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2026年湖南长沙市一中教育集团九年级下学期中考一模（期中）数学试题
1．年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．截至 2025 年 12 月 30 日，《疯狂动物城 2》的全球总票房约为4 152 000 000元，数“4 152 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差，则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据的众数是7
6．用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　）
A． B． C． D．
7．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
8．如图，直线，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（　　）
A． B．5 C． D．8
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12． 分解因式：　 　．
13．为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1 200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目.根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有　 　名.
14．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
15．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为　 　．
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形，且．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时的长度为　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：其中x=2，y=
19．如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
20．2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）初三（1）班总人数为________人，________；
（2）射中“1次”对应的扇形圆心角为________；
（3）在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率．
21．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
22．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
23．2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计．
（1）求攀登难点N的高度（即的长）；
（2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）．
24．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”．
例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”．
（1）①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________．
（2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值；
（3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围．
25．如图1，是的内接三角形，点A为劣弧的中点，直径，弦，点P为射线上一点，点E为弧上一动点，与交于点D，连接与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）设，且．
①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）；
②如图2，若与交于点Q，作于点H，交于点M，当时，求x的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：向上攀登米记作米，则向下行走米应记作米．
故
【分析】
先确定正方向（向上为正），再根据相反方向确定符号即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是
故答案为：B
【分析】
根据正六棱柱的摆放位置（正面正对一个侧面），准确判断从左侧观察时看到的面的数量和排列形状.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41.52亿=4152000000=4.152×109.
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 故选项不符合题意；
故选项不符合题意；
故选项符合题意；
故选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和合并同类项法则逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：选项A：抛掷质地均匀硬币时，“正面向上”是随机事件，∴抛掷100次不一定有50次“正面向上”，A错误；
选项B：方差越大，数据波动越大，成绩稳定性越差，已知，∴乙的成绩比甲更稳定，B错误；
选项C：我国初三学生总体数量大，了解身高情况适合抽样调查，不需要采用全面调查，∴C错误；
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中出现的次数最多，为次，∴众数是，D正确．
故答案为：D
【分析】
理解概率是对事件发生可能性大小，方差是用来衡量一组数据波动的大小，全面调查和抽样调查的适用场景，及众数的定义.
6．【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵的3倍可表示为，
∴的3倍与的差可表示为，
∴ 上述差的一半可表示为，
则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为．
故答案为：B
【分析】
先求出a的3倍，再求该结果与b的差，最后取差的一半即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B.
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），再利用三角形内角和为180°求解即可.
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，的弦于点E，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】
利用垂径定理得到弧相等，进而得到圆心角相等，最后利用圆周角定理求解角度.
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，，，
∴
，
∵代数式为定值，
∴，解得，
故选：C ．
【分析】
利用日历中横向相邻数相差1，纵向相邻数差7的规律，用用一个字母表示出其他三个字母，然后代入代数式化简，最后根据代数式的值为定值求出m的值.
11．【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为.
【分析】首先提公因式a，再利用平方差公式即可解得答案。
13．【答案】960
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得，抽取的150名学生中，至少参加三项
趣味数学项目学生的频率为：
因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项
目的学生人数为：1200×0.8=960，
故答案为： 960.
【分析】先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数1200乘以该频率解答即可.
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
15．【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是，且多边形的外角和为，
∴多边形的边数是：，
故答案为：十二．
【分析】
利用多边形的外角和是，用外角和除以每个外角的度数即可得到多边形的边数.
16．【答案】或
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∵，将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形可视为绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：，
∴，
由旋转性质得：，；
当点Q在线段上，如图1所示；
则，
∴；
点Q在线段的延长线上，如图2所示；
∵，
∴；
综上，的长为或．
【分析】
先求出正方形对角线BD和等腰直角三角形直角边BP，PQ的长，再利用勾股定理求出PD的长，最后根据点Q在线段PD上或DP的延长线上两种情况进行分类讨论.
17．【答案】原式
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算算术平方根、去绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可.
18．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值计算即可.
19．【答案】（1）证明：连接，
由作图知，，
在与中，
，
，
平分．
（2）解：过点D作交于点H．
，
，
平分，
，
在中，，
在中，，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图知，然后根据全等三角形的判定，证明与全等，进而证明平分．
（2）根据已知条件和（1）中结论可求出和的度数；然后在和中，利用直角三角形的边角关系求出、的长度，最后根据面积公式求解即可.
20．【答案】（1）；
（2）
（3）解：列表法如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1、男2 男1、男3 男1、女
男2 男2、男1 男2、男3 男2、女
男3 男3、男1 男3、男2 男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种，
，
答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：初三（1）班的学生人数为（人），
射中3次的比例为，所以；
（2）
解：扇形统计图中“1次”的比例为，
对应的圆心角的度数为；
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图中射中0次的人数除以所占百分数求出总人数，再用射中3次的人数除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）用射中“1次”的人数除以总人数即可求出所占的百分数，利用射中“1次”的圆心角度数射中“1次”的百分数计算即可；
（3）列表表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到1名女生和1名男生的情况数，利用概率公式求解．
（1）解：初三（1）班的学生人数为（人），
射中3次的比例为，所以；
（2）解：扇形统计图中“1次”的比例为，
对应的圆心角的度数为；
（3）解：列表法如下：
男1 男2 男3 女
男1
男1、男2 男1、男3 男1、女
男2 男2、男1
男2、男3 男2、女
男3 男3、男1 男3、男2
男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种，
，
答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是．
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明；
（2）首先根据已知条件和等角对等边的性质可得BE=BF，由（1）结论接得BDF，AE=CF，通过等量代换可得出BE=BF=DF，然后再利用平行四边形的对角线互相平分这一性质可证明.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴四边形是菱形．
22．【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题目中的购买总价关系列出方程组进行求解即可；
（2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可.
（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
23．【答案】（1）解：∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，交于点，
又，
∴四边形是矩形．
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得．
故观察点B的铅直高度为米．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用正切函数定义，由AM的长和的度数直接求出MN的长；
（2）通过作辅助线，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可.
（1）解：∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，交于点，
又，
∴四边形是矩形．
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得．
故观察点B的铅直高度为米．
24．【答案】（1）①2；②3或
（2）解：∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解： 二次函数，开口向下，对称轴为，，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．

【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】
（1）
根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
①∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
②∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
【分析】
（1）①因为要判断一次函数是“拉伸函数”，所以先根据一次函数的单调性，求出时的取值范围，再代入计算的值．
②因为一次函数的系数的正负会影响单调性，所以分和两种情况，分别求出时的取值范围，再代入求解的值．
（2）因为且，先求出此时的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到等式，结合 ，利用完全平方公式求的值．
（3）先确定二次函数的对称轴为，因为对称轴位置会影响时函数的最值，所以分对称轴在的左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出每种情况下的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到关于的表达式，最后求的取值范围．
（1）根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
①∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
②∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
（2）∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）二次函数，开口向下，对称轴为，，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．
25．【答案】（1）证明：点A为劣弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：如图1，连接，
，
，，
∵直径为，
半径为5，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
在中，，
，
，
，
；

（3）解：①由（2）得，
，且两三角形同高，
，
设，
由（2）得，
，
，
，
；
②如图2，过点M作于T，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
设，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
，
解得，
经检验是原方程的根，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等及公共角可证明；
（2）利用面积比转化为线段AG：AE，结合相似三角形性质求出AB的长，进而利用三角函数求出的度数；
（3）①可得，设，由（2）得，则，由勾股定理可得，则；
②分别用的三角函数表示S△CDM和S△ABQ ，利用已知面积关系建立方程求解即可.
（1）证明：点A为劣弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：如图1，连接，
，
，，
∵直径为，
半径为5，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：①由（2）得，
，且两三角形同高，
，
设，
由（2）得，
，
，
，
；
②如图2，过点M作于T，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
设，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
，
解得，
经检验是原方程的根，
．
1 / 12026年湖南长沙市一中教育集团九年级下学期中考一模（期中）数学试题
1．年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：向上攀登米记作米，则向下行走米应记作米．
故
【分析】
先确定正方向（向上为正），再根据相反方向确定符号即可.
2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是
故答案为：B
【分析】
根据正六棱柱的摆放位置（正面正对一个侧面），准确判断从左侧观察时看到的面的数量和排列形状.
3．截至 2025 年 12 月 30 日，《疯狂动物城 2》的全球总票房约为4 152 000 000元，数“4 152 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41.52亿=4152000000=4.152×109.
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 故选项不符合题意；
故选项不符合题意；
故选项符合题意；
故选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和合并同类项法则逐项判断即可.
5．下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差，则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据的众数是7
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：选项A：抛掷质地均匀硬币时，“正面向上”是随机事件，∴抛掷100次不一定有50次“正面向上”，A错误；
选项B：方差越大，数据波动越大，成绩稳定性越差，已知，∴乙的成绩比甲更稳定，B错误；
选项C：我国初三学生总体数量大，了解身高情况适合抽样调查，不需要采用全面调查，∴C错误；
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中出现的次数最多，为次，∴众数是，D正确．
故答案为：D
【分析】
理解概率是对事件发生可能性大小，方差是用来衡量一组数据波动的大小，全面调查和抽样调查的适用场景，及众数的定义.
6．用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵的3倍可表示为，
∴的3倍与的差可表示为，
∴ 上述差的一半可表示为，
则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为．
故答案为：B
【分析】
先求出a的3倍，再求该结果与b的差，最后取差的一半即可.
7．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
8．如图，直线，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B.
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），再利用三角形内角和为180°求解即可.
9．如图，已知是的直径，的弦于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，的弦于点E，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】
利用垂径定理得到弧相等，进而得到圆心角相等，最后利用圆周角定理求解角度.
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（　　）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，，，
∴
，
∵代数式为定值，
∴，解得，
故选：C ．
【分析】
利用日历中横向相邻数相差1，纵向相邻数差7的规律，用用一个字母表示出其他三个字母，然后代入代数式化简，最后根据代数式的值为定值求出m的值.
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12． 分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为.
【分析】首先提公因式a，再利用平方差公式即可解得答案。
13．为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1 200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目.根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有　 　名.
【答案】960
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得，抽取的150名学生中，至少参加三项
趣味数学项目学生的频率为：
因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项
目的学生人数为：1200×0.8=960，
故答案为： 960.
【分析】先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数1200乘以该频率解答即可.
14．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
15．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是，且多边形的外角和为，
∴多边形的边数是：，
故答案为：十二．
【分析】
利用多边形的外角和是，用外角和除以每个外角的度数即可得到多边形的边数.
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形，其中点O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形，且．他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形．当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点与正方形的一个顶点D恰好三点共线．此时的长度为　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∵，将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形可视为绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：，
∴，
由旋转性质得：，；
当点Q在线段上，如图1所示；
则，
∴；
点Q在线段的延长线上，如图2所示；
∵，
∴；
综上，的长为或．
【分析】
先求出正方形对角线BD和等腰直角三角形直角边BP，PQ的长，再利用勾股定理求出PD的长，最后根据点Q在线段PD上或DP的延长线上两种情况进行分类讨论.
17．计算：．
【答案】原式
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算算术平方根、去绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可.
18．先化简，再求值：其中x=2，y=
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值计算即可.
19．如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：连接，
由作图知，，
在与中，
，
，
平分．
（2）解：过点D作交于点H．
，
，
平分，
，
在中，，
在中，，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图知，然后根据全等三角形的判定，证明与全等，进而证明平分．
（2）根据已知条件和（1）中结论可求出和的度数；然后在和中，利用直角三角形的边角关系求出、的长度，最后根据面积公式求解即可.
20．2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）初三（1）班总人数为________人，________；
（2）射中“1次”对应的扇形圆心角为________；
（3）在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：列表法如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1、男2 男1、男3 男1、女
男2 男2、男1 男2、男3 男2、女
男3 男3、男1 男3、男2 男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种，
，
答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：初三（1）班的学生人数为（人），
射中3次的比例为，所以；
（2）
解：扇形统计图中“1次”的比例为，
对应的圆心角的度数为；
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图中射中0次的人数除以所占百分数求出总人数，再用射中3次的人数除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）用射中“1次”的人数除以总人数即可求出所占的百分数，利用射中“1次”的圆心角度数射中“1次”的百分数计算即可；
（3）列表表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到1名女生和1名男生的情况数，利用概率公式求解．
（1）解：初三（1）班的学生人数为（人），
射中3次的比例为，所以；
（2）解：扇形统计图中“1次”的比例为，
对应的圆心角的度数为；
（3）解：列表法如下：
男1 男2 男3 女
男1
男1、男2 男1、男3 男1、女
男2 男2、男1
男2、男3 男2、女
男3 男3、男1 男3、男2
男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种，
，
答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是．
21．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明；
（2）首先根据已知条件和等角对等边的性质可得BE=BF，由（1）结论接得BDF，AE=CF，通过等量代换可得出BE=BF=DF，然后再利用平行四边形的对角线互相平分这一性质可证明.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴四边形是菱形．
22．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题目中的购买总价关系列出方程组进行求解即可；
（2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可.
（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
23．2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计．
（1）求攀登难点N的高度（即的长）；
（2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，交于点，
又，
∴四边形是矩形．
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得．
故观察点B的铅直高度为米．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用正切函数定义，由AM的长和的度数直接求出MN的长；
（2）通过作辅助线，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可.
（1）解：∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，交于点，
又，
∴四边形是矩形．
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得．
故观察点B的铅直高度为米．
24．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”．
例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”．
（1）①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________．
（2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值；
（3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围．
【答案】（1）①2；②3或
（2）解：∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解： 二次函数，开口向下，对称轴为，，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．

【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】
（1）
根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
①∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
②∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
【分析】
（1）①因为要判断一次函数是“拉伸函数”，所以先根据一次函数的单调性，求出时的取值范围，再代入计算的值．
②因为一次函数的系数的正负会影响单调性，所以分和两种情况，分别求出时的取值范围，再代入求解的值．
（2）因为且，先求出此时的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到等式，结合 ，利用完全平方公式求的值．
（3）先确定二次函数的对称轴为，因为对称轴位置会影响时函数的最值，所以分对称轴在的左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出每种情况下的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到关于的表达式，最后求的取值范围．
（1）根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
①∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
②∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
（2）∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）二次函数，开口向下，对称轴为，，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．
25．如图1，是的内接三角形，点A为劣弧的中点，直径，弦，点P为射线上一点，点E为弧上一动点，与交于点D，连接与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）设，且．
①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）；
②如图2，若与交于点Q，作于点H，交于点M，当时，求x的值．
【答案】（1）证明：点A为劣弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：如图1，连接，
，
，，
∵直径为，
半径为5，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
在中，，
，
，
，
；

（3）解：①由（2）得，
，且两三角形同高，
，
设，
由（2）得，
，
，
，
；
②如图2，过点M作于T，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
设，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
，
解得，
经检验是原方程的根，
．

【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等及公共角可证明；
（2）利用面积比转化为线段AG：AE，结合相似三角形性质求出AB的长，进而利用三角函数求出的度数；
（3）①可得，设，由（2）得，则，由勾股定理可得，则；
②分别用的三角函数表示S△CDM和S△ABQ ，利用已知面积关系建立方程求解即可.
（1）证明：点A为劣弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：如图1，连接，
，
，，
∵直径为，
半径为5，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：①由（2）得，
，且两三角形同高，
，
设，
由（2）得，
，
，
，
；
②如图2，过点M作于T，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
设，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
，
解得，
经检验是原方程的根，
．
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