最低费用为元即可.
22．【答案】（1）①，②
（2）解：如图②，
根据折叠性质得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图③，
∵，四边形是正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
根据折叠性质得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，解得：，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：①如图 ① ，
　　　图①
连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
根据折叠性质得：，，
∴，
∵点A的对应点落在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：.
②∵，，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）连接，根据正方形性质得相等，等于，根据折叠性质得相等，相等，垂直，即可证明是等边三角形，即可得等于，等于，进一步得即可得答案.
（2）根据折叠性质得等于2，相等，等于，根据条件得，根据正方形性质得等于，即可得，进一步即可.
（3）根据正方形性质，结合已知得等于2，等于，再根据
点E是边的中点得等于1，根据折叠性质得等于1，等于2，等于，可证明全等，设，则，，可得，解出即可得的长.
（1）解：①如图，连接，
∵正方形，
∴，，
由对折可得：，，
∴，
∵点A的对应点落在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）.
②∵，，，
∴，
∴.
（2）解：由对折可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
由对折可得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，设，
∴，，
∴，
解得：，
∴.
23．【答案】（1）
（2）解：设线段所在直线解析式为，
把代入，解得：，
把代入，解得：，
由题意可得：，，
∴，即，
∵，
∴，解得：，
∴.
（3）解：当时，，即，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∴，
∴.
以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，
过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴.
②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，同样存在两种情况，
∵，，，，
∴，
∴以点为圆心，，作弧与轴交于两点，分别为，，
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除.
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即.
综上所述，存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
当时，，求得：，
∴，
∵直线向上平移5个单位长度，
∴由题意可得：，
根据题意可知：所在直线解析式为，
∴设线段所在直线解析式为：，
∵在图像上，
∴，
∴线段所在直线解析式为：，
∴联立方程组，解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据ＡＢ在函数图象的位置求处和，进一步得，再在图像上，得，即可得所在直线解析式为，联立解析式得方程组，解出即可得.
（2）设线段所在直线解析式为，把代入，解得：，把代入，解得：，即可得，，根据列方程解出得，即可得.
（3）当时，，即，可得，由（1）得，即可得，
进一步得等于，以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，根据，，，判定四边形为菱形，即可得，即可得，同理得以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，；以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除.
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即.上所述，存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或.
（1）解：把代入，求得：，即，
把代入，求得：，即，
∵直线向上平移5个单位长度，
∴由题意可得：，
根据题意可知，线段所在直线平行于线段所在直线，且线段所在直线解析式为，
∴设线段所在直线解析式为：，
把代入，求得：，
∴线段所在直线解析式为：，
∴联立方程组，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：设线段所在直线解析式为，
把代入线段所在直线解析式，解得：，
把代入线段所在直线解析式，解得：，
由题意可得：，，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：把代入，求得：，即，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
由题意可得，分两种情况进行讨论，①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，
①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，
即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
即，
∴；
以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，
过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴，
②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，同样存在两种情况，
∵，，，，
∴，
∴以点为圆心，，作弧与轴交于两点，分别为，，
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除；
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即；
综上所述，
存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或；
1 / 1广东省韶关市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数据2，3，5，3，2，2，7的众数是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵数值2出现3次，数值3出现2次，数值5和7各出现1次，
∴出现次数最多的数是2，
∴众数是2，
故答案为：C．
【分析】根据出现次数最多的数为众数即可得答案.
2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，8，13 D．1，，4
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴3，4，5能作为直角三角形三边，故Ａ正确.
B、∵，
∴4，5，6不能作为直角三角形三边，故Ｂ错误.
C、∵，
∴5，8，13不能构成三角形，故Ｃ错误.
D、∵，
∴1，，4不能构成三角形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理分别Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的三边进行计算即可得答案.
3．下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故Ａ错误.
B、，被开方数无平方因数，且无分母，是最简二次根式，故Ｂ正确.
C、＝，不是最简二次根式，故Ｃ错误.
D、＝，不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的条件对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
4．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ．
∴，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得平行，再根据平行线的性质得和为，根据
，计算即可得即可得答案.
5．在函数的图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误．
B、当时，，故B正确．
C、当时，，故C错误．
D、当时，，故D错误．
故答案为：B．
【分析】将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的坐标代入函数关系式，验证即可得答案.
6．若一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解： 在一次函数中，有：
，
∴随的增大而减小，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的系数，可得随的增大而减小，再根据，即可得.
7．已知，则的值为（　　）
A． B．1 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，结合得，，代入
计算即可得答案.
8．如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（　　）
A．10 B． C．4 D．5
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
在中，，，，
，
点为的中点，
.
故答案为：D．
【分析】在在中，根据勾股定理，结合已知条件求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得等于的一半，等于即可得答案.
9．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为（　　）
A．x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx＋b的图象与x轴的交点为（－1，0），
∴当y=kx＋b=0时，x=－1．
故选：C．
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标即为对应方程的解，即可求出答案.
10．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵正方体棱长为，
∴，
在中中，
∴它运动的最短路程．
故答案为：B．
【分析】把正方体侧面展开为长方形，再根据两点之间线段最短得蚂蚁的最短路程是，再根据勾股定理可求出即可得答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，每班各派名学生参加．已知甲班名学生测试成绩的方差，乙班名学生测试成绩的方差，两个班参加测试学生成绩的平均分都是分，则　 　（填“甲”或“乙”）班参加测试学生的成绩更稳定．
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵两个班参加测试学生成绩的平均分都是分，，，
∴，
∴甲班参加测试学生的成绩更稳定.
故答案为：甲．
【分析】根据两个班平均分相等，，结合方差的意义即可判断哪个班成绩更稳定.
13．如图，在中，、分别为，的中点，若，则的长为　 　．
【答案】70
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵、分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴.
故答案为： ．
【分析】根据、分别为，的中点，结合中位线定义得为的中位线，在根据三角形的中位线定理，结合即可得的长.
14．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集可以理解为一次函数的图像在一次函数的图像之上时自变量的取值范围，观察两函数图象即可得答案.
15．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当　 　s时，．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，解得：.
故答案为：．
【分析】根据已知条件得，，可得四边形为平行四边形，根据相等，即可得，解出即可得答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算的二次根式的乘法，算术平方根，二次根式的性质化简得
，最后合并同即可得答案.
17．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，与x轴交于点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为.
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设直线的解析式为，根据条件列方程组，解出即可得直线的解析式为.
（2）当时，，得，即可得，再根据三角形面积公式即可得的面积为2.
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：当，
∴，
∴，
∴．
18．如图，菱形的对角线相交于点O，E，F是上的两点，且．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，即，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据菱形性质得相等，相等，垂直，再根据相等得
相等，即可判断四边形是平行四边形，再根据垂直即可得四边形是菱形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．2025年春节国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球热映，累计票房超150.19亿元，某影院为了了解本市观众对该影片的喜爱程度，随机调查了a名观众，根据评分（满分为10分）的统计结果、绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为_________，图①中m的值为_________；
（2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数；
（3）若该影院单日观看影片人数达到1700人，请估计这些观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数．
【答案】（1）；6
（2）解：根据条形统计图得：
∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，
∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱
程度评分为10分的占，
∴（人），
∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
，即．
故答案为：；.
【分析】（1）用评分为9分的人数除以其百分比，即可得a的值，用评分为7分的人数除以a的值，即可得m的值.
（2）根据加权平均数的计算方法计算得这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）根据样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，得该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，再用观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可得答案.
（1）解：，
，
即．
（2）解：根据条形统计图，得
∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分．
（3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占，
∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱
程度评分为10分的占，
∴（人），
∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
20．如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形是菱形，且，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形.
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（）根据平行四边形的性质得相等，再根据为的中点，得是的中位线，即可得平行，再根据垂直，垂直，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明平行四边形是矩形.
（）根据菱形的性质得相等，得等于6，等于，再根据勾股定理得，根据矩形的性质得到平行，求出，根据等积变换得，计算得，再根据矩形的面积公式计算即可得答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解： ∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
21．综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总费用最少
素材1 瑶绣是工艺美术织品，是瑶族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到1800个瑶绣手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．已知甲部门每天生产的总数比乙部门每天生产的总数多60个，若甲、乙两个部门合作完成这项任务需10天．
素材2 完成这项订单时，公司需要付钱给这两个部门： 每天需付给甲部门的费用是6000元，每天需付给乙部门的费用是3600元．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的三分之一．
问题解决
任务1 根据素材1确定工作效率 求甲、乙部门每天分别生产多少个瑶绣手提包．
任务2 根据素材2和3拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包________个，乙部门工作时间可表示为_________天；（用含m的式子表示） ②在①的条件下，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总费用最少？此时总费用是多少？
【答案】解：任务1：
设乙部门原来每天生产x个瑶绣手提包，则甲部门原来每天生产个瑶绣手提包，由题意得：
，解得：，
∴，
∴甲部门原来每天生产120个瑶绣手提包，乙部门原来每天生产60个瑶绣手提包.
任务2：
①【答案】；.
②设完成任务时该公司支付的总费用为元，
∴，
∵甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的三分之一，
∴，解得：，
∵，
∴当时，最低费用为：（元）.
∴安排甲部门工作6天，乙部门工作天，费用最低，最低费用为元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】任务2：解： ①甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包个，
乙部门工作时间可表示为：（天），
故答案为：；.
【分析】（1）设乙部门原来每天生产x个瑶绣手提包，则甲部门原来每天生产个瑶绣手提包，根据题目情境列方程解出即可得甲部门原来每天生产120个瑶绣手提包，乙部门原来每天生产60个瑶绣手提包.
（2）①设甲部门工作m天，则甲部门可完成瑶绣手提包个，即可得乙部门的工作时间为天即可得答案.
②设完成任务时该公司支付的总费用为元，即可得，根据条件列出不等式
，解出，再根据一次函数的性质，即可得当时，最低费用为元即可.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．已知点E为正方形的边上的一点，连接，将沿折叠得到．
（1）如图①，若点A的对应点落在边的垂直平分线上．
①写出图①中一个度数为的角：_________；
②若此时，则的长度为_________；
（2）如图②，若点A的对应点落在正方形的对角线上，且，求的长．
（3）如图③，若点E是边的中点，，延长交边于点F，连接，求的长．
【答案】（1）①，②
（2）解：如图②，
根据折叠性质得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图③，
∵，四边形是正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
根据折叠性质得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，解得：，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：①如图 ① ，
　　　图①
连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
根据折叠性质得：，，
∴，
∵点A的对应点落在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：.
②∵，，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）连接，根据正方形性质得相等，等于，根据折叠性质得相等，相等，垂直，即可证明是等边三角形，即可得等于，等于，进一步得即可得答案.
（2）根据折叠性质得等于2，相等，等于，根据条件得，根据正方形性质得等于，即可得，进一步即可.
（3）根据正方形性质，结合已知得等于2，等于，再根据
点E是边的中点得等于1，根据折叠性质得等于1，等于2，等于，可证明全等，设，则，，可得，解出即可得的长.
（1）解：①如图，连接，
∵正方形，
∴，，
由对折可得：，，
∴，
∵点A的对应点落在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）.
②∵，，，
∴，
∴.
（2）解：由对折可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
由对折可得：，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，设，
∴，，
∴，
解得：，
∴.
23．如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．过点A的另一条直线交y轴于点C．将直线向上平移5个单位长度，所得直线与直线相交于点P，交y轴于点Q．
（1）直接写出P点坐标：_________；
（2）如图②，在x轴上有一动点D，当点D在点A的右侧时，过点D作x轴的垂线，分别交直线和直线于点E和F．若，求点D的坐标；
（3）如图③，若点N是平面内任意一点，在y轴上是否存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：设线段所在直线解析式为，
把代入，解得：，
把代入，解得：，
由题意可得：，，
∴，即，
∵，
∴，解得：，
∴.
（3）解：当时，，即，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∴，
∴.
以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，
过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴.
②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，同样存在两种情况，
∵，，，，
∴，
∴以点为圆心，，作弧与轴交于两点，分别为，，
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除.
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即.
综上所述，存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
当时，，求得：，
∴，
∵直线向上平移5个单位长度，
∴由题意可得：，
根据题意可知：所在直线解析式为，
∴设线段所在直线解析式为：，
∵在图像上，
∴，
∴线段所在直线解析式为：，
∴联立方程组，解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据ＡＢ在函数图象的位置求处和，进一步得，再在图像上，得，即可得所在直线解析式为，联立解析式得方程组，解出即可得.
（2）设线段所在直线解析式为，把代入，解得：，把代入，解得：，即可得，，根据列方程解出得，即可得.
（3）当时，，即，可得，由（1）得，即可得，
进一步得等于，以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，根据，，，判定四边形为菱形，即可得，即可得，同理得以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，；以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除.
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即.上所述，存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或.
（1）解：把代入，求得：，即，
把代入，求得：，即，
∵直线向上平移5个单位长度，
∴由题意可得：，
根据题意可知，线段所在直线平行于线段所在直线，且线段所在直线解析式为，
∴设线段所在直线解析式为：，
把代入，求得：，
∴线段所在直线解析式为：，
∴联立方程组，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：设线段所在直线解析式为，
把代入线段所在直线解析式，解得：，
把代入线段所在直线解析式，解得：，
由题意可得：，，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：把代入，求得：，即，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
由题意可得，分两种情况进行讨论，①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，
①以点为圆心，，作弧与轴交于两点，当点在点上方时，
即，过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
即，
∴；
以点为圆心，，作弧与轴交于两点，点在点下方，
过点作线段平行线，过点作轴的平行线，两条线交于点，如图：
∵，，，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴，
②以点为圆心，，作弧与轴交于两点，同样存在两种情况，
∵，，，，
∴，
∴以点为圆心，，作弧与轴交于两点，分别为，，
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形不能成为菱形，故此情况不存在，排除；
当点与点重合时，以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形能成为菱形，故此情况存在，即；
综上所述，
存在点M，使得以B，P，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形，点的坐标为或或；
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