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浙江省杭州市滨江2024--2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．（3x-1）（x+2）=1 B．3x+2=0
C．3x+y=0 D．2x2-=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理得3x2+5x-3=0，A符合题意；
B、是一元一次方程，B不符合题意；
C、是二元一次方程，C不符合题意；
D、是分式方程，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。根据一元二次方程的概念即可一一判断得出答案.
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、于不是同类二次根式，无法进一步进行加法运算，选项错误，故此选项不符合题意；
B、，选项计算正确，故此选项不符合题意；
C、，选项原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，选项原计算错误，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据二次根式的性质“”可判断B选项；当二次根式的被开方数是带分数时，需要将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，据此可判断C选项；根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而根据二次根式的乘法法则“”进行计算可判断D选项.
4．在四边形中，与互补，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：四边形的内角和为，
∵与互补，
∴，
又∵∠B=120°，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据n边形内角和公式为(n-2)×180°求出四边形的内角和，然后根据和为180°的两个角互为补角得出∠A+∠C=180°，最后根据四边形的内角和等于各个内角之和可求出∠D的度数.
5．某班的6名同学在一次体育测试中的总成绩（单位：分）分别为：26，27，27，29，30，30．这组数据的中位数是（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：26，27，27，29，30，30．
共有6个数据（偶数个），中位数为第3和第4个数的平均值．
第3个数是27，第4个数是29，
因此中位数为．
故选B．
【分析】根据中位数的定义“将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数或中间两个数的平均”解答即可．
6．已知，则实数a满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，
∵即，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将二次根式化简，再合并同类二次根式，最后应用估算无理数的大小的方法可得到a的取值范围.
7．已知反比例函数（k为常数，且）的图象上的三个点分别是，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数（k为常数，且）中，
∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据反比例函数的图象可知 在第三象限，， 在第一象限，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
8．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（　　）
A．内角都不小于 B．锐角都不大于
C．内角都小于 D．锐角都大于
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于”的否定是“在三角形中，所有内角都小于”，因此应先假设这个三角形中内角都小于．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
9．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个.经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个.当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（　　）
A．（90-x）（200-4x）=8000 B．（90-x）（200+8x）=8000
C．（90-60-2x）（200+8x）=8000 D．（90-60-x）（200+4x）=8000
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设每个电子产品降价x元，由题意得
（90-60-x）（200+4x）=8000
故答案为：D.
【分析】由单件利润×销售量=总利润列方程即可
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由网格可得，，
∴四边形是平行四边形
∴△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半，
同理可得， △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，
△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半，
∴满足条件的点P的个数为3个．
故答案为：C．
【分析】利用方格纸的特点及“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCP1是平行四边形，再根据平行四边形对边平行、平行线间的距离相等及三角形面积公式可得△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半；同理得到 △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半， 综上可得答案.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式，求解即可得出x的取值范围.
12．已知一个正n边形的一个外角为，则　 　．
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正n边形的一个外角为，
∴，
故答案为：9．
【分析】由于正多边形的外角都相等且多边形的外角和都是360°，故用360°除以一个外角的度数即可得出正多边形的边数.
13．一组数据4，4，x，5，5，7的平均数是5，则这组数据的众数是　 　.
【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵ 4，4，x，5，5，7的平均数是5，
∴，
解得x=5，
∴ 这组数据的众数是5
故答案为：5.
【分析】由平均数的计算方法可得x的值，再由众数的概念可得答案.
14．如图，在中，点E在边上，且，对角线平分，若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠EAC=∠ECA=∠ACB，由等角对等边得出，根据勾股定理逆定理判断出△CED为直角三角形，且，最后在Rt△ACE中，利用勾股定理算出AC的长即可.
15．如图，四边形是矩形，在y轴上，E是的中点，点C，E都在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，BC=2，
∴轴，轴，AB=CD=4，AD=BC=2，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∴可设，则，
∵点C，E都在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：-8．
【分析】由矩形的对边平行且相等得AB=CD=4，AD=BC=2，AB∥CD∥x轴，BC∥y轴，由中点定义得出AE=2，进而根据点的坐标与图形性质得出点C的横坐标为-4，点C的纵坐标为OD，点E的横坐标为-2，点E的纵坐标为OD+2，可设，则，然后根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k列出方程，求解得出m的值，从而得到k的值.
16．如图，在正方形中，点，分别在，上，点，关于对称，点在上，点在上，且点，关于对称，的延长线交于点，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，
∵点，关于对称，点，关于对称，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
在中，，，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在ABH中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，过点G作GK⊥CD于点K，设CG=2a，根据轴对称的性质得MB=MC，AB=MB；由正方形性质得AB=BC=CD，及∠A=∠ABC=∠BCD=90°，∠BDC=45°，从而可由三边相等的三角形是等边三角形得出△MBC是等边三角形，由等边三角形每一个内角都等于60°得出∠MBC=∠MCB=60°，由角的构成推出∠ABH=∠GCD=30°，在Rt△CGK中，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理和等边对等角推出CK=a，由等腰直角三角形性质得出DK=GK=a，根据线段和差表示出AB=CD=，在Rt△ABH中，由勾股定理得出，进而可用含a的式子表示出AH，从而即可求出AH与CG的比值.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=2-2
=0
（2）解：
=
=
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先算二次根式的乘法运算，同时化简二次根式，然后合并同类二次根式.
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，即，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
，即，
∴或，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程左边利用单项式乘以多项式法则去括号，再在方程两边加一次项系数一半得平方“4”，将方程的左边配成完全平方，然后再用直接开平方法求解即可；
（2）把(x-2)看成一个整体，将方程右边移到方程左边，再将方程的左边利用提取公因式法因式分解，根据两个根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将原方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
，
，即，
∴，
解得：，；
（2），
，
，即，
∴或，
解得：，．
19．如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得出∠D=∠DCF，由中点定义得出DE=CE，从而结合对顶角相等，利用“ASA”证△ADE≌△FCE，由全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）由平行四边形对边平行且相等得出AD=BC=5，CD=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠CEF=∠BAF=90°，结合（1）的结论得出CF=5，在Rt△CEF中，利用勾股定理算出EF即可.
（1）明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得．
20．甲、乙两名同学在一次机器人练习中的得分如下：
甲：76，84，80，87，73.
乙：78，82，79，80，81.
（1）分别求出甲、乙两名同学五次练习分数的平均数.
（2）分别求出甲、乙两名同学的方差，并根据上述计算结果对两位同学的分数进行评价
【答案】（1）解：（分），
（分）
（2）解：（分2），
（分2）
因为甲、乙平均数相同，所以他们的平均水平相同，甲的方差比乙大，所以乙比甲稳定。
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用求平均数的计算公式求解即可.
（2）先利用平方差公式计算出甲、乙的方差；再利用方差越小，数据越集中、越稳定判断稳定性.
21．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米．
（1）用含x的代数式表示的长．
（2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）结合图形可得BC+3AB=60米，据此即可用含x的式子表示出BC；
（2）根据矩形面积计算公式结合矩形ABCD的面积为225平方米，列出方程，求解并根据BC≤40判断出符合题意的x的值即可.
（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
22．已知是的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形：
（1）小滨：如图1作的中垂线，分别交于点，连结，则得到的四边形是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
（2）小江：如图2，过中点作直线，分别交于点．以点为圆心，长为半径画弧，与边交于点，连结并延长交于点，连结，，，则得到的四边形是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由
【答案】（1）解：小滨的作法正确．理由如下：
由作图可知垂直平分线段，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：作法正确．理由：
∵四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）小滨的作法正确；由作图痕迹可得EF是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出OD=OB；由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ODF=∠OBE，结合对顶角相等，可由“ASA”证△DOF≌△BOE，由全等三角形的对应边相等得DF=BE，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BEDF是平行四边形，进而根据对角线互相垂直得平行四边形是菱形可得结论；
（2）小江的作法正确；由平行四边形的对边平行得出AB∥DC，由二直线平行，内错角相等得∠OBM=∠ODQ，结合对顶角相等，可由“ASA”证△BOM≌△DOQ，由全等三角形的对应边相等得OM=OQ，同理得ON=OP，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形MNQP是平行四边形，最后根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
（1）小滨的作法正确．
理由：由作图可知垂直平分线段，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）作法正确．
理由：∵四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形．
23．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点．
（1）若点A的坐标是，求点B的坐标．
（2）若点A，B的横坐标分别为m，．
①求m的值．
②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是，
点的坐标为；
（2）解：①联立直线与反比例函数解析式，
得，
消去得：，，
点A横坐标为，代入得：，
点B横坐标为，代入得：，
联立得：，
解得：；
②∵点在直线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
由第（2）题①知，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的对称性可得点A与点B关于坐标原点对称，进而结合关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”求出点B的坐标；
（2）① 联立直线与反比例函数解析式消去y可得k1x2=k2，然后将A、B两点横坐标分别代入用含m及k1的式子表示出k2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可列出关于字母m的方程，求解即可得到m的值；
②根据正比例函数与反比例函数图象上点的坐标特点，将点 (a，y1)与点(a+1，y2)分别代入y1=k1x与，分别用含a及k1、k2的式子表示出y1与y2；由第（2）题①知k2=k1m2=k1，则，根据a的取值范围及不等式的性质得出求解即可.
（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是，
点的坐标为；
（2）解：①联立直线与反比例函数解析式，
得，
消去得：，，
点A横坐标为，代入得：，
点B横坐标为，代入得：，
联立得：，
解得：；
②∵点在直线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
由第（2）题①知，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．如图，在矩形中，点E为中点，点F为中点．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
（3）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，点F为中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（3）解：取中点，连接并延长交于点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵为中点，
∴，
∴
∴和中由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，由中点定义得BE=EC，从而利用“SAS”判断出△ABE≌△DCE；
（2）可得DF垂直平分AE，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，则可得DE=AE=AD=BC，进而得，在Rt△CDE中，运用勾股定理得到，即可求解；
（3）取中点，连接并延长交于点，为的中位线，由三角形中位线平行第三边得出GH∥AB，由平行线性质得∠FGE=∠B=∠AHF=90°，∠FAH=∠FEG，从而用“AAS”证△AFH≌△EFG，由全等三角形对应边相等得FH=FG，AH=GE，设，那么，然后RtDHF和Rt△EGF中由勾股定理分别表示出FH2与FG2，从而可得方程，求解得出x的值，即可求解BC．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，点F为中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（3）解：取中点，连接并延长交于点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵为中点，
∴，
∴
∴和中由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∴．
1 / 1浙江省杭州市滨江2024--2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．（3x-1）（x+2）=1 B．3x+2=0
C．3x+y=0 D．2x2-=0
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．在四边形中，与互补，，则（　　）
A． B． C． D．
5．某班的6名同学在一次体育测试中的总成绩（单位：分）分别为：26，27，27，29，30，30．这组数据的中位数是（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
6．已知，则实数a满足（　　）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数（k为常数，且）的图象上的三个点分别是，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（　　）
A．内角都不小于 B．锐角都不大于
C．内角都小于 D．锐角都大于
9．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个.经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个.当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（　　）
A．（90-x）（200-4x）=8000 B．（90-x）（200+8x）=8000
C．（90-60-2x）（200+8x）=8000 D．（90-60-x）（200+4x）=8000
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．已知一个正n边形的一个外角为，则　 　．
13．一组数据4，4，x，5，5，7的平均数是5，则这组数据的众数是　 　.
14．如图，在中，点E在边上，且，对角线平分，若，，则的长为　 　．
15．如图，四边形是矩形，在y轴上，E是的中点，点C，E都在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，若，，则　 　．
16．如图，在正方形中，点，分别在，上，点，关于对称，点在上，点在上，且点，关于对称，的延长线交于点，交于点，则　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
20．甲、乙两名同学在一次机器人练习中的得分如下：
甲：76，84，80，87，73.
乙：78，82，79，80，81.
（1）分别求出甲、乙两名同学五次练习分数的平均数.
（2）分别求出甲、乙两名同学的方差，并根据上述计算结果对两位同学的分数进行评价
21．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米．
（1）用含x的代数式表示的长．
（2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
22．已知是的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形：
（1）小滨：如图1作的中垂线，分别交于点，连结，则得到的四边形是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
（2）小江：如图2，过中点作直线，分别交于点．以点为圆心，长为半径画弧，与边交于点，连结并延长交于点，连结，，，则得到的四边形是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由
23．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于A，B两点．
（1）若点A的坐标是，求点B的坐标．
（2）若点A，B的横坐标分别为m，．
①求m的值．
②若点在直线上，点在双曲线上，且，请比较与的大小，并说明理由．
24．如图，在矩形中，点E为中点，点F为中点．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
（3）若，，求BC的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理得3x2+5x-3=0，A符合题意；
B、是一元一次方程，B不符合题意；
C、是二元一次方程，C不符合题意；
D、是分式方程，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。根据一元二次方程的概念即可一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、于不是同类二次根式，无法进一步进行加法运算，选项错误，故此选项不符合题意；
B、，选项计算正确，故此选项不符合题意；
C、，选项原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，选项原计算错误，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据二次根式的性质“”可判断B选项；当二次根式的被开方数是带分数时，需要将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，据此可判断C选项；根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而根据二次根式的乘法法则“”进行计算可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：四边形的内角和为，
∵与互补，
∴，
又∵∠B=120°，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据n边形内角和公式为(n-2)×180°求出四边形的内角和，然后根据和为180°的两个角互为补角得出∠A+∠C=180°，最后根据四边形的内角和等于各个内角之和可求出∠D的度数.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：26，27，27，29，30，30．
共有6个数据（偶数个），中位数为第3和第4个数的平均值．
第3个数是27，第4个数是29，
因此中位数为．
故选B．
【分析】根据中位数的定义“将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数或中间两个数的平均”解答即可．
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，
∵即，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将二次根式化简，再合并同类二次根式，最后应用估算无理数的大小的方法可得到a的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数（k为常数，且）中，
∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据反比例函数的图象可知 在第三象限，， 在第一象限，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于”的否定是“在三角形中，所有内角都小于”，因此应先假设这个三角形中内角都小于．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设每个电子产品降价x元，由题意得
（90-60-x）（200+4x）=8000
故答案为：D.
【分析】由单件利润×销售量=总利润列方程即可
10．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由网格可得，，
∴四边形是平行四边形
∴△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半，
同理可得， △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，
△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半，
∴满足条件的点P的个数为3个．
故答案为：C．
【分析】利用方格纸的特点及“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCP1是平行四边形，再根据平行四边形对边平行、平行线间的距离相等及三角形面积公式可得△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半；同理得到 △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半， 综上可得答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式，求解即可得出x的取值范围.
12．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正n边形的一个外角为，
∴，
故答案为：9．
【分析】由于正多边形的外角都相等且多边形的外角和都是360°，故用360°除以一个外角的度数即可得出正多边形的边数.
13．【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵ 4，4，x，5，5，7的平均数是5，
∴，
解得x=5，
∴ 这组数据的众数是5
故答案为：5.
【分析】由平均数的计算方法可得x的值，再由众数的概念可得答案.
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠EAC=∠ECA=∠ACB，由等角对等边得出，根据勾股定理逆定理判断出△CED为直角三角形，且，最后在Rt△ACE中，利用勾股定理算出AC的长即可.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，BC=2，
∴轴，轴，AB=CD=4，AD=BC=2，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∴可设，则，
∵点C，E都在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：-8．
【分析】由矩形的对边平行且相等得AB=CD=4，AD=BC=2，AB∥CD∥x轴，BC∥y轴，由中点定义得出AE=2，进而根据点的坐标与图形性质得出点C的横坐标为-4，点C的纵坐标为OD，点E的横坐标为-2，点E的纵坐标为OD+2，可设，则，然后根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k列出方程，求解得出m的值，从而得到k的值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，
∵点，关于对称，点，关于对称，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
在中，，，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在ABH中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，过点G作GK⊥CD于点K，设CG=2a，根据轴对称的性质得MB=MC，AB=MB；由正方形性质得AB=BC=CD，及∠A=∠ABC=∠BCD=90°，∠BDC=45°，从而可由三边相等的三角形是等边三角形得出△MBC是等边三角形，由等边三角形每一个内角都等于60°得出∠MBC=∠MCB=60°，由角的构成推出∠ABH=∠GCD=30°，在Rt△CGK中，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理和等边对等角推出CK=a，由等腰直角三角形性质得出DK=GK=a，根据线段和差表示出AB=CD=，在Rt△ABH中，由勾股定理得出，进而可用含a的式子表示出AH，从而即可求出AH与CG的比值.
17．【答案】（1）解：
=2-2
=0
（2）解：
=
=
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先算二次根式的乘法运算，同时化简二次根式，然后合并同类二次根式.
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式.
18．【答案】（1）解：，，
，即，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
，即，
∴或，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程左边利用单项式乘以多项式法则去括号，再在方程两边加一次项系数一半得平方“4”，将方程的左边配成完全平方，然后再用直接开平方法求解即可；
（2）把(x-2)看成一个整体，将方程右边移到方程左边，再将方程的左边利用提取公因式法因式分解，根据两个根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将原方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
，
，即，
∴，
解得：，；
（2），
，
，即，
∴或，
解得：，．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得出∠D=∠DCF，由中点定义得出DE=CE，从而结合对顶角相等，利用“ASA”证△ADE≌△FCE，由全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）由平行四边形对边平行且相等得出AD=BC=5，CD=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠CEF=∠BAF=90°，结合（1）的结论得出CF=5，在Rt△CEF中，利用勾股定理算出EF即可.
（1）明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得．
20．【答案】（1）解：（分），
（分）
（2）解：（分2），
（分2）
因为甲、乙平均数相同，所以他们的平均水平相同，甲的方差比乙大，所以乙比甲稳定。
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用求平均数的计算公式求解即可.
（2）先利用平方差公式计算出甲、乙的方差；再利用方差越小，数据越集中、越稳定判断稳定性.
21．【答案】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）结合图形可得BC+3AB=60米，据此即可用含x的式子表示出BC；
（2）根据矩形面积计算公式结合矩形ABCD的面积为225平方米，列出方程，求解并根据BC≤40判断出符合题意的x的值即可.
（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
22．【答案】（1）解：小滨的作法正确．理由如下：
由作图可知垂直平分线段，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：作法正确．理由：
∵四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）小滨的作法正确；由作图痕迹可得EF是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出OD=OB；由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ODF=∠OBE，结合对顶角相等，可由“ASA”证△DOF≌△BOE，由全等三角形的对应边相等得DF=BE，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BEDF是平行四边形，进而根据对角线互相垂直得平行四边形是菱形可得结论；
（2）小江的作法正确；由平行四边形的对边平行得出AB∥DC，由二直线平行，内错角相等得∠OBM=∠ODQ，结合对顶角相等，可由“ASA”证△BOM≌△DOQ，由全等三角形的对应边相等得OM=OQ，同理得ON=OP，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形MNQP是平行四边形，最后根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论.
（1）小滨的作法正确．
理由：由作图可知垂直平分线段，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）作法正确．
理由：∵四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形．
23．【答案】（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是，
点的坐标为；
（2）解：①联立直线与反比例函数解析式，
得，
消去得：，，
点A横坐标为，代入得：，
点B横坐标为，代入得：，
联立得：，
解得：；
②∵点在直线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
由第（2）题①知，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的对称性可得点A与点B关于坐标原点对称，进而结合关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”求出点B的坐标；
（2）① 联立直线与反比例函数解析式消去y可得k1x2=k2，然后将A、B两点横坐标分别代入用含m及k1的式子表示出k2，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可列出关于字母m的方程，求解即可得到m的值；
②根据正比例函数与反比例函数图象上点的坐标特点，将点 (a，y1)与点(a+1，y2)分别代入y1=k1x与，分别用含a及k1、k2的式子表示出y1与y2；由第（2）题①知k2=k1m2=k1，则，根据a的取值范围及不等式的性质得出求解即可.
（1）解：直线与双曲线的交点关于原点对称，已知点的坐标是，
点的坐标为；
（2）解：①联立直线与反比例函数解析式，
得，
消去得：，，
点A横坐标为，代入得：，
点B横坐标为，代入得：，
联立得：，
解得：；
②∵点在直线上，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
由第（2）题①知，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，点F为中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（3）解：取中点，连接并延长交于点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵为中点，
∴，
∴
∴和中由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，由中点定义得BE=EC，从而利用“SAS”判断出△ABE≌△DCE；
（2）可得DF垂直平分AE，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，则可得DE=AE=AD=BC，进而得，在Rt△CDE中，运用勾股定理得到，即可求解；
（3）取中点，连接并延长交于点，为的中位线，由三角形中位线平行第三边得出GH∥AB，由平行线性质得∠FGE=∠B=∠AHF=90°，∠FAH=∠FEG，从而用“AAS”证△AFH≌△EFG，由全等三角形对应边相等得FH=FG，AH=GE，设，那么，然后RtDHF和Rt△EGF中由勾股定理分别表示出FH2与FG2，从而可得方程，求解得出x的值，即可求解BC．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，点F为中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（3）解：取中点，连接并延长交于点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵为中点，
∴，
∴
∴和中由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∴．
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