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四川成都市双流区棠湖中学实验学校2025——2026学年下学期九年级模拟适应性考试数学试题
1．-的相反数是（　　）
A．- B． C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可。
【解答】的相反数是：-(-)=．
故选B．
【点评】本题要求熟练掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。
2．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故选：C．
【分析】根据主视图的定义：从正面看到的图形即可解答．
3．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（　　）
A．吨 B．吨
C．吨 D．吨
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿吨吨，
故选：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：，错误；
选项B：，错误；
选项C：，错误；
选项D：，正确；
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法则，幂的乘方法则逐一计算后判断即可．
5．某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（　　）
A．众数为9.2 B．平均数为9.2 C．中位数为9 D．方差为0.006
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，，
A、出现次数最多，众数是，故错误，不符合题意；
B、平均数是，故正确，符合题意；
C、中位数是，故错误，不符合题意；
D、方差是，故错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）、中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）、众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）和方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）分析求解即可.
6．如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定点O为BD的中点，从而在中构造出中位线OE，利用中位线定理建立OE与BP的数量关系求解.
7．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，七人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：C．
【分析】根据两种乘车方式下车辆数量不变的关系列方程，先分别表示两种情况下的车辆数，再令其相等.
9．已知线段a和b满足，那么的值等于　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据已知条件4a=5b求出的值，再将拆分为1+，代入的值计算结果.
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
解得，
故答案为：．
【分析】根据题意得到k-2<0，求出k的取值范围即可．
11．一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∴．
故该长方形的面积为9．
故答案为：9．
【分析】先利用完全平方公式将（a-b)2展开，再代入已知条件求出ab的值，ab即为长方形的面积.
12．如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的判定与性质结合题意得到，再根据余弦函数结合题意解直角三角形即可求解。
13．如图，BD是 ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则 ABCD的边BC上的高为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∴∠MBD＝∠MDB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴，
设 ABCD的边BC上的高为h，
∵，
∴，
即 ABCD的边BC上的高为．
故答案为：．
【分析】由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，由等边对等角及平行线性质推出∠MBD＝∠NBD，结合BD⊥MN，可得△BMN为等腰三角形，可得到 BM＝BN＝ND＝MD，由四边相等的四边形是菱形可判断四边形BMDN为菱形，利用勾股定理计算出BN=5，然后利用等面积法计算的边BC上的高．
14．（1）计算：；
（2）解方程：
【答案】解：（1）原式＝
．
（2），
，
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算出乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、实数的绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）移项后用因式分解法解方程即可；
15．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
16．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
（2）解： 过点作于点，于点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段的长度为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用余弦函数求出水平距离；
（2）通过作多条垂线构造矩形和直角三角形，利用三角函数求出相关线段，结合角度关系求出等腰直角三角形的边长，最后利用线段的和差关系求解.
（1）解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
（2）过点作于点，于点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段的长度为．
17．如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若．
①求的长；
②求的半径．
【答案】（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线
（2）解：①∵是的切线，∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）连接，利用同弧所对的圆周角相等可证得，可得，由可得，再利用等腰三角形的性质可得，可推出，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（）①利用切线的性质、圆周角定理的推论及余角的性质可知，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得利用相似三角形的性质可求出DE的长；②由①可可求出CD、CG、DG、GE的长，利用勾股定理可求出BG的长，再证明，利用相似三角形的对应边成比例可求出AG的长，然后根据AB=AG+BG，代入计算可求出AB的长，即可得到圆的半径.
（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数中，当时，，∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：
（2）解：设点P的坐标为，则点M的坐标为，，
∵，
故，
∵，
即，
解得：n=1或n=-12（舍去）
故点P的坐标为（1，6），点M的坐标为，
设直线AP的表解析式为y=bx+c，
将A（6，1）和P（1，6）代入得：，
解得：，
故直线AP的表达式为：y=-x+7，
当x=0时，y=7，即直线AP与y轴交于点E（0，7），
当y=0时，x=7，即直线AP与x轴交于点（7，0），
即直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，
∴CE=CO+OE=9，
过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，
即的周长的最小值为；
（3）解： 设点E（x，0）、F（m，n），由点A、M的坐标得， ，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出点C的坐标为，根据可得点B的坐标为，代入求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式，求出m的值；
（2）设点P的坐标为，则点M的坐标为，根据三角形的面积公式结合题意可求出点p的坐标，待定系数法求出直线AP的解析式，结合直线AP与坐标轴的交点，可得直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），连接交于点N，则此时，周长的最小，然后根据坐标系中两点间的距离公式求解即可；
（3） 设点E（x，0）、F（m，n），结合（2）中点A和点M的坐标，根据坐标系中两点间的距离公式求出AM2的值， 当AM为对角线时， 根据矩形的对角线相等得出EF=AM，结合坐标系内中点坐标的公式，列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标， 当AE或AF为对角线时， 同理列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标.
（1）解：一次函数中，当时，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，取，过点Q作交反比例函数于点P，则此时，则点，
∵，
∴设直线的表达式为：，则有：，
∴，
联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点，
由点A、P的坐标得，直线的表达式为：，
作点C关于直线的对称点，
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，即的周长的最小值为；
（3）解：设点，由点A、M的坐标得，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
19．已知非零实数a，b满足，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，方程的解求出，，的值，再对式子整理之后整体代入即可求解.
21．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
22．已知菱形中，，，点为边上动点，过点作与平行的直线交于点，点是线段上靠近点的三等分点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，以菱形的对角线为轴，为轴，与的交点为坐标原点，建立直角坐标系，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴边的解析式为，
∵点P为边上的动点，
∴设，
∴，
设的解析式为，
则，
解得：，
∴的解析式为，
设边的解析式为，
则，
解得：，
∴边的解析式为，
，
∴设的解析式为，
，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
过点P作y轴的垂线交于点I，过F分别作x、y轴的垂线分别交y轴于点G，交于点H，交轴于点，
则，，
，，
，，
又点F是线段上靠近点B的三等分点，
，，
又，
，，
，，
，
，
，
∴有最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】以菱形的对角线为轴，为轴，与的交点为坐标原点，建立直角坐标系，根据菱形的性质得到是等边三角形， 进而求出B，D的坐标，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出点A的坐标，然后求出AD、BP、AB和PE的解析式，进而求出E点的坐标，再根据相似三角形的性质得到点F的坐标，根据两点间距离公式求出EF关于t的函数解析式，求出最值解答即可．
23．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 1≤x≤1 时， 1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y= x 均是“闭函数”. 已知 y = ax2+ bx + c(a≠0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，则 a 的取值范围是　 　.
【答案】 或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y = ax2+ bx + c(a≠0)经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)
∴a+b+c=-1，a-b+c=1
∴a+c=0，b=-1
则抛物线为：y = ax2+ bx –a
∴对称轴为x=
如图，
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x= ＜0，如图可知，当 ≤-1时符合题意，所以 ；当-1＜ ＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x= ＞0，由图可知 ≥1时符合题意，∴0＜a≤ ；当0＜ ＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a的取值范围是： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 由y = ax2+ bx + c(a≠0)经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，可得出a+c=0，b=-1，求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当a＜0时，抛物线开口向下；②当a＞0时，抛物线的开口向上，分别求出a的取值范围即可解答
24．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由图像知，当10当14，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述，；
（2）解：设每天的销售利润为w元，当10∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14∵-20<0，14∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）分为10（2）分10（1）解：（1）由图像知，当10当14将（14，640），（30，320）代入得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述，；
（2）解：设每天的销售利润为w元，
当10∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14∵-20<0，14∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
最大值为；；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，在Rt△BOC中，用勾股定理求得BC的值，由锐角三角函数求得sin∠BCO的值，由平行线的性质可得∠PHE=∠BCO，于是可得，设，，，代入PD+PE并结合二次函数的性质即可求解；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，再结合三角函数可得关于n的方程，解方程求得n的值，于是可得点N的坐标；如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，根据锐角三角函数可得关于x的方程。解方程即可求解，综合两种情况即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
1 / 1四川成都市双流区棠湖中学实验学校2025——2026学年下学期九年级模拟适应性考试数学试题
1．-的相反数是（　　）
A．- B． C．-2 D．2
2．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（　　）
A．吨 B．吨
C．吨 D．吨
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（　　）
A．众数为9.2 B．平均数为9.2 C．中位数为9 D．方差为0.006
6．如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，七人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（　　）
A． B． C． D．
9．已知线段a和b满足，那么的值等于　 　．
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　．
11．一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为　 　．
12．如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为　 　．
13．如图，BD是 ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则 ABCD的边BC上的高为　 　．
14．（1）计算：；
（2）解方程：
15．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
16．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，）
17．如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若．
①求的长；
②求的半径．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
19．已知非零实数a，b满足，则　 　．
20．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　 　．
21．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是　 　．
22．已知菱形中，，，点为边上动点，过点作与平行的直线交于点，点是线段上靠近点的三等分点，连接，则的最小值为　 　．
23．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 1≤x≤1 时， 1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y= x 均是“闭函数”. 已知 y = ax2+ bx + c(a≠0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，则 a 的取值范围是　 　.
24．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可。
【解答】的相反数是：-(-)=．
故选B．
【点评】本题要求熟练掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故选：C．
【分析】根据主视图的定义：从正面看到的图形即可解答．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿吨吨，
故选：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：，错误；
选项B：，错误；
选项C：，错误；
选项D：，正确；
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法则，幂的乘方法则逐一计算后判断即可．
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，，
A、出现次数最多，众数是，故错误，不符合题意；
B、平均数是，故正确，符合题意；
C、中位数是，故错误，不符合题意；
D、方差是，故错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）、中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）、众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）和方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定点O为BD的中点，从而在中构造出中位线OE，利用中位线定理建立OE与BP的数量关系求解.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
8．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余7个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：C．
【分析】根据两种乘车方式下车辆数量不变的关系列方程，先分别表示两种情况下的车辆数，再令其相等.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据已知条件4a=5b求出的值，再将拆分为1+，代入的值计算结果.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
解得，
故答案为：．
【分析】根据题意得到k-2<0，求出k的取值范围即可．
11．【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∴．
故该长方形的面积为9．
故答案为：9．
【分析】先利用完全平方公式将（a-b)2展开，再代入已知条件求出ab的值，ab即为长方形的面积.
12．【答案】6
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的判定与性质结合题意得到，再根据余弦函数结合题意解直角三角形即可求解。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∴∠MBD＝∠MDB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴，
设 ABCD的边BC上的高为h，
∵，
∴，
即 ABCD的边BC上的高为．
故答案为：．
【分析】由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，由等边对等角及平行线性质推出∠MBD＝∠NBD，结合BD⊥MN，可得△BMN为等腰三角形，可得到 BM＝BN＝ND＝MD，由四边相等的四边形是菱形可判断四边形BMDN为菱形，利用勾股定理计算出BN=5，然后利用等面积法计算的边BC上的高．
14．【答案】解：（1）原式＝
．
（2），
，
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算出乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、实数的绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）移项后用因式分解法解方程即可；
15．【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
16．【答案】（1）解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为
（2）解： 过点作于点，于点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段的长度为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用余弦函数求出水平距离；
（2）通过作多条垂线构造矩形和直角三角形，利用三角函数求出相关线段，结合角度关系求出等腰直角三角形的边长，最后利用线段的和差关系求解.
（1）解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为；
（2）过点作于点，于点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段的长度为．
17．【答案】（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线
（2）解：①∵是的切线，∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）连接，利用同弧所对的圆周角相等可证得，可得，由可得，再利用等腰三角形的性质可得，可推出，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（）①利用切线的性质、圆周角定理的推论及余角的性质可知，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得利用相似三角形的性质可求出DE的长；②由①可可求出CD、CG、DG、GE的长，利用勾股定理可求出BG的长，再证明，利用相似三角形的对应边成比例可求出AG的长，然后根据AB=AG+BG，代入计算可求出AB的长，即可得到圆的半径.
（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
18．【答案】（1）解：一次函数中，当时，，∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：
（2）解：设点P的坐标为，则点M的坐标为，，
∵，
故，
∵，
即，
解得：n=1或n=-12（舍去）
故点P的坐标为（1，6），点M的坐标为，
设直线AP的表解析式为y=bx+c，
将A（6，1）和P（1，6）代入得：，
解得：，
故直线AP的表达式为：y=-x+7，
当x=0时，y=7，即直线AP与y轴交于点E（0，7），
当y=0时，x=7，即直线AP与x轴交于点（7，0），
即直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，
∴CE=CO+OE=9，
过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，
即的周长的最小值为；
（3）解： 设点E（x，0）、F（m，n），由点A、M的坐标得， ，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出点C的坐标为，根据可得点B的坐标为，代入求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式，求出m的值；
（2）设点P的坐标为，则点M的坐标为，根据三角形的面积公式结合题意可求出点p的坐标，待定系数法求出直线AP的解析式，结合直线AP与坐标轴的交点，可得直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），连接交于点N，则此时，周长的最小，然后根据坐标系中两点间的距离公式求解即可；
（3） 设点E（x，0）、F（m，n），结合（2）中点A和点M的坐标，根据坐标系中两点间的距离公式求出AM2的值， 当AM为对角线时， 根据矩形的对角线相等得出EF=AM，结合坐标系内中点坐标的公式，列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标， 当AE或AF为对角线时， 同理列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标.
（1）解：一次函数中，当时，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，取，过点Q作交反比例函数于点P，则此时，则点，
∵，
∴设直线的表达式为：，则有：，
∴，
联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点，
由点A、P的坐标得，直线的表达式为：，
作点C关于直线的对称点，
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，即的周长的最小值为；
（3）解：设点，由点A、M的坐标得，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，方程的解求出，，的值，再对式子整理之后整体代入即可求解.
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，以菱形的对角线为轴，为轴，与的交点为坐标原点，建立直角坐标系，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴边的解析式为，
∵点P为边上的动点，
∴设，
∴，
设的解析式为，
则，
解得：，
∴的解析式为，
设边的解析式为，
则，
解得：，
∴边的解析式为，
，
∴设的解析式为，
，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
过点P作y轴的垂线交于点I，过F分别作x、y轴的垂线分别交y轴于点G，交于点H，交轴于点，
则，，
，，
，，
又点F是线段上靠近点B的三等分点，
，，
又，
，，
，，
，
，
，
∴有最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】以菱形的对角线为轴，为轴，与的交点为坐标原点，建立直角坐标系，根据菱形的性质得到是等边三角形， 进而求出B，D的坐标，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出点A的坐标，然后求出AD、BP、AB和PE的解析式，进而求出E点的坐标，再根据相似三角形的性质得到点F的坐标，根据两点间距离公式求出EF关于t的函数解析式，求出最值解答即可．
23．【答案】 或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y = ax2+ bx + c(a≠0)经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)
∴a+b+c=-1，a-b+c=1
∴a+c=0，b=-1
则抛物线为：y = ax2+ bx –a
∴对称轴为x=
如图，
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x= ＜0，如图可知，当 ≤-1时符合题意，所以 ；当-1＜ ＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x= ＞0，由图可知 ≥1时符合题意，∴0＜a≤ ；当0＜ ＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a的取值范围是： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】 由y = ax2+ bx + c(a≠0)经过点 A(1， 1)和点 B( 1，1)，可得出a+c=0，b=-1，求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当a＜0时，抛物线开口向下；②当a＞0时，抛物线的开口向上，分别求出a的取值范围即可解答
24．【答案】（1）解：由图像知，当10当14，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述，；
（2）解：设每天的销售利润为w元，当10∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14∵-20<0，14∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）分为10（2）分10（1）解：（1）由图像知，当10当14将（14，640），（30，320）代入得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述，；
（2）解：设每天的销售利润为w元，
当10∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14∵-20<0，14∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
最大值为；；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，在Rt△BOC中，用勾股定理求得BC的值，由锐角三角函数求得sin∠BCO的值，由平行线的性质可得∠PHE=∠BCO，于是可得，设，，，代入PD+PE并结合二次函数的性质即可求解；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，再结合三角函数可得关于n的方程，解方程求得n的值，于是可得点N的坐标；如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，根据锐角三角函数可得关于x的方程。解方程即可求解，综合两种情况即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
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