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四川省泸州市泸县2026年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．下列各选项是方程的解的是（　　）
A．1 B． C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】方程左边是一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式后，利用直接开平方法求解即可得出答案.
2．从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：这5个数中无理数有和，
∴抽到无理数的概率是，
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此判断出这列数中的无理数，进而利用无理数的个数除以这列数的总个数即可求出抽到无理数的概率.
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”，直接得出答案.
4．已知关于的二次函数，下列结论错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．最小值为1 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，y最小为k，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小；当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，y最大为k，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意逐一判断即可.
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为 ：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
6．如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（　　）
A．74° B．45° C．55° D．51°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由第一张图先求出边的对角为，
∵两个三角形为全等三角形，
第二个图中的对角为，
即，
故答案为：D．
【分析】先由三角形的内角和定理求出第一个图中边a的对角的度数，再根据全等三角形的对应角相等可得第二个图中边a的对角得度数.
7．如图，，与相交于点O，若，，则的长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△ABO∽△CDO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB的长.
8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程 有两个相等的实数根，
∴ 判别式，即，
∴，
解得，．
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
9．如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故答案为：C．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得出∠B=65°，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC的度数.
10．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点O作于点G，
∵正六边形的中心角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形的面积为，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由正n边形的中心角为求出∠AOB=60°，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB为等边三角形，由等边三角形三边相等得出OA=OB=AB=1，由∠OAG的正弦函数及特殊锐角三角函数值求出OG的长，进而根据三角形面积公式求出△OAB的面积，最后根据正六边形的面积为6倍△AOB的面积，求解即可.
11．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，与交于点，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；8字模型
【解析】【解答】解：如图，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，．
，，
，
又∵∠AQP=∠CQO
，
．
故答案为：B．
【分析】由旋转性质得∠BOD=∠AOC，∠A=∠C，由角的构成推出∠AOC=∠BOD=30°，由“8”字形图得∠APQ=∠AOC=30°，最后根据邻补角可求出∠CPB的度数.
12．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故答案为：B．
【分析】设二倍点所在直线为y=2x，联立二次函数可得方程x2-x+c=2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，求得c的取值范围，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点；把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，则，解不等式组即可。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13．抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式化成顶点式即可得出答案．
14．一元二次方程的两根为，则　 　．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，．
∴．
故答案为：11.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则一元二次方程根与系数x1+x2=，，据此结合题意可求出x1+x2与x1x2的值，然后利用完全平方公式将待求式子变形为(x1+x2)2-2x1x2，从而整体代入计算可得答案.
15．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴新抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”直接求解即可.
16． 中， ， ， .把它沿边 所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为　 　.
【答案】36π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.
∴AB＝5，
Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，
所以所得到的几何体的全面积＝π×42 2π×4×5＝36π.
故答案为36π.
【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可.
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是　 　
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：作于Q，连接、、，如图：
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由得，
当时，；当时，
即点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是的中线，
则，
由三角形三边关系得：，
由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大，
∵P为中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】要使最大，则P到AB的距离要最大，根据特殊的勾股数1，1，，可知△是等腰直角三角形，根据直线y=-x-2与坐标轴的交点可知△也是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出OQ和OP的长度，再由三角形三边关系得：，当P、O、Q共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18．解方程：．
【答案】解：，
，
，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把x-1看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后移到方程的左边，再将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．化简（ +a﹣2）÷ ．
【答案】解：原式=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】由分式的混合运算法则，先通分计算括号里面的，再分解因式约分即可化简。
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．计算：．
【答案】解：
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据二次根式性质“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”及绝对值性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
由网格可得，
∵，
∴线段旋转过程中所扫过的面积为．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（） 利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、C绕点B顺时针旋转90° 的对应点A2、C2，再顺次连接A2、B、C2即可得到所求的△A2BC2；利用方格纸的特点及勾股定理算出BC的长，由旋转性质可得∠CBC2=90°，从而根据扇形面积公式计算出扇形BCC2的面积即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
由网格可得，
∵，
∴线段旋转过程中所扫过的面积为．
22．DeepSeek横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【答案】（1）50，
（2）解：B组人数为：50×30%=15（人）
补全频数分布直方图如图所示．
（3）解： 全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为（人）；
（4）解： 列表如下：（或画树状图）
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩，
组所对应圆心角的度数为．
故答案为：50，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D组学生人数除以其所占百分比可求出本次调查抽取的学生人数；用360°乘以C组学生人数所占百分比即可求出在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数；
（2）用本次调查抽取的学生人数乘以B组人数所占的百分比即可求出B组学生人数，从而即可补全频数分布直方图；
（3）用1该校学生总人数乘以样本中成绩不低于80分的人数占比即可估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种，用概率公式计算所选的两位同学恰为甲和丙的概率即可．
（1）解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩，
组所对应圆心角的度数为．
故答案为：50，；
（2）补全频数分布直方图如图所示．
（3）全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为（人）；
（4）列表如下：（或画树状图）
甲 乙 丙 丁
甲
（甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲）
（乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙）
（丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23．2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为元/件时，第一周销售件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到件．
（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
（2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元，
依题意，得：，
整理得，
∵
∴当时，有最大值，为，
答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，据此列出方程，求解得出符合题意的x的值即可；
（2）设该坦克模型每个的售价降价m元，商场第四周销售该坦克模型可获利y元，则每一个坦克模型的利润为(50-m-30)元，根据总利润等于单个商品的利润乘以销售数量可列出y关于x的函数关系式，进而将解析式赔偿顶点式，结合抛物线开口方向及顶点坐标可得最大利润时m的值.
（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
（2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元，
依题意，得：，
整理得，
∵
∴当时，有最大值，为，
答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元．
24．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求切线的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
【知识点】垂径定理；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由垂径定理可得，从而利用“SSS”证明△OAD≌△OCD，由全等三角形的对应角相等得，再用“SAS”证△OAP≌△OCP，由全等三角形的对应角相等及切线性质可得，进而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由三角形的中位线等于第三边的一半得到，从而可求出OA=OB=，在Rt△ADO中，利用勾股定理算出AD，由由∠AOP的正切函数可得，从而即可求出PA的长度.
25．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值．
【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设P(x，-x2-2x+3)，则点H(x，x+3)，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
∵两函数解析式相交于点M、N，且点M的横坐标为m，点N的横坐标为n
一元二次方程两个不相等的实数根分别为、，
∴，
是一个定值．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点和点的坐标分别代入，得到关于臬a、c的方程组，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式；
（2）过点P作PH∥y轴，交AB于点H，利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3；根据点的坐标与图形性质，设P(x，-x2-2x+3)，则点H(x，x+3)，根据平面内两点间的距离公式表示出PH，然后根据三角形面积公式，由S△APB=S△APH+S△BPH建立出二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，即可求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线MN的解析式为y=hx，联立直线mn与抛物线解析式可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值．
（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，
是一个定值．
1 / 1四川省泸州市泸县2026年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．下列各选项是方程的解的是（　　）
A．1 B． C．2 D．-2
2．从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．已知关于的二次函数，下列结论错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．最小值为1 D．当时，随的增大而增大
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C． ：2 D．2：
6．如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（　　）
A．74° B．45° C．55° D．51°
7．如图，，与相交于点O，若，，则的长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．4
8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，与交于点，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
12．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13．抛物线的顶点坐标是　 　．
14．一元二次方程的两根为，则　 　．
15．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为　 　．
16． 中， ， ， .把它沿边 所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为　 　.
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是　 　
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18．解方程：．
19．化简（ +a﹣2）÷ ．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．计算：．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积．
22．DeepSeek横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23．2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为元/件时，第一周销售件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到件．
（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？
24．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求切线的长．
25．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】方程左边是一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式后，利用直接开平方法求解即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】概率公式；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：这5个数中无理数有和，
∴抽到无理数的概率是，
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此判断出这列数中的无理数，进而利用无理数的个数除以这列数的总个数即可求出抽到无理数的概率.
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”，直接得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，y最小为k，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小；当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，y最大为k，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为 ：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由第一张图先求出边的对角为，
∵两个三角形为全等三角形，
第二个图中的对角为，
即，
故答案为：D．
【分析】先由三角形的内角和定理求出第一个图中边a的对角的度数，再根据全等三角形的对应角相等可得第二个图中边a的对角得度数.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△ABO∽△CDO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB的长.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程 有两个相等的实数根，
∴ 判别式，即，
∴，
解得，．
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
9．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故答案为：C．
【分析】由圆内接四边形的对角互补得出∠B=65°，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC的度数.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点O作于点G，
∵正六边形的中心角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形的面积为，
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，由正n边形的中心角为求出∠AOB=60°，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOB为等边三角形，由等边三角形三边相等得出OA=OB=AB=1，由∠OAG的正弦函数及特殊锐角三角函数值求出OG的长，进而根据三角形面积公式求出△OAB的面积，最后根据正六边形的面积为6倍△AOB的面积，求解即可.
11．【答案】B
【知识点】旋转的性质；8字模型
【解析】【解答】解：如图，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，．
，，
，
又∵∠AQP=∠CQO
，
．
故答案为：B．
【分析】由旋转性质得∠BOD=∠AOC，∠A=∠C，由角的构成推出∠AOC=∠BOD=30°，由“8”字形图得∠APQ=∠AOC=30°，最后根据邻补角可求出∠CPB的度数.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故答案为：B．
【分析】设二倍点所在直线为y=2x，联立二次函数可得方程x2-x+c=2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，求得c的取值范围，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点；把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，则，解不等式组即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式化成顶点式即可得出答案．
14．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，．
∴．
故答案为：11.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则一元二次方程根与系数x1+x2=，，据此结合题意可求出x1+x2与x1x2的值，然后利用完全平方公式将待求式子变形为(x1+x2)2-2x1x2，从而整体代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴新抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”直接求解即可.
16．【答案】36π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.
∴AB＝5，
Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，
所以所得到的几何体的全面积＝π×42 2π×4×5＝36π.
故答案为36π.
【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可.
17．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：作于Q，连接、、，如图：
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由得，
当时，；当时，
即点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是的中线，
则，
由三角形三边关系得：，
由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大，
∵P为中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】要使最大，则P到AB的距离要最大，根据特殊的勾股数1，1，，可知△是等腰直角三角形，根据直线y=-x-2与坐标轴的交点可知△也是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出OQ和OP的长度，再由三角形三边关系得：，当P、O、Q共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．
18．【答案】解：，
，
，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把x-1看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后移到方程的左边，再将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】解：原式=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】由分式的混合运算法则，先通分计算括号里面的，再分解因式约分即可化简。
20．【答案】解：
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据二次根式性质“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”及绝对值性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
由网格可得，
∵，
∴线段旋转过程中所扫过的面积为．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（） 利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、C绕点B顺时针旋转90° 的对应点A2、C2，再顺次连接A2、B、C2即可得到所求的△A2BC2；利用方格纸的特点及勾股定理算出BC的长，由旋转性质可得∠CBC2=90°，从而根据扇形面积公式计算出扇形BCC2的面积即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
由网格可得，
∵，
∴线段旋转过程中所扫过的面积为．
22．【答案】（1）50，
（2）解：B组人数为：50×30%=15（人）
补全频数分布直方图如图所示．
（3）解： 全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为（人）；
（4）解： 列表如下：（或画树状图）
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩，
组所对应圆心角的度数为．
故答案为：50，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D组学生人数除以其所占百分比可求出本次调查抽取的学生人数；用360°乘以C组学生人数所占百分比即可求出在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数；
（2）用本次调查抽取的学生人数乘以B组人数所占的百分比即可求出B组学生人数，从而即可补全频数分布直方图；
（3）用1该校学生总人数乘以样本中成绩不低于80分的人数占比即可估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种，用概率公式计算所选的两位同学恰为甲和丙的概率即可．
（1）解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩，
组所对应圆心角的度数为．
故答案为：50，；
（2）补全频数分布直方图如图所示．
（3）全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为（人）；
（4）列表如下：（或画树状图）
甲 乙 丙 丁
甲
（甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲）
（乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙）
（丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
23．【答案】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
（2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元，
依题意，得：，
整理得，
∵
∴当时，有最大值，为，
答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，据此列出方程，求解得出符合题意的x的值即可；
（2）设该坦克模型每个的售价降价m元，商场第四周销售该坦克模型可获利y元，则每一个坦克模型的利润为(50-m-30)元，根据总利润等于单个商品的利润乘以销售数量可列出y关于x的函数关系式，进而将解析式赔偿顶点式，结合抛物线开口方向及顶点坐标可得最大利润时m的值.
（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
（2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元，
依题意，得：，
整理得，
∵
∴当时，有最大值，为，
答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
【知识点】垂径定理；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OC，由垂径定理可得，从而利用“SSS”证明△OAD≌△OCD，由全等三角形的对应角相等得，再用“SAS”证△OAP≌△OCP，由全等三角形的对应角相等及切线性质可得，进而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由三角形的中位线等于第三边的一半得到，从而可求出OA=OB=，在Rt△ADO中，利用勾股定理算出AD，由由∠AOP的正切函数可得，从而即可求出PA的长度.
25．【答案】（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设P(x，-x2-2x+3)，则点H(x，x+3)，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
∵两函数解析式相交于点M、N，且点M的横坐标为m，点N的横坐标为n
一元二次方程两个不相等的实数根分别为、，
∴，
是一个定值．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点和点的坐标分别代入，得到关于臬a、c的方程组，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式；
（2）过点P作PH∥y轴，交AB于点H，利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3；根据点的坐标与图形性质，设P(x，-x2-2x+3)，则点H(x，x+3)，根据平面内两点间的距离公式表示出PH，然后根据三角形面积公式，由S△APB=S△APH+S△BPH建立出二次函数关系式，并将解析式配成顶点式，即可求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线MN的解析式为y=hx，联立直线mn与抛物线解析式可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值．
（1）解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，
是一个定值．
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