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第五章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.工厂生产A,B,C3种不同型号的产品,产量之比为3∶2∶7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中B种型号的产品有12件,则样本容量n等于( )
A.72 B.48 C.24 D.60
2.图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图,下列说法一定正确的是( )
A.甲户的家庭全年各项支出都比乙户的家庭全年各项支出高
B.乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大
C.甲户的食品支出比乙户的食品支出高
D.甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小
3.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球,下列各组中互为互斥事件的个数是( )
①至少有一个白球和全是白球;
②至少有一个白球和全是红球;
③恰有一个白球和恰有两个白球;
④至少有一个白球和至少有一个红球.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.某校七年级有13名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛,小梅已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的( )
A.中位数 B.众数
C.平均数 D.极差
5.在如图所示的茎叶图中,记甲、乙两组数据的平均数分别为,,标准差分别为s甲,s乙.根据茎叶图估计甲、乙两组数据的平均数及标准差,下列描述正确的是( )
A.>,s甲B.<,s甲>s乙
C.<,s甲D.>,s甲>s乙
6.烟花三月、草长莺飞,樱花、桃花、梨花、苹果花陆陆续续地都开放了,周老师准备从这4种花中任选出3种去旅游观赏,则恰巧选中梨花与苹果花的概率为( )
A. B.
C. D.
7.从2至7的6个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
A. B.
C. D.
8.某滑冰馆统计了2023年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数,得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率),则下列说法正确的是( )
A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间[25,30)内的最少
B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.45
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.甲、乙两人在高二的6次数学成绩统计的折线图如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.若甲、乙两组成绩的平均数分别为,,则>
B.若甲、乙两组成绩的方差分别为,,则>
C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D.甲成绩的极差大于乙成绩的极差
10.某校的体能测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,已知甲、乙两个班的体能测试结果数据分别用条形图和扇形图描述,如图所示,若乙班的学生人数为50人,则下列结论正确的是(　)
A.甲、乙两个班共有学生100人
B.乙班体能测试等级不合格的人数为5人
C.体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数甲班与乙班一样
D.体能测试等级为合格的人数甲班比乙班多
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚正面朝上”,事件B=“第二枚反面朝上”,下列结论中正确的是(　　)
A.该试验样本空间共有4个样本点
B.P(AB)=
C.A与B为互斥事件
D.A与B为相互独立事件
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某学校共有学生2 000名,各年级的男生、女生人数如表所示,
一年级 二年级 三年级
男生 377 370 z
女生 373 x y
已知从全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的可能性是0.19.现用分层抽样的方法,从全校学生中抽取64名,则应在三年级抽取的学生人数为　　　　名.
13.如图,由甲、乙两人在5次综合测评中的成绩茎叶图可知,两人的成绩如下:甲:88,89,90,91,92,乙:83,83,87,9●,99,其中乙的一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是　　　　.
14.为保障食品安全,某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查,现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本,并以产品的一项关键质量指标值为检测依据,整理得到如下的样本频率分布直方图.若质量指标值在[25,35)内的产品为一等品,则该企业生产的产品为一等品的概率约为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),
[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示,
(1)求直方图中x的值;
(2)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户.
16.(本小题满分15分)
一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球、2只黑球,从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点;
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少.
17.(本小题满分15分)
篮球队在本赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图所示.
(1)求甲在比赛中得分的平均数和方差;
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析,求抽到的2场都不超过平均数的概率.
18.(本小题满分17分)
某校高一年级为了提高教学效果,对老师命制的试卷提出要求,难度系数须控制在[0.65,0.7](难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值,例如:满分为100分的试卷,平均分为68分,则难度系数为=0.68).某次数学考试(满分100分),王老师根据所带班级100名学生的等级来估计高一年级1 800人的数学成绩情况,已知学生的成绩分为A,B,C,D,E五个等级,统计数据如图所示.
根据图中的数据,回答下列问题.
(1)试估算该校高一年级学生的数学成绩等级为B的人数;
(2)若等级A,B,C,D,E分别对应90分,80分,70分,60分,50分,则按王老师的估计,本次数学考试试卷的命制是否符合要求
(3)王老师决定从数学成绩等级为A,B的学生中按分层抽样选出6人,再从这6人中任选2人分享学习经验,求恰好抽到1名数学成绩等级为A的学生的概率.
19.(本小题满分17分)
某汽车租赁公司为调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如表.
A型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
(1)试根据表中统计数据,判断这两种车型在该星期内出租天数的方差的大小关系;(只需写出结果)
(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;
(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型 并说明理由.第五章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.工厂生产A,B,C3种不同型号的产品,产量之比为3∶2∶7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中B种型号的产品有12件,则样本容量n等于(　A　)
A.72 B.48 C.24 D.60
解析:由题意知B种型号的产品占比为,所以=12,可得n=72.
2.图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图,下列说法一定正确的是(　B　)
A.甲户的家庭全年各项支出都比乙户的家庭全年各项支出高
B.乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大
C.甲户的食品支出比乙户的食品支出高
D.甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小
解析:由题图2无法确定乙户的家庭全年总支出和各项支出,故无法比较甲、乙的总支出及各项支出,故A,C错误;乙户的教育支出占全年总支出的百分比为25%,甲户的教育支出占全年总支出的百分比为×100%=20%,B正确;对于D,甲户的其他支出占全年总支出的百分比为×100%≈26.7%,乙户的其他支出占全年总支出的百分比为20%,D错误.
3.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球,下列各组中互为互斥事件的个数是(　B　)
①至少有一个白球和全是白球;
②至少有一个白球和全是红球;
③恰有一个白球和恰有两个白球;
④至少有一个白球和至少有一个红球.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:对①,至少有一个白球包括一个红球一个白球和两个白球两种情况,全是白球指的是两个白球,显然两个事件不是互斥事件,不符合题意;对②,至少一个白球包括一红一白和两个白球,显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件,符合题意;对③,恰有一个白球和恰有两个白球显然是互斥事件,符合题意;对④,至少一个白球包括一红一白和两个白球,至少一个红球包括一红一白和两个红球,两事件不互斥,不符合题意.
4.某校七年级有13名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛,小梅已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的(　A　)
A.中位数 B.众数
C.平均数 D.极差
解析:因为有13名同学参加百米竞赛,所以将成绩按最好到最差排序后,成绩的中位数为第七个数,则中位数前的成绩对应的选手进入决赛,所以还需要知道这13名同学成绩的中位数即可确定是否进入
决赛.
5.在如图所示的茎叶图中,记甲、乙两组数据的平均数分别为,,标准差分别为s甲,s乙.根据茎叶图估计甲、乙两组数据的平均数及标准差,下列描述正确的是(　C　)
A.>,s甲B.<,s甲>s乙
C.<,s甲D.>,s甲>s乙
解析:根据茎叶图中的数据,得
甲的平均数=×(15+21+23+23+25+28+29+35+36+48)=28.3,
乙的平均数=×(18+21+23+26+32+33+38+41+42+45)=31.9;
甲的方差=×[(15-28.3)2+(21-28.3)2+…+(48-28.3)2]=79.01,标准差是s甲=;
乙的方差是=×[(18-31.9)2+(21-31.9)2+…+(45-31.9)2]=
82.09,标准差是s乙=,所以<,s甲6.烟花三月、草长莺飞,樱花、桃花、梨花、苹果花陆陆续续地都开放了,周老师准备从这4种花中任选出3种去旅游观赏,则恰巧选中梨花与苹果花的概率为(　D　)
A. B.
C. D.
解析:记樱花、桃花、梨花、苹果花分别为A,B,C,D,从4种花中任选出3种的不同结果有ABC,ABD,ACD,BCD,共4个,其中恰巧选中梨花与苹果花的结果有ACD,BCD,共2个,所以恰巧选中梨花与苹果花的概率P==.
7.从2至7的6个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:从2至7的6个整数中随机取2个不同的数,共有15种不同的取法:(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),
(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7).若两数互质,不同的取法有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,6),
(5,7),(6,7),共11种,所以所求概率P=.
8.某滑冰馆统计了2023年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数,得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率),则下列说法正确的是(　C　)
A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间[25,30)内的最少
B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.45
解析:由题图知[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30)的频率分别为0.1,0.2,0.235,0.3,0.065,0.1,选项A,[20,25)内的天数最少,错误;选项B,[0,5),[5,10),[10,15)的频率和为0.1+0.2+
0.235=0.535>0.5,若中位数为x,则0.3+0.047×(x-10)=0.5,可得x=10+<15,错误;选项C,平均天数为0.1×2.5+0.2×7.5+0.235×
12.5+0.3×17.5+0.065×22.5+0.1×27.5=14.15>14,正确;选项D,锻炼天数超过15天的概率为0.3+0.065+0.1=0.465,错误.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.甲、乙两人在高二的6次数学成绩统计的折线图如图所示,下列说法正确的是(　AC　)
A.若甲、乙两组成绩的平均数分别为,,则>
B.若甲、乙两组成绩的方差分别为,,则>
C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D.甲成绩的极差大于乙成绩的极差
解析:由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以>,故A正确;由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得<,故B错误;
由折线图可得甲同学第3次和第4次的成绩均大于90,乙同学第3次和第4次的成绩均小于90,所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数,故C正确;因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故D错误.
10.某校的体能测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级,已知甲、乙两个班的体能测试结果数据分别用条形图和扇形图描述,如图所示,若乙班的学生人数为50人,则下列结论正确的是(　ABC　)
A.甲、乙两个班共有学生100人
B.乙班体能测试等级不合格的人数为5人
C.体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数甲班与乙班一样
D.体能测试等级为合格的人数甲班比乙班多
解析:由甲班体能测试等级条形图可知甲班人数有8+22+14+6=50,故甲、乙两个班共有学生100人,A正确;由乙班体能测试等级扇形图可知,乙班体能测试等级不合格的人数为50×10%=5,B正确;甲班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数为8+22=30,乙班体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数为48%×50+12%×50=30,故体能测试等级为良好以上(包含良好)的人数甲班和乙班一样,C正确;甲班体能测试合格等级的人数为14,乙班合格等级人数为(1-48%-12%-10%)×50=15,D不正确.
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚正面朝上”,事件B=“第二枚反面朝上”,下列结论中正确的是(　ABD　)
A.该试验样本空间共有4个样本点
B.P(AB)=
C.A与B为互斥事件
D.A与B为相互独立事件
解析:试验的样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4个样本点,故A正确;由题可知A={(正,正),(正,反)},B={(正,反),(反,反)},显然事件A,事件B都含有(正,反)这一结果,故P(AB)=,故B正确;事件A,事件B能同时发生,因此事件A,B不互斥,故C不正确;P(A)==,P(B)==,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某学校共有学生2 000名,各年级的男生、女生人数如表所示,
一年级 二年级 三年级
男生 377 370 z
女生 373 x y
已知从全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的可能性是0.19.现用分层抽样的方法,从全校学生中抽取64名,则应在三年级抽取的学生人数为　　　　名.
解析:已知抽取的64名学生中一、二年级的学生人数为(+0.19)×64=48,
所以三年级的学生人数为64-48=16.
答案:16
13.如图,由甲、乙两人在5次综合测评中的成绩茎叶图可知,两人的成绩如下:甲:88,89,90,91,92,乙:83,83,87,9●,99,其中乙的一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是　　　　.
解析:设被污损的数字为x,其中x为0～9中的一个,要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩,则88+89+90+91+92>83+83+87+(90+x)+99,解得x<8,则x的可能取值为0～7的自然数,共8个,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是=.
答案:
14.为保障食品安全,某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查,现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本,并以产品的一项关键质量指标值为检测依据,整理得到如下的样本频率分布直方图.若质量指标值在[25,35)内的产品为一等品,则该企业生产的产品为一等品的概率约为　　　　.
解析:根据频率分布直方图可知,可估计质量指标值在[25,35)内的概率P=(0.080+0.042)×5=0.122×5=0.61.
答案:0.61
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),
[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示,
(1)求直方图中x的值;
(2)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户.
解: (1)由直方图的性质可得(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+
0.005+0.002 5)×20=1,
解得x=0.007 5.
(2)由直方图可得,月平均用电量为[220,240)的用户有 0.012 5×
20×100=25(户),月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×
20×100=15(户),月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×
100=10(户),月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×
100=5(户),抽取比例为=,
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).
16.(本小题满分15分)
一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球、2只黑球,从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点;
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少.
解:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).
因此,共有10个样本点.
(2)(1)中10个样本点发生的可能性相同,且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A),
即(1,2),(1,3),(2,3),所以P(A)=.
故摸出2只球都是白球的概率为.
17.(本小题满分15分)
篮球队在本赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图所示.
(1)求甲在比赛中得分的平均数和方差;
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析,求抽到的2场都不超过平均数的概率.
解:(1)平均数=×(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,方差s2=×[(7-15)2+(8-15)2+(10-15)2+(15-15)2+(17-15)2+(19-15)2+(21-15)2+(23-15)2]=32.25.
(2)由题意得,6场比赛中得分不超过平均数的有4场,可记为a1,a2,a3,a4.超过平均数的有2场,可记为b1,b2.记从6场比赛中抽出2场,抽到的2场都不超过平均数为事件A.
从6场比赛中抽出2场,有以下情形:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,
a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,
共15个基本事件,事件A包含6个基本事件,
所以P(A)==.
18.(本小题满分17分)
某校高一年级为了提高教学效果,对老师命制的试卷提出要求,难度系数须控制在[0.65,0.7](难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值,例如:满分为100分的试卷,平均分为68分,则难度系数为=0.68).某次数学考试(满分100分),王老师根据所带班级100名学生的等级来估计高一年级1 800人的数学成绩情况,已知学生的成绩分为A,B,C,D,E五个等级,统计数据如图所示.
根据图中的数据,回答下列问题.
(1)试估算该校高一年级学生的数学成绩等级为B的人数;
(2)若等级A,B,C,D,E分别对应90分,80分,70分,60分,50分,则按王老师的估计,本次数学考试试卷的命制是否符合要求
(3)王老师决定从数学成绩等级为A,B的学生中按分层抽样选出6人,再从这6人中任选2人分享学习经验,求恰好抽到1名数学成绩等级为A的学生的概率.
解:(1)高一年级成绩等级为B的人数为×1 800=252.
(2)王老师所带班级平均分为=67.4,
所以估计难度系数为0.674,因为0.65<0.674<0.7,所以符合要求.
(3)按分层抽样,抽到的6人成绩等级为A的有2人,成绩等级为B的有4人,
6人中任选2人共有15种选法,
2人中恰有1名成绩等级为A的学生有8种选法,
所以恰好抽到1名成绩等级为A的学生的概率为.
19.(本小题满分17分)
某汽车租赁公司为调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如表.
A型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
(1)试根据表中统计数据,判断这两种车型在该星期内出租天数的方差的大小关系;(只需写出结果)
(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;
(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型 并说明理由.
解:(1)由两组数据的离散程度可以看出,B型车在该星期内出租天数的方差大于A型车在该星期内出租天数的方差.
(2)设事件A为“从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆汽车是A型车”,则P(A)===,所以这辆汽车是A型车的概率为.
(3)50辆A型车出租天数的平均数为
==4.62,
50辆B型车出租天数的平均数为
==4.8.
建议:一辆A型车一个星期出租天数的平均值为4.62,一辆B型车一个星期出租天数的平均值为4.8,选择B型车的利润较大,应该购买B型车.(或一辆A型车一个星期出租天数的平均值为4.62,一辆B型车一个星期出租天数的平均值为4.8,相差不大,而B型车出租天数的方差较大,所以应该购买A型车)

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