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天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年下学期数学第三次中考模拟试卷
一、单选题
1．计算的结果等于（　　）
A．75 B．10 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
先确定商的符号，再计算绝对值的商．
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．
左视图如下：
，
故选：B．
【分析】根据从左面看到的图形是左视图解答即可．
3．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故 ，即：
，
故答案为：D.
【分析】由5 =25，6 =36，26在25-36之间，可知，据此作出判断即可.
4．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】
根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，判断所给汉字是否为对称图形即可.
5．光的速度约为，数据300000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据300000用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】
需将300000表示为科学记数法的形式，其中，n为整数．确定a和n的值即可.
6．计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】．
故选D．
【分析】
需先代入特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后做减法运算即可.
7．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
先对分母进行因式分解，找到最简公分母，通分后将分子相减，再化简结果即可.
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限上，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析求解即可.
9．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？
为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有钱，乙原有钱，
由题意可得：．
故答案为：C．
【分析】设甲原有钱，乙原有钱，根据“ 乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50 ”直接列出方程组即可.
10．如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接：，由题意知射线为的角平分线，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
先根据尺规作图确定CE是BD的垂直平分线，再利用垂直平分线性质和勾股定理求出BF的长，最后计算AF的长即可.
11．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点A顺时针旋转得到
根据旋转的性质可知：，旋转角，
故A，B不符合题意；
如图，记，的交点为，
由旋转可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转可得：，则，
而，
∴，
∴
故C不符合题意；
∵，，
当时，
∴，与题干信息不符，
故D符合题意．
故选：D
【分析】
根据旋转的性质可知且旋转角相等可判断A、B选项，再结合等腰三角形的“等边对等角”及三角形内角和定理可判断C、D选项.
12．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70 80 …
销售量y（千克） 250 240 230 220 …
①y与x之间的函数关系式为；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为，
把代入到中得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，故①正确；
当时，，则此时利润为元，故②正确；
设月销售利润为元，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故③错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确．
∴正确的有3个，
故选：C。
【分析】
根据表格利用待定系数法求出y与x的一次函数关系式，可判断①正确；根据“利润=（售价-进价）x
销售量”建立利润W与售价x的二次函数关系式，代入特定x的值计算，可判断②正确；利用二次函数的性质（开口方向、对称轴）求最大利润，可判断③错误；根据“总费用不超过5000元”列出不等式，确定x的取值范围，结合二次函数的增减性求特定范围内的最大值，可判断④正确．
二、填空题
13．不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，
∴从袋子中随机取出1个绿球的概率，
故答案为：
【分析】
先确定袋子中球的总个数及绿球的个数，再用绿球个数除以总球数得到取到绿球的概率即可.
14．计算：3a4×（﹣2a2）=　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】原式=
故填：
【分析】
先计算系数的乘积，再根据同底数幂的乘法法则计算字母部分的乘积，最后两部分结果相乘即可.
15．计算：　 　．
【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：7．
【分析】
先根据平方差公式，再根据乘方运算法则和二次根式混合运算法则，进行计算即可．
16．已知正比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k可以等于．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
需根据正比例函数的性质，确定k的取值范围，再给出一个符合条件的k值即可.
17．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4
（1）若，则线段的长为　 　；
（2）若G为的中点，则线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）过点作于， 则，
∵，为中点，正方形的边长为，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】
（）根据正方形的性质可证明，进而得，再根据余角性质和对顶角的性质可得，得到即可；
（）通过作辅助线，利用等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的性质证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于　 　；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若在上有一点，使其满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】；如图，取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理，得，
故答案为：；
【分析】
（Ⅰ）根据勾股定理，利用点的坐标（在网格中可确定点的相对位置，进而得到坐标）求出BC的长度即可；
（Ⅱ）通过作辅助线(连接特定点形成直线），利用图形的性质（圆和直线相交等性质）找到满足条件的点P即可.
三、解答题
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；
（Ⅲ）
在数轴上表示为：
；
（Ⅳ）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（Ⅰ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅳ）原不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】
先分别解出两个一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出这两个解集，最后找出它们的公共部分即为不等式组的解集.
20．为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（2）求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？
【答案】（1）50，32，8，8
（2），
∴这组数据的平均数为；
（3）在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占，
∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，．
∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168．
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，，
∴，
由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8，
∴中位数和众数均为8；
故答案为：50，32，8，8；
【分析】
（1）通过观察扇形统计图和条形统计图，提取各时间段的人数和百分比，再利用“样本容量=频数频率”求出总人数a，进而求出m的值，最后根据中位数和众数的定义求出即可；
（2）利用平均数公式计算即可；
（3）利用样本中某部分的占比乘以总体总人数，估计总体中该部分的人数即可．
（1）解：，，
∴，
由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8，
∴中位数和众数均为8；
故答案为：50，32，8，8；
（2），
∴这组数据的平均数为；
（3）在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占，
∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，．
∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168．
21．在中，为直径，过上一点作的切线，与的延长线交于点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）如图①，若，求 和的大小；
（2）如图②，若，为的中点，，求的长．
【答案】（1）解：如图①，连接，则，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 和都等于．
（2）解：如图②，连接，，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的长为．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形的性质；求正切值
【解析】【分析】（）通过连接半径OC构造直角三角形，利用切线性质得到=90°，结合三角形外角性质和等腰三角形性质求出的度数，进而利用互余关系和对顶角性质求出和；
（）根据第一问的结论可推导出为等边三角形，从而确定=30°，结合中点性质和三角函数分别求出AG和AC的长，利用线段的和差关系求出GC，最终得到EG的长即可．
（1）解：如图①，连接，则，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 和都等于．
（2）解：如图②，连接，，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
22．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为，看台最低点A到最高点B的距离米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为和．（结果精确到0.1米）（，，，）
（1）求的长；
（2）求旗杆的高．
【答案】（1）由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
的长约为16.8米；
（2）由题意得：，
在中，，米，
（米，
旗杆的高约为14.6米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）利用平行线的性质求出，结合已知仰角求出，再利用平角定义求出，最后利用正切函数求解即可；
（2）在直角三角形ADE中，已知斜边AE的长和，利用正弦函数求解即可.
（1）由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
的长约为16.8米；
（2）由题意得：，
在中，，米，
（米，
旗杆的高约为14.6米．
23．在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）①填表：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m
100
②______米/秒， ______秒；
（2）当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）①
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②4，15
（2）解：由题意得
（3）解： 甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时， 它们之间的竖直高度的差为16米 .
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒），
∴当时，（米）；
结合函数图象填表如下：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒，
∴；
由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
∴当时，；
当时，设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
综上：；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
由（2）得 线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
【分析】（1）①从图象提供的信息可得乙气球用时9分钟从10米到的观测台上升到55米高的地方，根据速度等于路程除以时间求出气球乙的速度，然后根据1秒后乙气球所在的高度等于开始的高度加上升的高度可求出1秒时乙气球所在的位置距离地面的高度；由图象可知，乙气球9秒时距离地面55米，30秒时距离地面100米，从而即可填表；
②由图象提供的信息可得甲气球用时25秒从地面上升到100米高的地方，根据速度等于路程除以时间求出气球甲的速度m的值，由图象可得25秒时甲乙两气球都同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，然后40秒的时候开始降落，故在空中联合观测时间n=40-25=15秒；
（2）分类讨论：①当时，由气球距离地面得高度y等于开始的高度加上升高度可得出y关于x的函数关系式；根据路程除以毒素等于时间可求出 气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，从而可求出点A的坐标为（16，55）；当时气球距离地面得高度y保持不变，始终为55米，从而可得y=55；当利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB的函数解析式，由（2）得线段MN、AN所在直线的函数解析式；然后分0≤x≤9，9＜x≤16及16＜x≤25三种情况，由高度差为16建立方程，求解即可.
（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒），
∴当时，（米）；
结合函数图象填表如下：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒，
∴；
由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
∴当时，；
当时，设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
综上：；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，等边的顶点，的顶点，其中．
（1）填空：如图1，点A的坐标为______，点F的坐标为______；
（2）现将沿x轴向右平移得，设．和重叠部分的面积为S．
①如图2，当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，，与交于M，N，与交于点P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）；
（2）①；②或
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，
∵是等边三角形，，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵中，，
∴，
∴，
∴
（2）
解：∵，
∴，
当点在上时，如图：
∵，
∴此时，
∴；
当点在上时，如图：
同理得：此时
，
∴，
∴；
当点在x轴的负半轴上或与点重合时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，
由平移的性质得，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，即，
∴，
此时，；
当点在x轴的负正轴上，且点在外部（左侧）时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，过点P作x轴的垂线，垂足为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同上得，
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在内部时，即，如图：
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在外部（右侧）时，即，如图：设交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，；
综上，；
①当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，
∴；
②∵，
当时，随的增大而增大，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∵，，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当，有最大值为，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当时，有最大值为，
此时，不满足，
综上，t的取值范围为或．
【分析】
（1）通过作辅助线，根据直角三角形性质求出OD的长，再利用三角函数得到A坐标，同理得到F坐标；
（2）根据平移后的图形状态建立面积的表达式，再根据面积范围求解t的取值范围即可．
（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D，
∵是等边三角形，，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当点在上时，如图：
∵，
∴此时，
∴；
当点在上时，如图：
同理得：此时
，
∴，
∴；
当点在x轴的负半轴上或与点重合时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，
由平移的性质得，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，即，
∴，
此时，；
当点在x轴的负正轴上，且点在外部（左侧）时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，过点P作x轴的垂线，垂足为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同上得，
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在内部时，即，如图：
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在外部（右侧）时，即，如图：设交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，；
综上，；
①当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，
∴；
②∵，
当时，随的增大而增大，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∵，，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当，有最大值为，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当时，有最大值为，
此时，不满足，
综上，t的取值范围为或．
25．已知抛物线（，为常数，）过点，顶点为点．
（1）当时，求此抛物线顶点的坐标；
（2）当时，若的面积为，求此抛物线的解析式；
（3）将抛物线向左平移1个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式．
【答案】（1）解：将，代入抛物线，得，
解得，
抛物线的解析式为 ，
；

（2）
设直线的解析式为，
将代入之后，可解得，
直线的解析式为，
将代入，得，
抛物线的解析式为，
，是抛物线的对称轴，
，
，
，
解得，
抛物线的解析式为
（3）解：
平移后的抛物线为，
，，
如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
，解得，
抛物线的解析式为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）先将点Q代入抛物线求出c，再将a=-1代入解析式，通过配方或公式求顶点坐标；
（2）先确定顶点P坐标，求出直线OQ解析式及对称轴交点C，利用三角形面积公式求a，进而得解析式；
（3）先求出平移后抛物线的顶点A与y轴交点B，通过对称点转化最短路径问题，利用两直线平行斜率相等求a。得出平移后解析式即可．
（1）解：将，代入抛物线，得，
解得，
抛物线的解析式为 ，
；
（2）
设直线的解析式为，
将代入之后，可解得，
直线的解析式为，
将代入，得，
抛物线的解析式为，
，是抛物线的对称轴，
，
，
，
解得，
抛物线的解析式为
（3）解：
平移后的抛物线为，
，，
如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
，解得，
抛物线的解析式为．
1 / 1天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年下学期数学第三次中考模拟试卷
一、单选题
1．计算的结果等于（　　）
A．75 B．10 C． D．
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
5．光的速度约为，数据300000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（　　）
A． B．4 C． D．5
7．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？
为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70 80 …
销售量y（千克） 250 240 230 220 …
①y与x之间的函数关系式为；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　．
14．计算：3a4×（﹣2a2）=　 　．
15．计算：　 　．
16．已知正比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是　 　．
17．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4
（1）若，则线段的长为　 　；
（2）若G为的中点，则线段的长为　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于　 　；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点，若在上有一点，使其满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
三、解答题
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．
20．为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（2）求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？
21．在中，为直径，过上一点作的切线，与的延长线交于点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）如图①，若，求 和的大小；
（2）如图②，若，为的中点，，求的长．
22．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为，看台最低点A到最高点B的距离米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为和．（结果精确到0.1米）（，，，）
（1）求的长；
（2）求旗杆的高．
23．在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）①填表：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m
100
②______米/秒， ______秒；
（2）当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，等边的顶点，的顶点，其中．
（1）填空：如图1，点A的坐标为______，点F的坐标为______；
（2）现将沿x轴向右平移得，设．和重叠部分的面积为S．
①如图2，当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，，与交于M，N，与交于点P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（，为常数，）过点，顶点为点．
（1）当时，求此抛物线顶点的坐标；
（2）当时，若的面积为，求此抛物线的解析式；
（3）将抛物线向左平移1个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
先确定商的符号，再计算绝对值的商．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．
左视图如下：
，
故选：B．
【分析】根据从左面看到的图形是左视图解答即可．
3．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故 ，即：
，
故答案为：D.
【分析】由5 =25，6 =36，26在25-36之间，可知，据此作出判断即可.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】
根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，判断所给汉字是否为对称图形即可.
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据300000用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】
需将300000表示为科学记数法的形式，其中，n为整数．确定a和n的值即可.
6．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】．
故选D．
【分析】
需先代入特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后做减法运算即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
先对分母进行因式分解，找到最简公分母，通分后将分子相减，再化简结果即可.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限上，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲原有钱，乙原有钱，
由题意可得：．
故答案为：C．
【分析】设甲原有钱，乙原有钱，根据“ 乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50 ”直接列出方程组即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接：，由题意知射线为的角平分线，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
先根据尺规作图确定CE是BD的垂直平分线，再利用垂直平分线性质和勾股定理求出BF的长，最后计算AF的长即可.
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点A顺时针旋转得到
根据旋转的性质可知：，旋转角，
故A，B不符合题意；
如图，记，的交点为，
由旋转可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转可得：，则，
而，
∴，
∴
故C不符合题意；
∵，，
当时，
∴，与题干信息不符，
故D符合题意．
故选：D
【分析】
根据旋转的性质可知且旋转角相等可判断A、B选项，再结合等腰三角形的“等边对等角”及三角形内角和定理可判断C、D选项.
12．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为，
把代入到中得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，故①正确；
当时，，则此时利润为元，故②正确；
设月销售利润为元，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故③错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确．
∴正确的有3个，
故选：C。
【分析】
根据表格利用待定系数法求出y与x的一次函数关系式，可判断①正确；根据“利润=（售价-进价）x
销售量”建立利润W与售价x的二次函数关系式，代入特定x的值计算，可判断②正确；利用二次函数的性质（开口方向、对称轴）求最大利润，可判断③错误；根据“总费用不超过5000元”列出不等式，确定x的取值范围，结合二次函数的增减性求特定范围内的最大值，可判断④正确．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有3个绿球、6个红球，
∴从袋子中随机取出1个绿球的概率，
故答案为：
【分析】
先确定袋子中球的总个数及绿球的个数，再用绿球个数除以总球数得到取到绿球的概率即可.
14．【答案】
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】原式=
故填：
【分析】
先计算系数的乘积，再根据同底数幂的乘法法则计算字母部分的乘积，最后两部分结果相乘即可.
15．【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：7．
【分析】
先根据平方差公式，再根据乘方运算法则和二次根式混合运算法则，进行计算即可．
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k可以等于．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
需根据正比例函数的性质，确定k的取值范围，再给出一个符合条件的k值即可.
17．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）过点作于， 则，
∵，为中点，正方形的边长为，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】
（）根据正方形的性质可证明，进而得，再根据余角性质和对顶角的性质可得，得到即可；
（）通过作辅助线，利用等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的性质证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解．
18．【答案】；如图，取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理，得，
故答案为：；
【分析】
（Ⅰ）根据勾股定理，利用点的坐标（在网格中可确定点的相对位置，进而得到坐标）求出BC的长度即可；
（Ⅱ）通过作辅助线(连接特定点形成直线），利用图形的性质（圆和直线相交等性质）找到满足条件的点P即可.
19．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；
（Ⅲ）
在数轴上表示为：
；
（Ⅳ）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（Ⅰ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式，得：．
故答案为：；
（Ⅳ）原不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】
先分别解出两个一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出这两个解集，最后找出它们的公共部分即为不等式组的解集.
20．【答案】（1）50，32，8，8
（2），
∴这组数据的平均数为；
（3）在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占，
∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，．
∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168．
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，，
∴，
由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8，
∴中位数和众数均为8；
故答案为：50，32，8，8；
【分析】
（1）通过观察扇形统计图和条形统计图，提取各时间段的人数和百分比，再利用“样本容量=频数频率”求出总人数a，进而求出m的值，最后根据中位数和众数的定义求出即可；
（2）利用平均数公式计算即可；
（3）利用样本中某部分的占比乘以总体总人数，估计总体中该部分的人数即可．
（1）解：，，
∴，
由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8，
∴中位数和众数均为8；
故答案为：50，32，8，8；
（2），
∴这组数据的平均数为；
（3）在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占，
∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，．
∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168．
21．【答案】（1）解：如图①，连接，则，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 和都等于．
（2）解：如图②，连接，，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的长为．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形的性质；求正切值
【解析】【分析】（）通过连接半径OC构造直角三角形，利用切线性质得到=90°，结合三角形外角性质和等腰三角形性质求出的度数，进而利用互余关系和对顶角性质求出和；
（）根据第一问的结论可推导出为等边三角形，从而确定=30°，结合中点性质和三角函数分别求出AG和AC的长，利用线段的和差关系求出GC，最终得到EG的长即可．
（1）解：如图①，连接，则，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 和都等于．
（2）解：如图②，连接，，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
22．【答案】（1）由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
的长约为16.8米；
（2）由题意得：，
在中，，米，
（米，
旗杆的高约为14.6米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）利用平行线的性质求出，结合已知仰角求出，再利用平角定义求出，最后利用正切函数求解即可；
（2）在直角三角形ADE中，已知斜边AE的长和，利用正弦函数求解即可.
（1）由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
的长约为16.8米；
（2）由题意得：，
在中，，米，
（米，
旗杆的高约为14.6米．
23．【答案】（1）①
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②4，15
（2）解：由题意得
（3）解： 甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时， 它们之间的竖直高度的差为16米 .
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒），
∴当时，（米）；
结合函数图象填表如下：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒，
∴；
由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
∴当时，；
当时，设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
综上：；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
由（2）得 线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
【分析】（1）①从图象提供的信息可得乙气球用时9分钟从10米到的观测台上升到55米高的地方，根据速度等于路程除以时间求出气球乙的速度，然后根据1秒后乙气球所在的高度等于开始的高度加上升的高度可求出1秒时乙气球所在的位置距离地面的高度；由图象可知，乙气球9秒时距离地面55米，30秒时距离地面100米，从而即可填表；
②由图象提供的信息可得甲气球用时25秒从地面上升到100米高的地方，根据速度等于路程除以时间求出气球甲的速度m的值，由图象可得25秒时甲乙两气球都同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，然后40秒的时候开始降落，故在空中联合观测时间n=40-25=15秒；
（2）分类讨论：①当时，由气球距离地面得高度y等于开始的高度加上升高度可得出y关于x的函数关系式；根据路程除以毒素等于时间可求出 气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，从而可求出点A的坐标为（16，55）；当时气球距离地面得高度y保持不变，始终为55米，从而可得y=55；当利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB的函数解析式，由（2）得线段MN、AN所在直线的函数解析式；然后分0≤x≤9，9＜x≤16及16＜x≤25三种情况，由高度差为16建立方程，求解即可.
（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒），
∴当时，（米）；
结合函数图象填表如下：
乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30
所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100
②由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒，
∴；
由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
∴当时，；
当时，设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
综上：；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
24．【答案】（1）；
（2）①；②或
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，
∵是等边三角形，，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵中，，
∴，
∴，
∴
（2）
解：∵，
∴，
当点在上时，如图：
∵，
∴此时，
∴；
当点在上时，如图：
同理得：此时
，
∴，
∴；
当点在x轴的负半轴上或与点重合时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，
由平移的性质得，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，即，
∴，
此时，；
当点在x轴的负正轴上，且点在外部（左侧）时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，过点P作x轴的垂线，垂足为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同上得，
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在内部时，即，如图：
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在外部（右侧）时，即，如图：设交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，；
综上，；
①当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，
∴；
②∵，
当时，随的增大而增大，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∵，，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当，有最大值为，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当时，有最大值为，
此时，不满足，
综上，t的取值范围为或．
【分析】
（1）通过作辅助线，根据直角三角形性质求出OD的长，再利用三角函数得到A坐标，同理得到F坐标；
（2）根据平移后的图形状态建立面积的表达式，再根据面积范围求解t的取值范围即可．
（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D，
∵是等边三角形，，且，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当点在上时，如图：
∵，
∴此时，
∴；
当点在上时，如图：
同理得：此时
，
∴，
∴；
当点在x轴的负半轴上或与点重合时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，
由平移的性质得，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，即，
∴，
此时，；
当点在x轴的负正轴上，且点在外部（左侧）时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，过点P作x轴的垂线，垂足为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同上得，
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在内部时，即，如图：
此时，
；
当点在x轴的正半轴上，且点在外部（右侧）时，即，如图：设交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，；
综上，；
①当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，
∴；
②∵，
当时，随的增大而增大，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∵，，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当，有最大值为，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当，则，
解得：或，
当，则，
解得：或，
∴；
当时，
∵的图象关于对称，
∴当时，随的增大而减小，
当时，有最大值为，
此时，不满足，
综上，t的取值范围为或．
25．【答案】（1）解：将，代入抛物线，得，
解得，
抛物线的解析式为 ，
；

（2）
设直线的解析式为，
将代入之后，可解得，
直线的解析式为，
将代入，得，
抛物线的解析式为，
，是抛物线的对称轴，
，
，
，
解得，
抛物线的解析式为
（3）解：
平移后的抛物线为，
，，
如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
，解得，
抛物线的解析式为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）先将点Q代入抛物线求出c，再将a=-1代入解析式，通过配方或公式求顶点坐标；
（2）先确定顶点P坐标，求出直线OQ解析式及对称轴交点C，利用三角形面积公式求a，进而得解析式；
（3）先求出平移后抛物线的顶点A与y轴交点B，通过对称点转化最短路径问题，利用两直线平行斜率相等求a。得出平移后解析式即可．
（1）解：将，代入抛物线，得，
解得，
抛物线的解析式为 ，
；
（2）
设直线的解析式为，
将代入之后，可解得，
直线的解析式为，
将代入，得，
抛物线的解析式为，
，是抛物线的对称轴，
，
，
，
解得，
抛物线的解析式为
（3）解：
平移后的抛物线为，
，，
如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
，解得，
抛物线的解析式为．
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