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山东枣庄市薛城区2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知向量，，且，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
3．在所在平面内，点满足，记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（ ）
A．棱长为1的正方体
B．表面积为的球
C．轴截面是边长为1的正方形的圆柱
D．体积为且轴截面为直角三角形的圆锥
6．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
7．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是虚数 D．若，则是实数
10．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a>c C．c>a D．
11．在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为
三、填空题
12．已知向量，则___________．
13．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米.
14．在边长为4的菱形中，为中点，为平面内一点，若，则___________．
四、解答题
15．已知向量，，，
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，向量与互相垂直，求值．
16．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3.
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
17．在平行四边形中，分别是边的中点，与交于点．
(1)求；
(2)记，求的值．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知
(1)求
(2)若，，的面积为.
①求;
②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求.
19．如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记．
(1)若时，求的周长；
(2)若的面积是的面积的倍，求的大小；
(3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
参考答案
1．C
【详解】复数的虚部为.
故选：C
2．D
【详解】由题意知，则，解得，故D项正确.
故选：D.
3．C
【详解】由向量的线性运算可知.
故选：C.
4．B
【详解】因为，所以，
则，则
故选：B
5．D
【详解】A：当点是棱长为1的正方体表面上的一点时，
因为棱长为1的正方体的对角线长为，
所以点到桌面的最大距离为；
B：当点是表面积为的球表面上的一点时，
设该球的半径为，所以有，
因此该球的直径为，
由球的性质可知点到桌面的最大距离为；
C：当点是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时，
此时该正方形的对角线长为，
所以点到桌面的最大距离为；
D：当点是体积为且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时，
由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为，
所以该圆锥的底面的半径为，圆锥的高为，
所以有，
所以斜边长为，
因此点到桌面的最大距离为；
显然，即，
故选：D
6．D
【详解】
由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且，
，
所以，故.
故选：D.
7．A
【详解】因为是夹角为的两个单位向量，
所以，，
设为的夹角，
，
故选：A.
8．A
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
过作的垂线，垂足为，
正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，
设，则，所以，
因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，
所以，
故选：A.
9．AD
【详解】A. 为纯虚数，故A正确；
B.，只有时，才是实数，故B错误；
C.，只有时为虚数，为实数，故C错误；
D. 为实数，故D正确.
10．ACD
【详解】由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确.
故选：ACD
11．BD
【详解】如图所示：
对选项A，，故A错误.
对选项B，
，故B正确.
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：
在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C错误.
对选项D，如图所示：
因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确.
故选：BD.
12．
【详解】由题意可知，
所以.
13．
【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得，
在直角三角形OBP中，由，得，
在直角三角形OCP中，由，得，
由，可得B是AC的中点，所以，
因为，则，
在，中，由余弦定理可得：，
解得，所以该建筑的高度OP为米．
故答案为：
14．14
【详解】可知，
所以，即，
可得，
可知在中，，
所以，
所以.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题可得，，，
；
（2）与互相垂直，
，即；
，，且与不共线，
，解得.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径，
所以圆锥底面圆面积为.
（2）设圆柱的高，底面圆半径，
在中，，显然，则，
即，于是，
圆柱侧面积，
则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为.
17．(1)17
(2)
【详解】（1）因为分别是边的中点，
所以，
因此
．
（2）设，
有，
又，
由平面向量基本定理得，解得，
所以，则，因此．
18．(1)
(2)①，；②
【详解】（1）由，可得，
由正弦定理得
因为，
所以
由于，则，所以.
又，则，故.
（2）①由题意，的面积，可得①，
由余弦定理得，，且，所以,
则，因为，所以②，
因为，联立①和②解得，，
② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点，
所以，，
因为
，
，
所以,
由题意，为锐角，则.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
又，则，所以，
当时，，
在Rt中，则，
在中，，可得，
的周长为；
（2），因为的面积是的面积的倍，
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即；
（3）设，由（2）知，
在中，由，得，
所以
=，
当且仅当，
即时，的面积取最小值为.

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