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第四章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各式正确的是(　D　)
A.=2 B.()-3=-
C.=π-4 D.()=
解析:=(23=22=4,故A错误;()-3=23=8,故B错误;=|π-4|=4-π,故C错误;
()=[()4]=()-3=,故D正确.
2.函数y=f(x)的图象经过第二、第三象限,则y=f-1(x)的图象经过(　C　)
A.第一、第二象限 B.第二、第三象限
C.第三、第四象限 D.第一、第四象限
解析:因为y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,若函数y=f(x)的图象经过第二象限,即y=f(x)的图象上的任意点P(m,n)满足则P(m,n)关于直线y=x的对称点 P′(n,m)在第四象限,且P′(n,m)在y=f-1(x)的图象上,所以y=f-1(x)的图象经过第四象限;同理可得,若函数y=f(x)的图象经过第三象限,则y=f-1(x)的图象经过第三象限.故y=f-1(x)的图象经过第三、第四象限.
3.以下四组数中大小比较正确的是(　C　)
A.log3.1πC.π-0.2<π-0.1　　 D.0.40.3<0.10.7
解析:log3.1π>1,logπ3.1<1,故log3.1π>logπ 3.1,故A错误;y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,故 0.50.3>0.40.3,故B错误;y=πx为增函数,故π-0.2<π-0.1,故C正确;0.40.3>0.10.3,0.10.3>0.10.7,故0.40.3>0.10.7,故D
错误.
4.我国西北某地长期土地沙漠化严重,近几年通过各种方法防沙治沙效果显著,两年间沙地面积从500公顷下降到320公顷,则这两年的平均下降率为(　D　)
A.9% B.10% C.18% D.20%
解析:平均下降率为(1-)×100%=20%.
5.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域是(　B　)
A.(-∞,2] B.(-2,2]
C.(1,4] D.(-∞,4]
解析:当x≤1时,y=3x-2单调递增,值域为(-2,1] ;当1y=单调递增,值域为(1,2],故函数值域为(-2,2].
6.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则(　C　)
A.eaB.ebC.eaD.eb解析:由图象可知,a<07.已知函数f(x)=是减函数,则实数a的取值范围是(　A　)
A.[-7,-2) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-7) D.(-7,-2)
解析:因为函数f(x)=是减函数,
所以
解得-7≤a<-2.
8.已知f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1A. B.12 C. D.-
解析:由题意,函数f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,
即f(x)=-f(2-x),且当-1又由f(log312)=-f(2-log312)=-f(log3)=-=-.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若xn=a(x>0,n>1,n∈N*),则下列说法正确的是(　BD　)
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
解析:当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,
所以a的n次方根有2个,为±x.所以B,D说法是正确的.
10.若a>b>1,0A.logac>logbc B.logcaC.accb
解析:因为0b>1,
所以logca所以>,即logac>logbc,故A,B正确.因为幂函数y=
xc在(0,+∞)上单调递增,且a>b>1,
所以ac>bc,故C错误.因为指数函数y=cx在R上单调递减,且a>b>1,所以ca11.已知函数f(x)=,则下列选项正确的是(　ACD　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1+x2≠0,(x1+x2)[f(x1)+f(x2)] >0恒成立
解析:因为f(x)=,定义域为R,关于原点对称,f(x)+f(-x)=
+=+=0,故A正确;
f(x)-f(-x)=-=-≠0(除x=0外),故B错误;因为f(x)=,所以f(x)·(2x+1)=2x-1,2x=->0,
所以[f(x)+1][f(x)-1]<0,所以f(x)∈(-1,1),故C正确;
(x1+x2)[f(x1)+f(x2)] =(x1+x2)(+)=(x1+x2),若x1+x2>0,则>1;若x1+x2<0,则<1,而 x1,x2∈R,都有>0,>0,>0,所以(x1+x2)[f(x1)+f(x2)] >0恒成立,
故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知实数b>0且b≠1,()=bk,则 k=　　　　.
解析:因为()=()=(=(==bk,所以k=-.
答案:-
13.若函数f(x)=loga(x-1)过点(a,0),则f(x)>0的解集为　　　　.
解析:由函数f(x)=loga(x-1)过点(a,0)可得,loga(a-1)=0,则a-1=1,即a=2,此时f(x)=log2(x-1),由log2(x-1)>0可得x-1>1,即x>2.
答案:(2,+∞)
14.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在33 ℃的保鲜时间是24 h,则该食品在22 ℃的保鲜时间是　　　　h.
解析:由题意, e33k== e11k=,所以该食品在22 ℃的保鲜时间是e22k+b=e22k·eb=×192=48(h).
答案:48
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求值:0.00+1+(×)6;
(2)已知-=3,求的值;
(3)求值:log2+lg 200-lg 2-.
解:(1)原式=(10-3+(24+(×)6=10+8+8×9=90.
(2)==a+a-1+1,
因为-=3,所以(-)2=a+a-1-2=9,所以a+a-1=11,
所以=a+a-1+1=11+1=12.
(3)原式=log2+lg -=-+2-=0.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=loga(2+x)+loga(4-x)(a>0且a≠1)的图象过点(1,2).
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)的单调递减区间;
(3)求f(x)在[0,3]上的最小值.
解:(1)由f(x)的图象过点(1,2),可得f(1)=loga(2+1)+loga(4-1)=
2loga3=2,解得a=3,则有f(x)=log3(2+x)+log3(4-x),定义域满足解得-2(2)由(1)知,f(x)=log3(8+2x-x2),令t=8+2x-x2=-(x-1)2+9,可得t在[1,4)上单调递减,y=log3t在定义域上为增函数,
故f(x)的单调递减区间为[1,4).
(3)令t=8+2x-x2=-(x-1)2+9,x∈[0,3],故当x=3时,tmin=5,可得f(x)min=log35.
17.(本小题满分15分)
已知f(x)=2x+a·2-x是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f2(x)>kf(2x)在(0,+∞)上有解,求实数k的取值范围.
解:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即2-x+a·2x=-(2x+a·2-x),
整理得(a+1)(2x+2-x)=0.因为上式对x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以a=-1.
(2)因为x>0,所以f(2x)=22x-2-2x>0,
所以 k<===,
令g(x)==1-,x∈(0,+∞),g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,则4x+1>2,
所以0<<,所以g(x)∈(0,1),所以要使k因此,实数k的取值范围是(-∞,1).
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值;
(2)已知函数g(x)=f()f(),x∈[,8].若g(x)的最大值为8,求实数a的值.
解:(1)因为函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,所以h(x)=ax(a>0且a≠1),因为点P(2,16)在函数h(x)的图象上,所以16=a2,解得a=4或 a=-4(舍去).
(2)g(x)=loga·loga=(logax-loga2)·(logax-loga8)=(logax)2-4loga2·logax+3(loga2)2.
令t=logax,①当0二次函数(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2的对称轴为直线t=2loga2,
可得最大值为(-loga2)=(loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=或a=2(舍去).
②当a>1时,由≤x≤8,
有-loga2≤logax≤3loga2,
二次函数(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2的对称轴为直线t=2loga2,
可得最大值为(-loga2)=(loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=2或a=(舍去).
综上,实数a的值为或2.
19.(本小题满分17分)
某种股票类理财产品在过去的一个月内(以30天计,包括第30天),第x天每份的交易价格P(x)(单位:元)满足P(x)=135.5-|x-14.5|
(1≤x≤30,x∈N+),第x天的日交易量Q(x)(单位:万份)的部分数据如表所示:
第x/天 1 2 5 10
Q(x)/万份 20 15 12 11
(1)给出以下两种函数模型:①Q(x)=ax+b;
②Q(x)=+b.
请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量Q(x)(单位:万份)与时间第x天的函数关系(简要说明理由),并求出该函数的解析式;
(2)根据(1)的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第x天的日交易额f(x)的函数解析式,并求其最小值.
解:(1)对于函数Q(x)=ax+b,根据题意,把点(1,20),(2,15)代入可求得a=-5,b=25,
此时Q(x)=-5x+25,点(5,12),(10,11)均不在函数Q(x)=-5x+25的图象上;
对于函数Q(x)=+b,根据题意,把点(1,20),(2,15)代入可求得a=10,b=10,
此时Q(x)=+10,点(5,12),(10,11)均在函数Q(x)=+10的图象上,
所以Q(x)=+10(1≤x≤30,x∈N+).
(2)依题意得P(x)=135.5-|x-14.5|
=
又f(x)=P(x)·Q(x),
故f(x)=
当1≤x≤14,x∈N+时,10(x++122)≥10(2+122)=1 440,当且仅当x=11时,等号成立;
当15≤x≤30,x∈N+时,函数f(x)=10(-x++149)单调递减,
此时f(x)≥f(30)=10×(-30++149)=1 240.
综上所述,当x=30时,该产品在过去一个月内的日交易额取得最小值1 240万元.第四章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各式正确的是( )
A.=2 B.()-3=-
C.=π-4 D.()=
2.函数y=f(x)的图象经过第二、第三象限,则y=f-1(x)的图象经过( )
A.第一、第二象限 B.第二、第三象限
C.第三、第四象限 D.第一、第四象限
3.以下四组数中大小比较正确的是( )
A.log3.1πC.π-0.2<π-0.1　　 D.0.40.3<0.10.7
4.我国西北某地长期土地沙漠化严重,近几年通过各种方法防沙治沙效果显著,两年间沙地面积从500公顷下降到320公顷,则这两年的平均下降率为( )
A.9% B.10% C.18% D.20%
5.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域是( )
A.(-∞,2] B.(-2,2]
C.(1,4] D.(-∞,4]
6.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则( )
A.eaB.ebC.eaD.eb7.已知函数f(x)=是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[-7,-2) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-7) D.(-7,-2)
8.已知f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1A. B.12 C. D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若xn=a(x>0,n>1,n∈N*),则下列说法正确的是(　)
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
10.若a>b>1,0A.logac>logbc B.logcaC.accb
11.已知函数f(x)=,则下列选项正确的是(　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1+x2≠0,(x1+x2)[f(x1)+f(x2)] >0恒成立
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知实数b>0且b≠1,()=bk,则 k=　　　　.
13.若函数f(x)=loga(x-1)过点(a,0),则f(x)>0的解集为　　　　.
14.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在33 ℃的保鲜时间是24 h,则该食品在22 ℃的保鲜时间是　　　　h.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求值:0.00+1+( )6;
(2)已知-=3,求的值;
(3)求值:log2+lg 200-lg 2-.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=loga(2+x)+loga(4-x)(a>0且a≠1)的图象过点(1,2).
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)的单调递减区间;
(3)求f(x)在[0,3]上的最小值.
17.(本小题满分15分)
已知f(x)=2x+a·2-x是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f2(x)>kf(2x)在(0,+∞)上有解,求实数k的取值范围.
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值;
(2)已知函数g(x)=f()f(),x∈[,8].若g(x)的最大值为8,求实数a的值.
19.(本小题满分17分)
某种股票类理财产品在过去的一个月内(以30天计,包括第30天),第x天每份的交易价格P(x)(单位:元)满足P(x)=135.5-|x-14.5|
(1≤x≤30,x∈N+),第x天的日交易量Q(x)(单位:万份)的部分数据如表所示:
第x/天 1 2 5 10
Q(x)/万份 20 15 12 11
(1)给出以下两种函数模型:①Q(x)=ax+b;
②Q(x)=+b.
请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量Q(x)(单位:万份)与时间第x天的函数关系(简要说明理由),并求出该函数的解析式;
(2)根据(1)的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第x天的日交易额f(x)的函数解析式,并求其最小值.

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