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2025-2026学年下学期青璜八年级数学期中考试卷
一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．正六边形的一个内角度数为（　　）
A．720° B．60° C．120° D．108°
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若AB＝2，AC＝1.5，BC＝2.5，则下面说法正确的是（　　）
A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．无法判定
5．下列关系式中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝x2 C．y2＝x D．y＝|2x﹣1|
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知k＜0，b＞0，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．若，，则下列表示正确的是（　　）
A．5m B．5n C．5mn D．
9．下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（　　）
A．y＝2x﹣2 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x+1
10．已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分．
11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．若y＝x﹣b的图象经过点A（﹣1，2），则它也经过点B（1，　 　 ）．
13．如图，是由四个面积均为24的全等直角△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为 　 　 ．
14．若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为　 　 ．
15．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元．设一户每月用水xm3，应缴水费为y元，则y与x之间的函数表达式　 　 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在AB和AD上分别有点M、N，连CM、CN、CA．点B关于CM的对称点H，点D关于CN的对称点G，若H、G刚好邻落在对角线AC上，则MN的长为　 　 ．
三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；（2）．
18．已知一次函数的图象经过A（﹣2，9），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）求该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标．
19．如图，已知点G、H是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB、CD的中点，求证：四边形EHFG是一个平行四边形．
20．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．
21．如图，已知△ABC，
（1）求作：平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的平行四边形ABCD中，连接BD，交AC于点O．过点O作线段EF与边AD，BC分别交于点E，F，设△DOE的面积为S1，△BOF的面积为S2，求S1：S2的值．
22．为保障师生健康，某校会定期对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量y（单位：）与药物在空气中的持续时间x（单位：min）的函数关系如下图所示．
(1)①药物喷洒后空气中的含药量y关于药物在空气中的持续时间x的函数表达式为________________；
②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物多长时间了？
(2)如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不少于20min，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效．
(3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？
23．数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在 ABCD中，∠BAC＝90°，E为AD边上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACB，求证：AE＝DE．
①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明．
②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明．
（1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程．
【问题探究】
（2）小迪同学在此问题基础上，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段AB，CF，AF之间的数量关系：AB2+CF2＝AF2，请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明．
【类比拓展】
（3）小怡同学突发奇想，过点E作EF⊥EC，交AC于点F，如图4，若 ABCD的面积为12，AB＝3，请你直接写出线段EF的长．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＞60°，点P在边AB上（不与点A，B重合），连接CP，平移线段CP，使点C与点B重合，得到线段BQ，连接PQ．
（1）依题意补全图形，若∠A＝2∠Q，求∠BCP+∠BPQ的度数；
（2）连接AQ，若AB平分∠CAQ，求证：四边形BCPQ是菱形；
（3）在（2）的条件下，设∠BCP＝x，∠CAQ＝y，试用等式表示y与x之间的数量关系，并证明．
25．如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点A（﹣2，0），B，C．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作 ABNM，连接CM，CN．
①求CM+CN的最小值；
②在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由．
2025-2026学年下学期青璜八年级数学期中考试卷答案
参考答案与试题解析
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A C D D B C C
二．填空题
11．< 12． 4 13． 2．
14． 5． 15． y＝ 16．
三．解答题
17．（1）；（2）．
18．解：（1）设此函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过A（﹣2，9），B（1，3）两点，
∴，
解得，
故此函数的解析式为：y＝﹣2x+5；
（2）由（1）知，该一次函数的解析式为y＝﹣2x+5，
∴当y＝0时，﹣2x+5＝0，解得x＝；
当x＝0时，y＝5，
∴该一次函数的图象与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，5）．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴，
∴AE＝CF，
又∵AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴∠AGE＝∠CHF，EG＝FH，
∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠CHF，即∠EGH＝∠FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EHFG是平行四边形．
20．（1）证明：连接BE，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CE＝x，则AE＝BE，
在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x＝，
∴CE的长为．
21．解：（1）如图所示， ABCD即为所求；
（2）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴S△ODE＝S△OBF，
∴．
22．（1）解：①由图可知，药物喷洒后空气中的含药量与药物在空气中的持续时间成一次函数关系，
设．
当时，将，代入，
得解得
∴；
当时，将，代入，
得解得
∴．
综上所述，药物喷洒后空气中的含药量关于药物在空气中的持续时间的函数表达式为
②当时，，解得，
∴当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物了．
（2）解：当时，令，，解得；
当时，令，，解得，
所以空气中药物含量不低于持续的时间为．
因为，
所以此次消毒有效．
（3）解：当时，，
解得．
故喷洒药物后，空气中无药物残留．
23．解：（1）①小芳同学的解法，
证明：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ACD＝∠BAC，∠ACB＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，∠ACE+∠ECD＝90°，
∵∠ACE＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠CAD，∠ADC＝∠ECD，
∴AE＝CE，CE＝DE，
∴AE＝DE；
②小芮同学的解法：
证明：如图2，延长BA与CE的延长线相交于点G，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAG＝∠BAC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACB，
∴△ACB≌△ACG，
∴AB＝AG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠G＝∠DCE，∠EAG＝∠EDC，
∴AG＝CD，
∴△AEG≌△DEC（AAS），
∴AE＝DE；
（2）成立，理由如下：
证明：如图，连接DF，
∵EF⊥AD，AE＝DE，
∴AF＝DF，
由（1）得∠ACD＝90°，
∴在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AB2+CF2＝AF2；
（3）如图，过点F作FM⊥BC，取AC的中点，连接MN，
∵EF⊥EC，FM⊥BC，
∴∠FMC＝∠FEC，
∵∠ACE＝∠ACB，CF＝CF，
∴△FMC≌△FEC（AAS），
∴，EF＝FM，
∵∠BAC＝90°， ABCD的面积为12，AB＝3，
∴，
∴，
∵N是AC的中点，
∴，，
∴∠MNC＝90°，
根据勾股定理可得，
∴，
设FN＝x，
根据勾股定理可得，
∴FC2＝FM2+MC2，
即
解得，
∴．
24．（1）解：补全图形如图所示，
过A作AM⊥BC于点M，交CP于点N，则∠AMC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵∠BAC＝2∠Q，
∴∠BAM＝∠Q，
∵CP平移得到BQ，
∴CP∥BQ，CP＝BQ，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴∠Q＝∠BCP，PQ∥BC，
∴∠BAM＝∠BCP，∠CPQ+∠BCP＝180°，
∵∠ANP＝∠CNM，
∴∠APC＝∠AMC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴∠BCP+∠BPQ＝90°；
（2）证明：如图，连接CQ交BP于点O，延长AO交延长线于点H，使OA＝OH，连接CH，
由（1）知四边形BCPQ是平行四边形，
∴OQ＝OC，
∵∠AOQ＝∠HOC，
∴△AOQ≌△HOC（SAS），
∴∠OAQ＝∠OHC，
∵AB平分∠CAQ，
∴∠BAQ＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠OHC，
∴CA＝CH，
∵OA＝OH，
∴CO⊥AH，即CQ⊥BP，
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴四边形BCPQ是菱形；
（3）解：y＝2x，证明如下：
由（2）知四边形BCPQ是菱形，
∴BC＝BP，
∴∠BPC＝∠CBP，
在△BCD中，∠BCP+2∠CBP＝180°，
在△ABC中，∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BCP＝∠BAC＝x，
∵AB平分∠CAQ，
∴∠CAQ＝2∠BAC，
即y＝2x．
25.解：（1）由直线过点A（﹣2，0），得，解得b＝1，
则点B的坐标为（0，1），
由，解得，则点C的坐标为C（2，2）．
（2）①由（1）得点B是线段AC的中点，即BC＝AB，
由 ABNM，得MN∥AC，MN＝AB＝BC，连接BM，则四边形BMNC是平行四边形，
于是BM＝CN，令点B关于x轴对称点为B′，连接MB′，CB′，
因此CM+CN＝CM+MB＝CM+MB′≥CB′，当且仅当点C，M，B′三点共线时取等号，
而B′（0，﹣1），过C作CD⊥y轴于点D，则CD＝2，DB′＝3，，
所以CM+CN的最小值为．
②在点M移动过程中，∠CMN能等于45°，理由如下：
当∠CMN＝45°时，过C作CQ⊥CM交MN的延长线于点Q，过C作直线EF∥x轴，
过M，Q作直线EF的垂线，垂足分别为E，F，则△CMQ为等腰直角三角形，CM＝CQ，
由∠ECM+∠EMC＝90°，∠ECM+∠FCQ＝90°，得∠EMC＝∠FCQ，
则Rt△ECM≌Rt△FCQ，CF＝EM＝2，设M（m，0），则FQ＝CE＝2﹣m，
则点Q（4，m），由MN∥AC，得直线MN方程为，
因此，解得，点，
所以在点M移动过程中，∠CMN能等于45°，点．

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