资源简介

浙江省浙共体2026年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．2026的相反数是（　　）
A． B． C． D．2026
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数符号相反且绝对值相等，
∴的相反数是，
故选：．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
A．30° B．60° C．70° D．150°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．
3．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384 000=3.84×105．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A．
【分析】根据面动成体，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线作为旋转轴，而另一条直角边和斜边在旋转的过程中分别形成圆锥的底面半径和母线，据此可得答案.
5．已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
6．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故答案为：C．
【分析】位似图形对应边的比就是位似比，据此求出△COD与△AOB的位似比为3∶1，进而根据在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此可得答案.
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，琎价为y钱，
由题意得
故答案为：B.
【分析】由“ 每人出钱，会多出4钱 ”可列方程；由“ 每人出钱，又差了3钱 ”可列方程为，联立两方程即可.
8．某中学八年级举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（　　）
A．该校八年级学生有1200人
B．80-89分段的人数是300人
C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108°
D．59分及以下的人数最少
【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；数形结合
【解析】【解答】解：A、条形统计图中C所占的人数为300人，扇形统计图中C所占的百分比为，故该校八年级的总人数为：（人），故此选项错误；
B、由扇形统计图中D所占的百分比为，D所对应的人数为（人），故此选项错误；
C、，即“70-79分”部分所对应的圆心角的度数为 ，故此选项正确；
D、由条形统计图得B分数段人数为200人，C分数段人数为300人，E分数段人数为50人，由B选项得D分数段人数为350人，则A分数段人数为1000×10％=100人，故E分数段人数最少，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据统计图表提供的信息，用C分数段的人数除以其所占的百分比即可求出该校八年级的总人数，从而即可判断A选项；用该校八年级学生总人数乘以D分数段人数所占的百分比，即可求出D分数段的人数，从而可判断B选项；用360°乘以C分数段人数所占百分比即可求出在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数，从而可判断C选项；求出各分数段人数，再比较即可判断D选项.
9．如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，
由题意知，
，，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
设，
则，
，
与的长之比为，
，
，
，
菱形中，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG；由同圆半径相等得AD=AF=AG=AE=AB=2，由等边对等角及菱形对角相等得∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，从而用“AAS”证△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠DAF，设， 根据三角形内角和定理及圆心角、弧弦的关系得， 由三角形内角和定理得，由菱形对角线平分一组对角，可得，，由菱形对角线互相垂直及直角三角形两锐角互余得，代入求解可得，最后利用弧长公式计算即可．
10．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．y的最小值为64
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；数形结合
【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故答案为：B ．
【分析】由于图象经过点P(0，100) ，可知当x=0时，点A与点E重合，此时AE=0，DE=AD，则y=DE2=100，故AD=10，结合中点定义得AB=20；由图象经过点N(n-9，100)，得当x=n-9时，AE=n-9，y=DE2=100，故DE=10，故△ADE是等腰三角形；过点D作DF⊥AC于点F，由等腰三角形的三线合一得出AF=，在Rt△ADF中，由余弦函数定义求出；由图象最高点M(n，m)，由于当E与点C重合时，DE最大，故AE=AC=n，y=DC2=m，在Rt△ABC中，由余弦函数定义得，则可列出方程 ，求解得出符合题意的n为25，可判断C选项；则AC=25，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由∠A的余弦函数值及特殊锐角三角函数值可判断A选项；在Rt△BDC中，由勾股定理算出DC2得出m的值，可判断B选项；根据垂线段最短得出当DE⊥AC，即点E与点F重合时，DE最小，即y=DE2最小，此时AF=，进而在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF2即可判断D选项.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：1．
【分析】由二次根式性质“”及一个负数的绝对值等于其相反数分别化简，再计算有理数的减法得出答案.
12．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】根据解不等式的步骤“移项、合并同类项及系数化为1”分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是　 　米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
【答案】89.28
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【解答】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，由正切函数的定义及∠CAD的正切函数值可求出CD，在Rt△ADB中， 由正切函数的定义及∠BAD的正切函数值可求出BD的长，最后根据BC=BD+CD可得答案.
14．现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8；
所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种；
因此概率为：．
故答案为：．
【分析】
通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率．
15．已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为　 　．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在直线上，
∴-m+5=n，
∴m+n=5；
∵点在双曲线上，
∴，
∴mn=-2，
∴，
故答案为：29．
【分析】根据函数图象上点的坐标特点将点P(m，n)分别代入y=-x+5与可得m+n=5，mn=-2，然后利用完全平方公式可将待求式子变形为(m+n)2-2mn，从而整体代入计算可得答案.
16．如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】分别过A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，设AC、BD交于点G，则，由同底等高三角形面积相等可得，从而结合对顶角相等，利用“AAS”证明△AGE≌△CGF，由全等三角形的对应边相等可得CG=AG；由等边对等角及同弧所对的圆周角相等可推出∠BDC=∠DBC=∠CAD，结合公共角∠ACD=∠DCG，由有两组角相等的两个三角形相似得出△CDG∽△CAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC的长.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式
=24．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果，根据含乘方的有理数混合运算的运算顺序计算即可.
18．解分式方程：
【答案】解：
∴
解得：
当时，
∴是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母3(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程（注意左边的整式"-1”也要乘以最简公分母，不能漏乘），然后解整式方程求出x的值，进而检验即可得出原方程根的情况.
19．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据垂直定义得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等证明，进而可依据“”判定；
（2）根据全等三角形对应边相等得，，然后再根据线段和差、等量代换即可得出结论.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
20．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
使用次数
人数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是______，众数是______；
（2）若该校某天有名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数．
【答案】（1），
（2）解：（名），
答：估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数约为名．
【知识点】统计表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，众数是，
故答案为：，；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合统计表提供的信息解答即可；
（2）用该校某天出行学生的总人数乘以样本中总人数乘样本中4次及4次以上的学生人数所占比例即可估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数.
（1）解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，众数是，
故答案为：，；
（2）解：（名），
答：估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数约为名．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
（2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）①两；②7；③27
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数，
故答案为：两；
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
故答案为：7；
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
故答案为：27；
【分析】（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）通过题干给出的例子，首先通过分析数的范围来确定立方根的位数，再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字，最后通过比较立方数的大小确定立方根的十位数字.
（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
22．如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接
∵与相切，
∴
∴∠OEC=90°，
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴平分；
（2）解：∵AD=8，
∴OE=AO=OD=4，
作如图所示：
∴∠OFB=90°，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴
∵
∴
∴.
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-证明问题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先由圆的切线垂直经过切点的半径得OE⊥BC，从而根据同位角相等，两直线平行得出OE∥AB，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出∠BAE=∠OEA=∠OAE，从而根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥AB，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形OEBF是矩形，由矩形对边相等得OE=BF=4，BE=OF，由线段和差算出AF，在Rt△AFO中，利用勾股定理算出OF即可得出BE的长.
（1）证明：连接
∵与相切，
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴平分；
（2）解：作如图所示：
∵，
∴
∵，
∴四边形为矩形，
∴
∵
∴
∴.
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，）
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长．
（3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，抛物线为.
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向下平移个单位后为，
令，即，
，
解得或，
抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
当时，取到最大值为，
当时，取到最小值，最小值为，
的最大值与最小值之差为，
，
化简得：，即，
，
，
，
.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将a=-1代入抛物线y=ax2-4ax+3a+1，再将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据抛物线的平移的特征“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式为y=ax2-4ax+3a，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（3）将抛物线y=ax2-4ax+3a+1化为顶点式，得到对称轴直线为x=2，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可．
（1）解：当时，抛物线为.
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向下平移个单位后为，
令，即，
，
解得或，
抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
当时，取到最大值为，
当时，取到最小值，最小值为，
的最大值与最小值之差为，
，
化简得：，即，
，
，
，
.
24．如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求．
（3）如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
（3）解：过点作的平行线交于点，作，
，
∵CG⊥AE，EN⊥AM，
∴，
，
，
，
∵AM∥BC，
∴，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质可得，从而用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得，进而利用角的构成及等量减去等量差相等可得结论；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由全等三角形的对应边相等得AE=CE=6，由等边对等角得∠EAC=∠ACB，结合顶角相等的两个等腰三角形的底角相等推出∠ABC=∠ACB，由等角对等边得AB=AC，由等腰三角形三线合一得到，进而求得EF，根据勾股定理依次求得AF和AC的长即可；
（3）过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM于点M，由二直线平行，内错角相等得∠CEG=∠EAN，由垂直定义得∠CGE=∠ENA=90°，从而利用“AAS”证明△CEG≌△EAN，由全等三角形的对应边相等得到EG=AN；由二直线平行，内错角相等及，可推出∠EMA=∠EAM，根据等角对等边证得，由等腰三角形的三线合一得出AM=2AN；由二直线平行，内错角相等、等边对等角及对顶角相等证得，由等角对等边得AM=MD，由直角三角形两锐角互余、角的构成及等角的余角相等推出∠F=∠FAM，由等角对等边得MF=MA，则可推出FD=2AM=4AN，从而即可求出两条线段的比值.
（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
（3）解：过点作的平行线交于点，作，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
1 / 1浙江省浙共体2026年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．2026的相反数是（　　）
A． B． C． D．2026
2．已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
A．30° B．60° C．70° D．150°
3．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
4．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
5．已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
6．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．某中学八年级举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（　　）
A．该校八年级学生有1200人
B．80-89分段的人数是300人
C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108°
D．59分及以下的人数最少
9．如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．y的最小值为64
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
12．不等式组的解集是　 　．
13．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是　 　米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
14．现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　 　．
15．已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为　 　．
16．如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
18．解分式方程：
19．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
（1）求证：；
（2）求证：．
20．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
使用次数
人数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是______，众数是______；
（2）若该校某天有名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
（2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
22．如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，）
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长．
（3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围．
24．如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求．
（3）如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数符号相反且绝对值相等，
∴的相反数是，
故选：．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384 000=3.84×105．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A．
【分析】根据面动成体，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线作为旋转轴，而另一条直角边和斜边在旋转的过程中分别形成圆锥的底面半径和母线，据此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故答案为：C．
【分析】位似图形对应边的比就是位似比，据此求出△COD与△AOB的位似比为3∶1，进而根据在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此可得答案.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，琎价为y钱，
由题意得
故答案为：B.
【分析】由“ 每人出钱，会多出4钱 ”可列方程；由“ 每人出钱，又差了3钱 ”可列方程为，联立两方程即可.
8．【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；数形结合
【解析】【解答】解：A、条形统计图中C所占的人数为300人，扇形统计图中C所占的百分比为，故该校八年级的总人数为：（人），故此选项错误；
B、由扇形统计图中D所占的百分比为，D所对应的人数为（人），故此选项错误；
C、，即“70-79分”部分所对应的圆心角的度数为 ，故此选项正确；
D、由条形统计图得B分数段人数为200人，C分数段人数为300人，E分数段人数为50人，由B选项得D分数段人数为350人，则A分数段人数为1000×10％=100人，故E分数段人数最少，故此选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据统计图表提供的信息，用C分数段的人数除以其所占的百分比即可求出该校八年级的总人数，从而即可判断A选项；用该校八年级学生总人数乘以D分数段人数所占的百分比，即可求出D分数段的人数，从而可判断B选项；用360°乘以C分数段人数所占百分比即可求出在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数，从而可判断C选项；求出各分数段人数，再比较即可判断D选项.
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，
由题意知，
，，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
设，
则，
，
与的长之比为，
，
，
，
菱形中，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG；由同圆半径相等得AD=AF=AG=AE=AB=2，由等边对等角及菱形对角相等得∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD，从而用“AAS”证△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠DAF，设， 根据三角形内角和定理及圆心角、弧弦的关系得， 由三角形内角和定理得，由菱形对角线平分一组对角，可得，，由菱形对角线互相垂直及直角三角形两锐角互余得，代入求解可得，最后利用弧长公式计算即可．
10．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一；数形结合
【解析】【解答】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故答案为：B ．
【分析】由于图象经过点P(0，100) ，可知当x=0时，点A与点E重合，此时AE=0，DE=AD，则y=DE2=100，故AD=10，结合中点定义得AB=20；由图象经过点N(n-9，100)，得当x=n-9时，AE=n-9，y=DE2=100，故DE=10，故△ADE是等腰三角形；过点D作DF⊥AC于点F，由等腰三角形的三线合一得出AF=，在Rt△ADF中，由余弦函数定义求出；由图象最高点M(n，m)，由于当E与点C重合时，DE最大，故AE=AC=n，y=DC2=m，在Rt△ABC中，由余弦函数定义得，则可列出方程 ，求解得出符合题意的n为25，可判断C选项；则AC=25，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由∠A的余弦函数值及特殊锐角三角函数值可判断A选项；在Rt△BDC中，由勾股定理算出DC2得出m的值，可判断B选项；根据垂线段最短得出当DE⊥AC，即点E与点F重合时，DE最小，即y=DE2最小，此时AF=，进而在Rt△ADF中，利用勾股定理算出DF2即可判断D选项.
11．【答案】1
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：1．
【分析】由二次根式性质“”及一个负数的绝对值等于其相反数分别化简，再计算有理数的减法得出答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：.
【分析】根据解不等式的步骤“移项、合并同类项及系数化为1”分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．【答案】89.28
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【解答】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，由正切函数的定义及∠CAD的正切函数值可求出CD，在Rt△ADB中， 由正切函数的定义及∠BAD的正切函数值可求出BD的长，最后根据BC=BD+CD可得答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8；
所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种；
因此概率为：．
故答案为：．
【分析】
通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率．
15．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在直线上，
∴-m+5=n，
∴m+n=5；
∵点在双曲线上，
∴，
∴mn=-2，
∴，
故答案为：29．
【分析】根据函数图象上点的坐标特点将点P(m，n)分别代入y=-x+5与可得m+n=5，mn=-2，然后利用完全平方公式可将待求式子变形为(m+n)2-2mn，从而整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】分别过A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，设AC、BD交于点G，则，由同底等高三角形面积相等可得，从而结合对顶角相等，利用“AAS”证明△AGE≌△CGF，由全等三角形的对应边相等可得CG=AG；由等边对等角及同弧所对的圆周角相等可推出∠BDC=∠DBC=∠CAD，结合公共角∠ACD=∠DCG，由有两组角相等的两个三角形相似得出△CDG∽△CAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC的长.
17．【答案】解：
；
当时，
原式
=24．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果，根据含乘方的有理数混合运算的运算顺序计算即可.
18．【答案】解：
∴
解得：
当时，
∴是原方程的增根，原方程无解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母3(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程（注意左边的整式"-1”也要乘以最简公分母，不能漏乘），然后解整式方程求出x的值，进而检验即可得出原方程根的情况.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据垂直定义得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等证明，进而可依据“”判定；
（2）根据全等三角形对应边相等得，，然后再根据线段和差、等量代换即可得出结论.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1），
（2）解：（名），
答：估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数约为名．
【知识点】统计表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，众数是，
故答案为：，；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此结合统计表提供的信息解答即可；
（2）用该校某天出行学生的总人数乘以样本中总人数乘样本中4次及4次以上的学生人数所占比例即可估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数.
（1）解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，众数是，
故答案为：，；
（2）解：（名），
答：估计这天使用共享单车的次数在次及次以上的学生人数约为名．
21．【答案】（1）①两；②7；③27
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数，
故答案为：两；
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
故答案为：7；
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
故答案为：27；
【分析】（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）通过题干给出的例子，首先通过分析数的范围来确定立方根的位数，再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字，最后通过比较立方数的大小确定立方根的十位数字.
（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
22．【答案】（1）证明：连接
∵与相切，
∴
∴∠OEC=90°，
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴平分；
（2）解：∵AD=8，
∴OE=AO=OD=4，
作如图所示：
∴∠OFB=90°，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴
∵
∴
∴.
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-证明问题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先由圆的切线垂直经过切点的半径得OE⊥BC，从而根据同位角相等，两直线平行得出OE∥AB，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出∠BAE=∠OEA=∠OAE，从而根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥AB，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形OEBF是矩形，由矩形对边相等得OE=BF=4，BE=OF，由线段和差算出AF，在Rt△AFO中，利用勾股定理算出OF即可得出BE的长.
（1）证明：连接
∵与相切，
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴平分；
（2）解：作如图所示：
∵，
∴
∵，
∴四边形为矩形，
∴
∵
∴
∴.
23．【答案】（1）解：当时，抛物线为.
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向下平移个单位后为，
令，即，
，
解得或，
抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
当时，取到最大值为，
当时，取到最小值，最小值为，
的最大值与最小值之差为，
，
化简得：，即，
，
，
，
.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将a=-1代入抛物线y=ax2-4ax+3a+1，再将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据抛物线的平移的特征“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式为y=ax2-4ax+3a，令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（3）将抛物线y=ax2-4ax+3a+1化为顶点式，得到对称轴直线为x=2，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可．
（1）解：当时，抛物线为.
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向下平移个单位后为，
令，即，
，
解得或，
抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
当时，取到最大值为，
当时，取到最小值，最小值为，
的最大值与最小值之差为，
，
化简得：，即，
，
，
，
.
24．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
（3）解：过点作的平行线交于点，作，
，
∵CG⊥AE，EN⊥AM，
∴，
，
，
，
∵AM∥BC，
∴，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质可得，从而用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得，进而利用角的构成及等量减去等量差相等可得结论；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由全等三角形的对应边相等得AE=CE=6，由等边对等角得∠EAC=∠ACB，结合顶角相等的两个等腰三角形的底角相等推出∠ABC=∠ACB，由等角对等边得AB=AC，由等腰三角形三线合一得到，进而求得EF，根据勾股定理依次求得AF和AC的长即可；
（3）过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM于点M，由二直线平行，内错角相等得∠CEG=∠EAN，由垂直定义得∠CGE=∠ENA=90°，从而利用“AAS”证明△CEG≌△EAN，由全等三角形的对应边相等得到EG=AN；由二直线平行，内错角相等及，可推出∠EMA=∠EAM，根据等角对等边证得，由等腰三角形的三线合一得出AM=2AN；由二直线平行，内错角相等、等边对等角及对顶角相等证得，由等角对等边得AM=MD，由直角三角形两锐角互余、角的构成及等角的余角相等推出∠F=∠FAM，由等角对等边得MF=MA，则可推出FD=2AM=4AN，从而即可求出两条线段的比值.
（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
（3）解：过点作的平行线交于点，作，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
1 / 1

展开更多......

收起↑