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湖南省湖南省湘潭市、株洲市部分学校2026年中考一模数学试题
1．下列四个数中，其中最大的数是（　　）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数是．
故
【分析】
先估算各数的大致范围，再根据整数大于0、0大于负数的原则比较大小，得出最大数即可．
2．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
故答案为D
【分析】
根据中心对称图形的概念(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合)，对各选项逐一进行判断即可．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断即可．
4．根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵把改写为时，小数点向左移动了位，
∴．
故答案为：C
【分析】
将431840000000用科学记数法表示出来，其中，为整数．
5．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
6．为了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行检查，这种调查方式是(　　)
A．全面调查 B．抽样调查 C．重点调查 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵总体是该校八年级全体学生的视力情况，
此次调查是从总体中随机抽取100名学生（部分个体）进行检查，符合抽样调查的定义，
∴这种调查方式是抽样调查，
故答案为：B .
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可．
7．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一性质，得到BD=AD，从而将的周长转化为BC+AC，结合周长即可求解．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
即点F是边的中点，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
【分析】
利用矩形对角线相等且互相平分的性质求出OA和OD的长，再根据已知条件，推导出点F是线段AO的中点，从而判断EF为的中位线，最后利用三角形中位线定理求出EF的长．
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点都在图象上，且，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，即当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，故Ａ错误，Ｂ正确.
∵将代入，得
∴图象不经过点，故C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出
∴D错误．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合，可得其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，即可判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项得答案.
10．如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：B．
【分析】
如图在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，根据圆周角定理可知，圆心角是圆周角的2倍，最后根据弧长公式求解即可．
11．若分式有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义时，分母不能为零，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】
首先确定分式有意义的条件，保证分母不为零，由此列出不等式即可求解．
12．若 则 　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴．
故答案为： .
【分析】设，代入分式计算即可．
13．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ，则 的度数为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】
根据折叠前后图形关于折痕对称，可得对应角相等，再根据平角的定义即可解答．
14．因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．若，则　 　
【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】
由题意可得a-2=0，b+3=0，所以a=2，b=-3，ab=-6
故
【分析】
根据绝对值和平方数的非负性列方程求出a、b的值，最后计算ab的乘积即可.
16．学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为　 　．
【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】
先作出点C关于AB对称点C'，再分别求出直线BC'与直线AC'的解析式，进而得到坐标，确定点E纵坐标的取值范围，最后根据整点的概念确定点E是整点的个数.
17．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
18．先化简，再求值： 其中a=2， b=3.
【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算即可．
19．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，利用平行线ADBC和等腰三角形AB=AD的性质，推导出和的度数，进而结合为等腰三角形求出，最后通过角度计算证明=90°；
（2）根据第（1）问的结论求出，进而求出圆心角的度数，在通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出的底边和高，计算三角形的面积，最后相减得出结论.
20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率
【答案】（1）20，
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：
故答案为：20，；
【分析】
（1）已知有4名学生参加夏令营的班级个数为6个，且其所占比例为30％，根据“总数=部分数量su所占比例”可求出班级总数；根据参加夏令营学生人数为5名所占的比例，根据“扇形圆心角度数公式即可求解；
（2）利用总数算出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，根据数据补全条形统计图即可；
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画出树状图，得到所有可能结果，找出两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，最后利用概率公式求解，即可解题．
（1）解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：20，；
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
21．为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点.若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元.
（1）求每个A 型停放架和B型停放架的单价；
（2）该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个.
【答案】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．
根据题意，得方程组：
解得：
答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元．
（2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．
根据题意，得不等式：
化简：
解得
答：最多可以购买A型停放架3个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．根据“购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元”列二元一次方程组并，求出x和y的值即可；
（2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．根据“购买总费用不超过3000元”列一元一次不等式，求出m的取值范围，得到最大整数解即可．
22．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，．
（1）求拉绳的长；
（2）如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；

（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角函数得出，进而求出DE的长；
（2）由题意可得和，再利用勾股定理计算即可得解．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．
23．综合与实践
在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
（1）观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则____________，，，之间的数量关系是____________；
（2）类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，．
①__________；
②写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）60，
（2）①90；
②由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
【分析】
（1）根据旋转的性质可知，进而可得，再利用全等三角形的判定可证明，即可得出，，最后根据菱形的性质即可得出；
（2）①过点F作的延长线于H，证明，推出，进而证明是等腰直角三角形，可得，即可得到；
②由①可得，是等腰直角三角形，得到，表示出，然后结合求解即可；
（3）首先过点A作于G，过点E作于H，根据圆内接思安变形的性质、对角互补，证明出C、D、F在同一条直线上，然后根据相似三角形的判定可得到，可得，进而推出，接着设，则，，用含x的式子表示出的三条边长，分，两种情况，分别求解即可．
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．

（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．

（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；线段上的两点间的距离；三角形全等的判定；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用对称轴公式和已知点坐标，联立解方程组即可得；
（2）先求出直线的解析式为，则，利用二次函数的性质求出PM最大值时P点，然后利用平移加对称，将折线段BF+GE转化为两点之间线段最短，由此即可得；
（3）根据平移规律先求出新抛物线的解析式为，则，，利用=45°结合斜率公式或几何性质用待定系数法求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式可得的值，由此即可得．
（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
1 / 1湖南省湖南省湘潭市、株洲市部分学校2026年中考一模数学试题
1．下列四个数中，其中最大的数是（　　）
A．3 B． C． D．0
2．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
6．为了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行检查，这种调查方式是(　　)
A．全面调查 B．抽样调查 C．重点调查 D．以上都不对
7．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点都在图象上，且，则
10．如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．若分式有意义，则的取值范围为　 　．
12．若 则 　 　.
13．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ，则 的度数为　 　．
14．因式分解：　 　．
15．若，则　 　
16．学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值： 其中a=2， b=3.
19．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率
21．为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点.若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元.
（1）求每个A 型停放架和B型停放架的单价；
（2）该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个.
22．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，．
（1）求拉绳的长；
（2）如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号）
23．综合与实践
在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
（1）观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则____________，，，之间的数量关系是____________；
（2）类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，．
①__________；
②写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数是．
故
【分析】
先估算各数的大致范围，再根据整数大于0、0大于负数的原则比较大小，得出最大数即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
故答案为D
【分析】
根据中心对称图形的概念(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合)，对各选项逐一进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断即可．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵把改写为时，小数点向左移动了位，
∴．
故答案为：C
【分析】
将431840000000用科学记数法表示出来，其中，为整数．
5．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵总体是该校八年级全体学生的视力情况，
此次调查是从总体中随机抽取100名学生（部分个体）进行检查，符合抽样调查的定义，
∴这种调查方式是抽样调查，
故答案为：B .
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一性质，得到BD=AD，从而将的周长转化为BC+AC，结合周长即可求解．
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
即点F是边的中点，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
【分析】
利用矩形对角线相等且互相平分的性质求出OA和OD的长，再根据已知条件，推导出点F是线段AO的中点，从而判断EF为的中位线，最后利用三角形中位线定理求出EF的长．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，即当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，故Ａ错误，Ｂ正确.
∵将代入，得
∴图象不经过点，故C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出
∴D错误．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合，可得其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，即可判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项得答案.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：B．
【分析】
如图在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，根据圆周角定理可知，圆心角是圆周角的2倍，最后根据弧长公式求解即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义时，分母不能为零，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】
首先确定分式有意义的条件，保证分母不为零，由此列出不等式即可求解．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴．
故答案为： .
【分析】设，代入分式计算即可．
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】
根据折叠前后图形关于折痕对称，可得对应角相等，再根据平角的定义即可解答．
14．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】
由题意可得a-2=0，b+3=0，所以a=2，b=-3，ab=-6
故
【分析】
根据绝对值和平方数的非负性列方程求出a、b的值，最后计算ab的乘积即可.
16．【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】
先作出点C关于AB对称点C'，再分别求出直线BC'与直线AC'的解析式，进而得到坐标，确定点E纵坐标的取值范围，最后根据整点的概念确定点E是整点的个数.
17．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值，然后再进行加减运算即可．
18．【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算即可．
19．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，利用平行线ADBC和等腰三角形AB=AD的性质，推导出和的度数，进而结合为等腰三角形求出，最后通过角度计算证明=90°；
（2）根据第（1）问的结论求出，进而求出圆心角的度数，在通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出的底边和高，计算三角形的面积，最后相减得出结论.
20．【答案】（1）20，
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：
故答案为：20，；
【分析】
（1）已知有4名学生参加夏令营的班级个数为6个，且其所占比例为30％，根据“总数=部分数量su所占比例”可求出班级总数；根据参加夏令营学生人数为5名所占的比例，根据“扇形圆心角度数公式即可求解；
（2）利用总数算出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，根据数据补全条形统计图即可；
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画出树状图，得到所有可能结果，找出两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，最后利用概率公式求解，即可解题．
（1）解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：20，；
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
21．【答案】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．
根据题意，得方程组：
解得：
答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元．
（2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．
根据题意，得不等式：
化简：
解得
答：最多可以购买A型停放架3个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．根据“购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元”列二元一次方程组并，求出x和y的值即可；
（2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．根据“购买总费用不超过3000元”列一元一次不等式，求出m的取值范围，得到最大整数解即可．
22．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；

（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）首先利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角函数得出，进而求出DE的长；
（2）由题意可得和，再利用勾股定理计算即可得解．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）60，
（2）①90；
②由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
【分析】
（1）根据旋转的性质可知，进而可得，再利用全等三角形的判定可证明，即可得出，，最后根据菱形的性质即可得出；
（2）①过点F作的延长线于H，证明，推出，进而证明是等腰直角三角形，可得，即可得到；
②由①可得，是等腰直角三角形，得到，表示出，然后结合求解即可；
（3）首先过点A作于G，过点E作于H，根据圆内接思安变形的性质、对角互补，证明出C、D、F在同一条直线上，然后根据相似三角形的判定可得到，可得，进而推出，接着设，则，，用含x的式子表示出的三条边长，分，两种情况，分别求解即可．
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．

（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．

（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；线段上的两点间的距离；三角形全等的判定；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用对称轴公式和已知点坐标，联立解方程组即可得；
（2）先求出直线的解析式为，则，利用二次函数的性质求出PM最大值时P点，然后利用平移加对称，将折线段BF+GE转化为两点之间线段最短，由此即可得；
（3）根据平移规律先求出新抛物线的解析式为，则，，利用=45°结合斜率公式或几何性质用待定系数法求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式可得的值，由此即可得．
（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
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