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浙江省宁波市镇海区中兴中学2024-2025学年七年级下学期期末质量检测数学试题
1．如图，的同位角是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不能通过其中一个图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若使某个分式无意义，则这个分式可以是（　　）
A． B． C． D．
6．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天．求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于方程组给出下列结论：
①方程组的解也是的解；
②值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变；
④若，则．
正确的是（　　）
A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①②
9．如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
10．图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
11．因式分解：　 　．
12．已知，，则　 　．
13．某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是　 　．
14．若关于的分式方程有增根，则的值是　 　．
15．现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第个数记为，第（2）组数中从左到右第个数记为，若，则的最大值是　 　．
16．如图，已知，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则　 　．
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值．
20．第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
测试成绩等级标准：
等级 E D C B A
的范围
七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查共抽取了______人；
（2）成绩在分的有______人；
（3）请在图①中补全直方图；
（4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于______度；
（5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人．
21．如图，已知，， 交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．两个边长分别为a和b的正方形如图①放置，其未叠合部分（阴影）的面积为；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图②）、两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为；两个边长分别为a和b的正方形如图③放置，其中A为的中点，阴影部分的面积为．
（1）直接用含a、b的式子分别表示、；
（2）若，．
①求的值；
②求的值．
23．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
24．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可得的同位角是，
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条所截，在截线的同旁，且在被截线的同一方的两个角称为同位角，据此结合图形即可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不能通过其中一个图形平移得到，故本选项符合题意；
B、 此选项中的图形能通过其中一个五边形平移得到，故本选项不符合题意；
C、 此选项中的图形能通过其中一个三边形平移得到，故本选项不符合题意；
D、 此选项中的图形能通过其中一个弓形平移得到，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平移只会改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小及方向即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为，指数n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
B、当时，，分式无意义，故该选项符合题意；
C、 当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
D、当时，，分式有意义，故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】分式的分母为零时，分式无意义，据此将x=-2代入各个选项所给分式的分母，逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合题意可得关于m的方程，解方程即可求解．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A.
【分析】设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天 ”列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得，
∴方程组的解也是的解．故①正确；
②解方程组，得，
当，的值互为相反数时，，
即，
解得
∴当时，，的值互为相反数．故②不正确；
③原方程组的解为
∴，
∴不论取什么实数，的值始终不变，都为．故③正确；
④若，则，
解得．故④正确；
综上，①③④正确．
故选：C.
【分析】将两个方程相加得判断①；用含a的式子表示x和y的值，计算时的的值判断②；代入计算判断③；把方程组的解代入，求出的值判断④解答即可．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，
∴∠ABE=∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，
∴∠BGC+∠CEG=80°，
∴∠ECG=100°，
∴∠ECD=180°-100°=80°．
故答案为：B.
【分析】 延长BE交DC延长线于G，由三角形内角和定理得∠EBF+∠BEF=130°，由角平分线定义得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BGC，结合平角定义可推出∠BGC+∠CEG=80°，由三角形内角和定理得∠ECG=100°，最后再根据邻补角即可求出∠ECD的度数.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d=b-c+a，
∴l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，
S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，
l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b
S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，
∴S2-S1=bc+c2，
l1-l2=2b-2c，
∴bc+c2=() 2，
∴bc+c2=（b-c）2，
∴3bc=b2，
∴b=3c，
∴b：c的值为3，
故答案为：D．
【分析】设大长方形的宽为d，根据图形可得d=b-c+a，利用平移的思想及长方形周长计算公式可得l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b，利用割补法及长方形、正方形面积计算公式得S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，然后根据整式加减运算法则求出S2-S1与l1-l2，然后整体代入题干给出的已知等式，变形整理得b=3c，从而即可求出b与c的比值.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察所给多项式发现各项具有相同因式4x，故先提出公因式4x，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．【答案】200
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：200．
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆用，把待求式子变形为(10x)2×(10y)，再整体代入计算即可得出答案.
13．【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第5组的频率，
第5组的频数，
故答案为：10．
【分析】根据各组频率和为1求出第5组的频率，再用总人数乘以第5组的频率即可得到第5组的频数．
14．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
m=2x-6
由分式方程有增根，得到，即，
将，代入上式得，．
故答案为：．
【分析】分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
15．【答案】43
【知识点】完全平方公式及运用；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵（1）4，6，8，10，12，14，…
∴第（1）组数中从左到右第个数，
∵（2）0，3，8，15，24，35，…
∴第（2）组数中从左到右第个数，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴的最大值是43．
故答案为：43．
【分析】观察两组数的特点发现：第一组数第一个数是4，后一个数依次比前一个数多2，故第（1）组数中从左到右第n个数表示为an=2n+2；第二组数每一个数比一个完全平方数少1，故第（2）组数中从左到右第n个数为bn=n2-1，然后分别代入an+bn＜2024列出不等式，求该不等式的最大整数解即可.
16．【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作，
∵，
∴，
∴，，，
，
∴
，
∴；
当H在的右侧时，如图，
∴，
，
∴；
故答案为：或．
【分析】过点P作QP∥AB交HE于点Q，过点H作LK∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出LK∥AB∥CD∥PQ，当点H在EF左侧时，由平行线的性质及对顶角相等得出∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，∠CFN=∠PFD=∠FPQ，∠AEM=PEB=∠EPQ，根据折叠性质、等量代换及角的构成可得∠LHF+∠KHE=2∠EPF=120°，进而根据平角定义可求出∠EHF的度数；当H在EF的右侧时，由平行线的性质、对顶角相等及折叠性质得∠CFN=∠PFD=∠FPQ=∠C'FN=∠PFH，∠AEM=∠PEB=∠EPQ=∠PEH，最后根据角的构成可求出∠EHF的度数.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的法则“”分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式计算，再根据去括号法则去括号，最后合并同类项即可.
18．【答案】（1）解：
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴ 方程组的解为；
（2）解：去分母，得，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用加减消元法求解即可；
（2）先将分式方程去分母后转化为整式方程，求解并检验即可．
（1）解：
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
19．【答案】解：原式
．
，，
，．
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的整式“1”看成，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法约分化简；最后根据原分式有意义的条件判断出x=0，并将x=0代入化简结果计算即可.
20．【答案】（1）50
（2）12
（3）解：补全直方图如下：
（4）79.2
（5）解：800人），
答：估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为352人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查了：（人），
故答案为：50；
（2）成绩在分的有： （人），
故答案为：12；
（4）扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的大小为：
故答案为：79.2；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用E等级的人数除以其所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数减去其他分数段人数即可计算出成绩在的人数；
（3）根据（2）求出的分数段在85≤x＜90的人数，即可补直方图；
（4）用360°乘以A等级人数所占的百分比即可计算出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数；
（5）用该校七年级学生总人数乘以样本中成绩达到D等级与C等级的人数所占百分比即可估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的人数.
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后根据等量代换得到∠DCE=∠D，进而得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，，即可得到，再根据题意得到，利用平角的定义求得的度数解答即可．
22．【答案】（1）解：，
（2）解：①由（1）得：，，
又，，
；
②是的中点，
，
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：由图①得：，
图②中，阴影部分长为，宽为，
；
【分析】（1）根据图形，利用割补法可得S1=大正方形面积减去小正方形面积，结合正方形面积公式可表示出S1；根据图形，可得S2的长为b，宽为(2b-a)，然后结合长方形面积公式可表示出S2；
（2）①根据整式加法法则将（1）中所得结果相加，然后利用配方法将所得和变形为(a+b)2-3ab，从而整体代入计算可得答案；
②由中点定义可得，结合图形得S3=边长为a的正方形面积+边长为b的正方形面积再减去两直角三角形面积，进而结合正方形及直角三角形面积公式列式表示出S3，通分计算后利用配方法变形为，从而整体代入计算可得答案.
（1）解：由图①得：，
图②中，阴影部分长为，宽为，
；
（2）解：①由（1）得：，，
又，，
；
②是的中点，
，
．
23．【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
24．【答案】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
理由：如图②中，设．
，
，
，，
，
，
，
过点G作PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，
，
，
；
（3）或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：过点F作直线FK∥CD，
由（1）可得，，，
根据条件可得，，
①当时，
或，
解得；
②当时，
或，
解得或60；
③当时，
或，
解得或42；
综上，或或或或.
【分析】（1）由邻补角求出∠GEH=60°，由角的构成求出∠FEH=30°，∠DEH=50°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠DEH=50°，最后再根据角的构成，求出∠AHN的度数；
（2）∠DEF-∠AHG=5°，理由如下：设∠DEF=x，由平角定义得出∠CEG=90°-x，由角的构成得∠FGH=40°，∠EGH=85°，过点G作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等得∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，根据角的构成及等量代换得出∠EGH=∠AHG+∠CEG=85°，则∠AHG=x-5°，从而可得结论；
（3）过点F作FK∥CD，根据（1）可得，，，由角的构成及旋转的性质得出∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠GFK=155°+3t°，然后进而分类讨论：①NH∥GF时，②当NH∥EF时，③当NH∥GE时，分别根据平行线的性质建立方程，解方程即可求解．
1 / 1浙江省宁波市镇海区中兴中学2024-2025学年七年级下学期期末质量检测数学试题
1．如图，的同位角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义可得的同位角是，
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条所截，在截线的同旁，且在被截线的同一方的两个角称为同位角，据此结合图形即可判断得出答案.
2．下列图形中，不能通过其中一个图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不能通过其中一个图形平移得到，故本选项符合题意；
B、 此选项中的图形能通过其中一个五边形平移得到，故本选项不符合题意；
C、 此选项中的图形能通过其中一个三边形平移得到，故本选项不符合题意；
D、 此选项中的图形能通过其中一个弓形平移得到，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平移只会改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小及方向即可逐一判断得出答案.
3．在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为，指数n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
4．下列运算一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．若使某个分式无意义，则这个分式可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
B、当时，，分式无意义，故该选项符合题意；
C、 当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
D、当时，，分式有意义，故该选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】分式的分母为零时，分式无意义，据此将x=-2代入各个选项所给分式的分母，逐一判断即可.
6．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合题意可得关于m的方程，解方程即可求解．
7．为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天．求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A.
【分析】设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天 ”列出方程即可.
8．已知关于方程组给出下列结论：
①方程组的解也是的解；
②值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变；
④若，则．
正确的是（　　）
A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①②
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得，
∴方程组的解也是的解．故①正确；
②解方程组，得，
当，的值互为相反数时，，
即，
解得
∴当时，，的值互为相反数．故②不正确；
③原方程组的解为
∴，
∴不论取什么实数，的值始终不变，都为．故③正确；
④若，则，
解得．故④正确；
综上，①③④正确．
故选：C.
【分析】将两个方程相加得判断①；用含a的式子表示x和y的值，计算时的的值判断②；代入计算判断③；把方程组的解代入，求出的值判断④解答即可．
9．如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，
∴∠ABE=∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，
∴∠BGC+∠CEG=80°，
∴∠ECG=100°，
∴∠ECD=180°-100°=80°．
故答案为：B.
【分析】 延长BE交DC延长线于G，由三角形内角和定理得∠EBF+∠BEF=130°，由角平分线定义得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BGC，结合平角定义可推出∠BGC+∠CEG=80°，由三角形内角和定理得∠ECG=100°，最后再根据邻补角即可求出∠ECD的度数.
10．图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d=b-c+a，
∴l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，
S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，
l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b
S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，
∴S2-S1=bc+c2，
l1-l2=2b-2c，
∴bc+c2=() 2，
∴bc+c2=（b-c）2，
∴3bc=b2，
∴b=3c，
∴b：c的值为3，
故答案为：D．
【分析】设大长方形的宽为d，根据图形可得d=b-c+a，利用平移的思想及长方形周长计算公式可得l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b，利用割补法及长方形、正方形面积计算公式得S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，然后根据整式加减运算法则求出S2-S1与l1-l2，然后整体代入题干给出的已知等式，变形整理得b=3c，从而即可求出b与c的比值.
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察所给多项式发现各项具有相同因式4x，故先提出公因式4x，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
12．已知，，则　 　．
【答案】200
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：200．
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆用，把待求式子变形为(10x)2×(10y)，再整体代入计算即可得出答案.
13．某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是　 　．
【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第5组的频率，
第5组的频数，
故答案为：10．
【分析】根据各组频率和为1求出第5组的频率，再用总人数乘以第5组的频率即可得到第5组的频数．
14．若关于的分式方程有增根，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
m=2x-6
由分式方程有增根，得到，即，
将，代入上式得，．
故答案为：．
【分析】分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
15．现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第个数记为，第（2）组数中从左到右第个数记为，若，则的最大值是　 　．
【答案】43
【知识点】完全平方公式及运用；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵（1）4，6，8，10，12，14，…
∴第（1）组数中从左到右第个数，
∵（2）0，3，8，15，24，35，…
∴第（2）组数中从左到右第个数，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴的最大值是43．
故答案为：43．
【分析】观察两组数的特点发现：第一组数第一个数是4，后一个数依次比前一个数多2，故第（1）组数中从左到右第n个数表示为an=2n+2；第二组数每一个数比一个完全平方数少1，故第（2）组数中从左到右第n个数为bn=n2-1，然后分别代入an+bn＜2024列出不等式，求该不等式的最大整数解即可.
16．如图，已知，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则　 　．
【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作，
∵，
∴，
∴，，，
，
∴
，
∴；
当H在的右侧时，如图，
∴，
，
∴；
故答案为：或．
【分析】过点P作QP∥AB交HE于点Q，过点H作LK∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出LK∥AB∥CD∥PQ，当点H在EF左侧时，由平行线的性质及对顶角相等得出∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，∠CFN=∠PFD=∠FPQ，∠AEM=PEB=∠EPQ，根据折叠性质、等量代换及角的构成可得∠LHF+∠KHE=2∠EPF=120°，进而根据平角定义可求出∠EHF的度数；当H在EF的右侧时，由平行线的性质、对顶角相等及折叠性质得∠CFN=∠PFD=∠FPQ=∠C'FN=∠PFH，∠AEM=∠PEB=∠EPQ=∠PEH，最后根据角的构成可求出∠EHF的度数.
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的法则“”分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式计算，再根据去括号法则去括号，最后合并同类项即可.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴ 方程组的解为；
（2）解：去分母，得，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用加减消元法求解即可；
（2）先将分式方程去分母后转化为整式方程，求解并检验即可．
（1）解：
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
19．先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
．
，，
，．
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的整式“1”看成，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法约分化简；最后根据原分式有意义的条件判断出x=0，并将x=0代入化简结果计算即可.
20．第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
测试成绩等级标准：
等级 E D C B A
的范围
七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查共抽取了______人；
（2）成绩在分的有______人；
（3）请在图①中补全直方图；
（4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于______度；
（5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人．
【答案】（1）50
（2）12
（3）解：补全直方图如下：
（4）79.2
（5）解：800人），
答：估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为352人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查了：（人），
故答案为：50；
（2）成绩在分的有： （人），
故答案为：12；
（4）扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的大小为：
故答案为：79.2；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用E等级的人数除以其所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数减去其他分数段人数即可计算出成绩在的人数；
（3）根据（2）求出的分数段在85≤x＜90的人数，即可补直方图；
（4）用360°乘以A等级人数所占的百分比即可计算出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数；
（5）用该校七年级学生总人数乘以样本中成绩达到D等级与C等级的人数所占百分比即可估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的人数.
21．如图，已知，， 交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后根据等量代换得到∠DCE=∠D，进而得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，，即可得到，再根据题意得到，利用平角的定义求得的度数解答即可．
22．两个边长分别为a和b的正方形如图①放置，其未叠合部分（阴影）的面积为；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图②）、两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为；两个边长分别为a和b的正方形如图③放置，其中A为的中点，阴影部分的面积为．
（1）直接用含a、b的式子分别表示、；
（2）若，．
①求的值；
②求的值．
【答案】（1）解：，
（2）解：①由（1）得：，，
又，，
；
②是的中点，
，
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：由图①得：，
图②中，阴影部分长为，宽为，
；
【分析】（1）根据图形，利用割补法可得S1=大正方形面积减去小正方形面积，结合正方形面积公式可表示出S1；根据图形，可得S2的长为b，宽为(2b-a)，然后结合长方形面积公式可表示出S2；
（2）①根据整式加法法则将（1）中所得结果相加，然后利用配方法将所得和变形为(a+b)2-3ab，从而整体代入计算可得答案；
②由中点定义可得，结合图形得S3=边长为a的正方形面积+边长为b的正方形面积再减去两直角三角形面积，进而结合正方形及直角三角形面积公式列式表示出S3，通分计算后利用配方法变形为，从而整体代入计算可得答案.
（1）解：由图①得：，
图②中，阴影部分长为，宽为，
；
（2）解：①由（1）得：，，
又，，
；
②是的中点，
，
．
23．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
24．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
【答案】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
理由：如图②中，设．
，
，
，，
，
，
，
过点G作PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，
，
，
；
（3）或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：过点F作直线FK∥CD，
由（1）可得，，，
根据条件可得，，
①当时，
或，
解得；
②当时，
或，
解得或60；
③当时，
或，
解得或42；
综上，或或或或.
【分析】（1）由邻补角求出∠GEH=60°，由角的构成求出∠FEH=30°，∠DEH=50°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠DEH=50°，最后再根据角的构成，求出∠AHN的度数；
（2）∠DEF-∠AHG=5°，理由如下：设∠DEF=x，由平角定义得出∠CEG=90°-x，由角的构成得∠FGH=40°，∠EGH=85°，过点G作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等得∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，根据角的构成及等量代换得出∠EGH=∠AHG+∠CEG=85°，则∠AHG=x-5°，从而可得结论；
（3）过点F作FK∥CD，根据（1）可得，，，由角的构成及旋转的性质得出∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠GFK=155°+3t°，然后进而分类讨论：①NH∥GF时，②当NH∥EF时，③当NH∥GE时，分别根据平行线的性质建立方程，解方程即可求解．
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