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2025-2026学年莆田市擢英中学八年级数学期中考试卷
一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对边相等
4．如图，要使成为菱形，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　）
A．B．C． D．
6．若点和都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示．按平均速度计算，走得最快的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分．
11．函数y＝中自变量x的取值范围是________
12．已知，为实数，且满足，则_____.
13．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点的坐标是___________．
15．首届闽超激战正酣！说到足球，你知道足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：．

19．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的解析式；
20．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路PB ，PA相连接，其中PA = AB ，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路PC(A, C, B在同一条直线上) ，测得PB = 13km ，BC= 5km ，PC = 12km．
(1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
(2)求原来的路线的长．
20．数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．
如图，在中， ，
(1)尺规作图：求作矩形．（保留作图痕迹）；
(2)(2)根据你的作图，证明四边形是矩形．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点．
(1)求直线AB的表达式和点A的坐标；
(2)点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
23．根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何设计合理的采购方案
素材一 4月日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权．
素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A、B两种书籍，若订购A种书籍本，B种书籍本，共花元；若订购A种书籍本，B种书籍本，共花费元．
根据以上素材，完成下列两个任务的解答
任务一 （1）求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？
任务二 （2）若该校计划购进这两种书籍共本，且A种书籍的数量不少于本，设购买这批书籍所需费用为w元，B种书籍购买本，求w元与之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？
24．（1）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：线段与的数量关系为________；直线与所夹锐角的大小为________．
（2）如图②，将正方形绕点顺时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且，如图③，直接写出______．

25．如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于，两点，点为的中点，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，当点到达点时，点也停止运动以，为邻边构造，设点运动的时间为秒．
(1)直接写出点的坐标为 ．
(2)如图，过点作轴于，过点作轴于证明：≌．
(3)如图，连接，当点恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的的值．
2025-2026学年莆田市擢英中学八年级数学期中考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1. D 2. B 3. D 4. C 5. D
6. B 7. A 8. A 9. A 10. C
二、填空题
11. x ≥ 3 12. 4 13. x <- 1
14. (0,4) 15. 12o 16.
三．解答题
17．解：
18．四边形是平行四边形
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
19．设，将点，代入得：
，解得，
函数解析式为；
20.（1）解：是；
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设，则，
在中，，
，
解得：，
答：原来的路线PA的长为16.9千米．
21.（1）如图2，四边形为矩形，即为所求作．
（2）证明：由作法可知，，，
∴ 四边形是平行四边形
，
∴ 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
22．（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点，
∴
解得
∴直线AB的解析式是
令，解得
（2）,
如图，交于点，轴，
点P是直线x＝2上一动点，D点在上，令，则
则
设
△ABP的面积与△ABO的面积相等
解得或
点P是直线AB上方第一象限内的动点
23．任务一：设A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元．
由题意得：
解得：．
答：A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元．
任务二：由题意可知， 购买B种书籍本，则购买A种书籍本．
A种书籍的数量不少于本，
，
解得：．
根据题意得：，
随着的增大而减少，
当时，取得最小值，此时，
最小值为：．
24．解：（1）①线段与的数量关系为；
②直线与所夹锐角的度数为45°．
连接AF，根据正方形的性质可得A、F、C三点共线，∠CAD=45°
∵AF=AG，AC=AD
∴CF=AC-AF=(AD-AG)=DG
（2）仍然成立，证明如下：
过作，且，连接，，并延长交、交于点
∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∴
∴
在和中，
∴，
∴，
∵四边形是正方形
∴，，∴
∵，
∴
∴，
，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴，
在中，
∴，
即，
∵
∴，即直线与所夹锐角的度数为45°；
（3）过作∠GDH=120°，且，连接，
∵四边形是菱形 ，
∴，∠ADC=120°
∵∠GDH=120°
∴
∴
在和中，
∴，
∴，
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴，
过点D作DM⊥GH于点M
∴GM=GH=CF，DM=DG
在Rt△DGM中，
∴GM=DG，
∴DG：CF=．
25．（1）解：直线：与坐标轴交于，两点，
当时，，当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点为的中点，
点，
故答案为：，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
又，
≌；
（3）解：≌，
，，
点，点，点，
，，
，
点，
当点落在直线上时，则，即，
当点落在直线上时，
点，
直线解析式为：，
，
，
当点落在上时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
线段的中点在上，
，
；
综上所述：或或．

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