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2025-2026学年第二学期九年级二模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．的倒数是（ ）
A． B． C．6 D．
3．计算的结果是（ ）
A．x B． C． D．
4．如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
8．如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（ ）
A．36 B．42 C．48 D．60
9．如图，在菱形中，，点为的中点，连接交于点O，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．因式分解：________．
12．若是方程的一个根，则的值______．
13．如图，菱形ABCD中，．将绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______．
14．如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__．
15．如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____．
16．如图，在和中，，，若，则的长为________．
17．如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．

18．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的表面积为_____．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)求的面积．
20．（8分）计算、化简求值：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值，其中x，y满足．
21．（6分）某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．
22．（6分）如图，点A是线段上一点，由线段逆时针旋转得到，平分，且．求证：．
23．（8分）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围．
25．（6分）已知，如图，四边形中，，，．求证：．
26．（8分）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
27．（10分）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)（3分）求抛物线的解析式；
(2)（3分）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)（4分）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-5 DBBAD 6-10 ACCDB
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17． 18．36π
19．（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）．
20．(1)； (2)
21．设原价为a，两次降价的百分比为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：两次降价的百分比约为．
22．由旋转可得，，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
23．（1）连接，
∵平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵平分，平分，
∴．
又∵，，
∴.
∴，
∵，
∴.
24．（1）将代入反比例函数可得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
将代入反比例函数可得，即，
∴，
将，代入一次函数的表达式可得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）由图象可得：一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或．
25．∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
，
．
26．（1），
．
，
，
，
；
（2）如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
，
．
27．（1）∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
∴；
（3）存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．

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