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浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（　　）
A． B．0 C．1 D．1或者
5．如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．一场有19位同学参加的比赛，取前10名进决赛且所得分数互不相同.某同学知道自己的分数后要判断是否能进决赛，他只需要知道这19位同学所得分数的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．用反证法证明：“若，则”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．12
9．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（　　）
A． B．2025 C． D．
10．如图，、分别为等边三角形中、延长线上的点，且，为的中点，为中点设，，若要知道的值，只需知道下列哪个值？（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．在平行四边形中，，则　 　．
13．若反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大，则k的取值范围是　 　．
14．某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了棵，每棵产量单位（）的平均数及方差如表所示，该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是　 　．
统计量 甲 乙 丙 丁
15．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计．当球的高度第二次达到16米时，球的水平距离是　 　米．
16．在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．正方形网格的每个小正方形边长都是1， 以格点为顶点分别按下列要求画图
（1）在图1中以为边画一个菱形（不为正方形）；
（2）在图2中画出一个正方形，使其面积为10．
19．第 33 届夏季奥林匹克运动会将于 2024 年 7 月 26 日在巴黎开幕．某校组织七、 八年级进行了奥运知识竞赛， 并从七、八年级各随机抽取了 20 名学生的竞赛成绩， 进行了整理和分析∶
【数据的收集与整理】
素材 1∶ 竞赛成绩用 表示，总分 100 分，80 分及以上为优秀，共分为四个等级∶
素材 2∶ 八年级 20 名学生的竞赛成绩统计图如图所示，
其中 等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82 ．
素材 3∶ 七年级 20 名学生的竞赛成绩为：
，
．
素材 4∶ 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如下表：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
七年级 73 a 78
八年级 73 81
【数据的分析与应用】
（1）任务一：结合上述素材，直接写出素材 4 中， ， ， ；
（2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由（至少写出一条理由）；
（3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有 600 人（七、八年级人数相同）， 请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
21．如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、，过点作于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，若四边形是菱形，求的值．
22．如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
23．方方与圆圆在学习中心对称后，准备对平行四边形进行更深入的研究，如图，平行四边形中，、分别为、上的点，当时，与是中心对称的，可推理得到．
（1）图中，为上不同于的一点，满足，此时与不是中心对称的，那么与是否仍存在某种数量关系？并说明理由；
（2）如图，平行四边形，、交于点，为上一点，延长交延长线于点，若，，求的长（用，表示）；
（3）如图，中，为的中点，为上一点，延长交延长线于点，若，，直接写出的长．
24．如图，是正方形内一点，．
（1）填空：若，则______；
若，则_____；
（2）若，，求的长；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图案不是轴对称图形，但它是中心对称图形， 故此选项 不符合题意；
D、此选项中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形， 故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理方程得x-1=0，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
，
A、，则此点在此函数图象上，故符合题意；
B、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
C、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
D、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把点 代入解析式中求出k=-1，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．
4．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此结合题意可得a-1≠0①，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，据此将x=0代入方程(a-1)x2+x-a2+1=0可得-a2+1=0②，求解①与②即可得出符合题意的a的值.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，，，
四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】由尺规作图痕迹可得BD=AC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABDC为平行四边形.
6．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意得，19位同学取前10名，只需要知道这19名同学的中位数，即排名第10的同学的成绩即可.
故答案为：B.
【分析】19名学生，取前10名学生，只需要知道第10名学生的成绩即可；而众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；而方差是反映数据波动大小的量；平均数是反映一组数据的整体水平的量，据此判断即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：作轴于，
，
，
，
，
在第二象限，
，
故答案为：C.
【分析】作AF⊥x轴于F，根据平行四边形及三角形的面积计算公式，由同底等高可得矩形ABOF的面积=平行四边形ABCD的面积=三角形BCE面积的2倍=12，再利用反比例函数k的几何意义可得|k|等于矩形ABOF的面积，最后结合反比例函数图象所在的象限即可求出k的值．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∵，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=，，据此结合题意可得a+b=-2025，ab=1；将待求式子平方得，然后通分计算得，再将分子利用完全平方公式分解因式得，整体代入计算后，再求算术平方根即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长于点，使，连接，作于点，则，，
是等边三角形，、分别为、延长线上的点，且，为的中点，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，
为中点，为中点，
，
，
若要知道的值，只需知道的值，
故答案为：D．
【分析】如图，延长BC于点P，使CP=CD，连接PD，作CQ⊥PD于点Q，由垂直定义得，由等腰三角形的三线合一得；由等边三角形三个内角都等于60°得，由已知、中点定义及线段和差推出OP=OE，由等边对等角及三角形外角性质推出，根据含30°角直角三角形的性质得，由线段和差得，在Rt△CDQ中，利用勾股定理表示出DQ=，由三角形中位线定理得，则，可知若要知道的值，只需知道的值，于是得到问题的答案．
11．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ．
故答案为：x≤3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出A+∠B=180°，结合∠A与∠B的关系可求出∠A的度数，最后根据平行四边形对角相等可得∠C=∠A，从而得出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
【分析】在反比例函数中，当时，函数的图象分布在在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可.
14．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题可知，甲乙的平均数比丙丁的平均数大，而甲的方差比乙的小，
甲品种产量既高又稳定。
故答案为：甲．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数越大，该品种产量越高；一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量，方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好，据此比较可得结论.
15．【答案】80
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=16时，代入公式 得，16=d-0.01d2，解得d1=20，d2=80，∴当球的高度第二次达到16米时，球的水平距离是80米.
故答案为：80.
【分析】将h=16代入 后，解一元二次方程求得d的值，再根据球的高度第二次达到16米这个条件得出答案。
16．【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，
，，，
是由折叠得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得：，
故答案为：10．
【分析】由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，根据矩形的性质，正方形的性质，得EF=AB=8，BC=AD=12，EC=FD=AD-AF=4，由翻折性质得GE=CE=4，在Rt△DGH与Rt△EFH中，再利用勾股定理列方程建立方程组，解出即可．
17．【答案】解：（1）
（2）
解∶
解得∶
【知识点】二次根式的加减法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质把各个二次根式化简，同时根据去括号法则去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）把(x+1)看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，发现方程的左边可利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】（1）解：菱形ABCD如图所示：
（2）解：正方形ABCD，如图所示：
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）结合格点特点及菱形的四边相等作图即可；
（2）先求出正方形的边长为，再结果勾股定理和网格特点画出图形即可．
19．【答案】（1）78；80.5；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为七、八年级的平均数相同，但八年级的中位数（众数、优秀率）高于七年级，所以八年级的学生成绩更好（答案不唯一）；
（3）解：（人），
答：该校七八年级大约共有270人成绩优秀．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中78出现了3次，出现的次数最多，故众数a=78；
把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，中位数是第10位、第11位的平均数，
故中位数；
八年级的优秀率，
故答案为：78，80.5，；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此即可求出a、b的值；用八年级优秀的人数除以八年级的总人数即可得八年级的优秀率c的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和优秀率进行判断即可；
（3）用七年级的人数乘以样本中其优秀率+用八年级的人数乘以样本中其优秀率=该校七、八两个年级成绩优秀的人数 ，列式计算即可.
20．【答案】解：（1）把点A（1，3）代入，得： ，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（3，n）在反比例函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（3，1），
把点A（1，4），点B（3，1）代入 ，
得：，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2） 不等式的解集为：或x<0.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：（2）观察图象得：不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方或者两个函数图象交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为 或x<0；
【分析】（1）把点A（1，3）代入，可求出反比例函数的解析式，再将B(3，n)代入所得反比例函数解析式算出n=1，从而得到点B（3，1），再将把点A（1，3）与点B（3，1）分别代入 ，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求不等式的解集，求实求一次函数图象在反比例函数图象上方或者两个函数图象交点处的自变量的取值范围.
21．【答案】（1）证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行第三边得，从而由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AF=BD，结合中点定义得出CD=AF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由菱形的性质得AD=CD=CF，AC⊥DF结合中点定义、等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，根据勾股定理算出AC=4，然后由平行四边形的对边相等得DF=AB=3，最后由等面积法，结合菱形的面积求出DG的长即可．
（1）证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当时，，
答：人和木板对滩涂的压强是；
（3）解：∵，
∴当时，p随S的增大而减小，
∴当时，即，
∴，
答：“木海马”底面面积至少需要．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据F=PS可得，然后将F=700代入得出结论；
（2）把s=1.4代入（1）中解析式即计算可；
（3）根据反比例函数的增减性得出结论.
23．【答案】（1）解：，理由如下：
∵DE与BF是中心对称的，
∴DE=BF，
又∵BG=DE，
∴BF=BG，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：AB=5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；中心对称的性质
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴．
【分析】（1）根据中心对称的性质得出DE=BF，根据等式的传递性得出BF=BG，由等边对等角得出，进而根据邻补角及等式性质得出；
（2）延长交于点，由平行四边形性质得AO=CO，AB∥CD，由平行线性质得∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO=∠BEH，从而利用“AAS”证明△CFO≌△AEO，由全等三角形的对应边相等得出CF=AE=CH=a，由等边对等角得出∠CFE=∠H，则∠H=∠BEH，由等角对等边得出BE=BH=b，最后根据线段和差可表示出BC；
（3）由线段和差得出BH=CH-BC=1，由（2）知，由等角对等边得出，最后根据AB=AE+BE可得答案.
（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
由（）知，
∴，
∴．
24．【答案】（1）②
（2）解：过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
①∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，CP=CD，
是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，CP=CD
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角及三角形内角和定理得，根据正方形性质得，，由角的构成得出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△PCD是等边三角形，由等边三角形每一个内角都是60°得，最后根据角的构成可得的度数；
②根据等边对等角及三角形内角和定理得，根据正方形性质得，，由角的构成得出，根据等边对等角及三角形内角和定理得，最后根据角的构成可得的度数；
（2）过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接；由正方形性质得BC=CD=5，∠BCD=90°，根据勾股定理算出BD的长；根据等腰三角形的三线合一得CM是线段PD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得，再由（1）的结论及邻补角得，则△MPD是等腰直角三角形；设MP=MD=x，由勾股定理表示出PD，在中，由勾股定理建立方程求出x，继而可得出PD的长；
（3）过点作于点，由等腰三角形的三线合一得，由正方形性质得AD=CD，∠ADC=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠1=∠2，从而用“AAS”证明△APD≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得PA=ED，则PD=2AP，由此即可得出的值．
（1）解：如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图案不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图案不是轴对称图形，但它是中心对称图形， 故此选项 不符合题意；
D、此选项中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形， 故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理方程得x-1=0，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)，据此逐一判断得出答案.
3．若反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
，
A、，则此点在此函数图象上，故符合题意；
B、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
C、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
D、，则此点不在此函数图象上，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把点 代入解析式中求出k=-1，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．
4．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（　　）
A． B．0 C．1 D．1或者
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此结合题意可得a-1≠0①，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，据此将x=0代入方程(a-1)x2+x-a2+1=0可得-a2+1=0②，求解①与②即可得出符合题意的a的值.
5．如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，，，
四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】由尺规作图痕迹可得BD=AC，CD=AB，从而根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABDC为平行四边形.
6．一场有19位同学参加的比赛，取前10名进决赛且所得分数互不相同.某同学知道自己的分数后要判断是否能进决赛，他只需要知道这19位同学所得分数的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由题意得，19位同学取前10名，只需要知道这19名同学的中位数，即排名第10的同学的成绩即可.
故答案为：B.
【分析】19名学生，取前10名学生，只需要知道第10名学生的成绩即可；而众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；而方差是反映数据波动大小的量；平均数是反映一组数据的整体水平的量，据此判断即可得出答案.
7．用反证法证明：“若，则”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
8．如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：作轴于，
，
，
，
，
在第二象限，
，
故答案为：C.
【分析】作AF⊥x轴于F，根据平行四边形及三角形的面积计算公式，由同底等高可得矩形ABOF的面积=平行四边形ABCD的面积=三角形BCE面积的2倍=12，再利用反比例函数k的几何意义可得|k|等于矩形ABOF的面积，最后结合反比例函数图象所在的象限即可求出k的值．
9．已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∵，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=，，据此结合题意可得a+b=-2025，ab=1；将待求式子平方得，然后通分计算得，再将分子利用完全平方公式分解因式得，整体代入计算后，再求算术平方根即可得到答案.
10．如图，、分别为等边三角形中、延长线上的点，且，为的中点，为中点设，，若要知道的值，只需知道下列哪个值？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长于点，使，连接，作于点，则，，
是等边三角形，、分别为、延长线上的点，且，为的中点，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，
为中点，为中点，
，
，
若要知道的值，只需知道的值，
故答案为：D．
【分析】如图，延长BC于点P，使CP=CD，连接PD，作CQ⊥PD于点Q，由垂直定义得，由等腰三角形的三线合一得；由等边三角形三个内角都等于60°得，由已知、中点定义及线段和差推出OP=OE，由等边对等角及三角形外角性质推出，根据含30°角直角三角形的性质得，由线段和差得，在Rt△CDQ中，利用勾股定理表示出DQ=，由三角形中位线定理得，则，可知若要知道的值，只需知道的值，于是得到问题的答案．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ．
故答案为：x≤3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出A+∠B=180°，结合∠A与∠B的关系可求出∠A的度数，最后根据平行四边形对角相等可得∠C=∠A，从而得出答案.
13．若反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
【分析】在反比例函数中，当时，函数的图象分布在在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可.
14．某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了棵，每棵产量单位（）的平均数及方差如表所示，该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是　 　．
统计量 甲 乙 丙 丁
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题可知，甲乙的平均数比丙丁的平均数大，而甲的方差比乙的小，
甲品种产量既高又稳定。
故答案为：甲．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数越大，该品种产量越高；一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量，方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好，据此比较可得结论.
15．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计．当球的高度第二次达到16米时，球的水平距离是　 　米．
【答案】80
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=16时，代入公式 得，16=d-0.01d2，解得d1=20，d2=80，∴当球的高度第二次达到16米时，球的水平距离是80米.
故答案为：80.
【分析】将h=16代入 后，解一元二次方程求得d的值，再根据球的高度第二次达到16米这个条件得出答案。
16．在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，
，，，
是由折叠得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得：，
故答案为：10．
【分析】由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，根据矩形的性质，正方形的性质，得EF=AB=8，BC=AD=12，EC=FD=AD-AF=4，由翻折性质得GE=CE=4，在Rt△DGH与Rt△EFH中，再利用勾股定理列方程建立方程组，解出即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
（2）
解∶
解得∶
【知识点】二次根式的加减法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质把各个二次根式化简，同时根据去括号法则去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）把(x+1)看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，发现方程的左边可利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．正方形网格的每个小正方形边长都是1， 以格点为顶点分别按下列要求画图
（1）在图1中以为边画一个菱形（不为正方形）；
（2）在图2中画出一个正方形，使其面积为10．
【答案】（1）解：菱形ABCD如图所示：
（2）解：正方形ABCD，如图所示：
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）结合格点特点及菱形的四边相等作图即可；
（2）先求出正方形的边长为，再结果勾股定理和网格特点画出图形即可．
19．第 33 届夏季奥林匹克运动会将于 2024 年 7 月 26 日在巴黎开幕．某校组织七、 八年级进行了奥运知识竞赛， 并从七、八年级各随机抽取了 20 名学生的竞赛成绩， 进行了整理和分析∶
【数据的收集与整理】
素材 1∶ 竞赛成绩用 表示，总分 100 分，80 分及以上为优秀，共分为四个等级∶
素材 2∶ 八年级 20 名学生的竞赛成绩统计图如图所示，
其中 等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82 ．
素材 3∶ 七年级 20 名学生的竞赛成绩为：
，
．
素材 4∶ 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如下表：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
七年级 73 a 78
八年级 73 81
【数据的分析与应用】
（1）任务一：结合上述素材，直接写出素材 4 中， ， ， ；
（2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由（至少写出一条理由）；
（3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有 600 人（七、八年级人数相同）， 请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀．
【答案】（1）78；80.5；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为七、八年级的平均数相同，但八年级的中位数（众数、优秀率）高于七年级，所以八年级的学生成绩更好（答案不唯一）；
（3）解：（人），
答：该校七八年级大约共有270人成绩优秀．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中78出现了3次，出现的次数最多，故众数a=78；
把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，中位数是第10位、第11位的平均数，
故中位数；
八年级的优秀率，
故答案为：78，80.5，；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此即可求出a、b的值；用八年级优秀的人数除以八年级的总人数即可得八年级的优秀率c的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和优秀率进行判断即可；
（3）用七年级的人数乘以样本中其优秀率+用八年级的人数乘以样本中其优秀率=该校七、八两个年级成绩优秀的人数 ，列式计算即可.
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】解：（1）把点A（1，3）代入，得： ，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（3，n）在反比例函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（3，1），
把点A（1，4），点B（3，1）代入 ，
得：，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2） 不等式的解集为：或x<0.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：（2）观察图象得：不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方或者两个函数图象交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为 或x<0；
【分析】（1）把点A（1，3）代入，可求出反比例函数的解析式，再将B(3，n)代入所得反比例函数解析式算出n=1，从而得到点B（3，1），再将把点A（1，3）与点B（3，1）分别代入 ，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求不等式的解集，求实求一次函数图象在反比例函数图象上方或者两个函数图象交点处的自变量的取值范围.
21．如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、，过点作于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，若四边形是菱形，求的值．
【答案】（1）证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行第三边得，从而由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AF=BD，结合中点定义得出CD=AF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由菱形的性质得AD=CD=CF，AC⊥DF结合中点定义、等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，根据勾股定理算出AC=4，然后由平行四边形的对边相等得DF=AB=3，最后由等面积法，结合菱形的面积求出DG的长即可．
（1）证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
．
22．如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当时，，
答：人和木板对滩涂的压强是；
（3）解：∵，
∴当时，p随S的增大而减小，
∴当时，即，
∴，
答：“木海马”底面面积至少需要．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据F=PS可得，然后将F=700代入得出结论；
（2）把s=1.4代入（1）中解析式即计算可；
（3）根据反比例函数的增减性得出结论.
23．方方与圆圆在学习中心对称后，准备对平行四边形进行更深入的研究，如图，平行四边形中，、分别为、上的点，当时，与是中心对称的，可推理得到．
（1）图中，为上不同于的一点，满足，此时与不是中心对称的，那么与是否仍存在某种数量关系？并说明理由；
（2）如图，平行四边形，、交于点，为上一点，延长交延长线于点，若，，求的长（用，表示）；
（3）如图，中，为的中点，为上一点，延长交延长线于点，若，，直接写出的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵DE与BF是中心对称的，
∴DE=BF，
又∵BG=DE，
∴BF=BG，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：AB=5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；中心对称的性质
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴．
【分析】（1）根据中心对称的性质得出DE=BF，根据等式的传递性得出BF=BG，由等边对等角得出，进而根据邻补角及等式性质得出；
（2）延长交于点，由平行四边形性质得AO=CO，AB∥CD，由平行线性质得∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO=∠BEH，从而利用“AAS”证明△CFO≌△AEO，由全等三角形的对应边相等得出CF=AE=CH=a，由等边对等角得出∠CFE=∠H，则∠H=∠BEH，由等角对等边得出BE=BH=b，最后根据线段和差可表示出BC；
（3）由线段和差得出BH=CH-BC=1，由（2）知，由等角对等边得出，最后根据AB=AE+BE可得答案.
（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
由（）知，
∴，
∴．
24．如图，是正方形内一点，．
（1）填空：若，则______；
若，则_____；
（2）若，，求的长；
（3）若，求的值．
【答案】（1）②
（2）解：过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
①∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，CP=CD，
是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，CP=CD
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角及三角形内角和定理得，根据正方形性质得，，由角的构成得出，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△PCD是等边三角形，由等边三角形每一个内角都是60°得，最后根据角的构成可得的度数；
②根据等边对等角及三角形内角和定理得，根据正方形性质得，，由角的构成得出，根据等边对等角及三角形内角和定理得，最后根据角的构成可得的度数；
（2）过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接；由正方形性质得BC=CD=5，∠BCD=90°，根据勾股定理算出BD的长；根据等腰三角形的三线合一得CM是线段PD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得，再由（1）的结论及邻补角得，则△MPD是等腰直角三角形；设MP=MD=x，由勾股定理表示出PD，在中，由勾股定理建立方程求出x，继而可得出PD的长；
（3）过点作于点，由等腰三角形的三线合一得，由正方形性质得AD=CD，∠ADC=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠1=∠2，从而用“AAS”证明△APD≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得PA=ED，则PD=2AP，由此即可得出的值．
（1）解：如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴；
（3）解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
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