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2026年春八年级（下）阶段试卷
(数学)
一．选择题（每小题 3分，共 36分）
1． 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
3
A．√ 5 B．√2 C．√ D．√3
2.若二次根式√ 5在实数范围内有意义，则 a满足的条件是（ ）
A．a≤5 B．a≥5 C．a≥-5 D．a≠5
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组
数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．9，40，41 D．1，√3 ,2
4.下列各式中，√ 4的有理化因式是（ ）
A．√ + 4 B．√ 4 C．√ +2 D .√ -2
5.有一块矩形的木板，它的长为 3√45cm，宽为 4√20cm，则这块木板的周长和面积分别是（ ）
2 2
A．34√5cm , 360cm B．360cm , 34√5cm
2 2
C．17√5cm , 360cm D．34√5cm , 180cm
6.若二次根式 √ + 2与√27能够合并，则m的值可能为（ ）
A．9 B．16 C．46 D．52
7.若直角三角形的两直角边长分别为 5和 12，则斜边的长为（ ）
A．13 B．12 C．√119 D．10
8.如图，数轴上点 A所表示的数为 1，点 B，C，D是 4×4的正方形网格上的格点，以点 A为圆心，AD
长为半径画圆交数轴于点 P，Q．点 P表示的数记为m,点 Q表示
的数记为 n,则mn的值为（ ）
A．-9 B．2√10-11
C．-10 D．1-√10
9.下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
10.海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点 A处巡逻，突然发现在南偏东
50°方向距离 15海里的点 B处有可疑目标正在以 16海里/小时的速度沿南偏
西 40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点 C处将其追
上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里/小时 B．20海里/小时
C．32海里/小时 D．34海里/小时
11. 如图，在平行四边形 ABCD中，AC、BD相交于点 O，AB⊥AC，若 AB=4，AC=6．则 BD的长为
（ ）
A．2√13 B．10
C．8 D．14
12.如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，E、F分别是 AB，BC的中
点，连接 EF，若 EF=2，BD=6，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12 B．24 C．25 D．4√13
二．填空题（每小题 3分，共 18分）
13． 已知点 P（-1，4）是平面直角坐标系中一点，则点 P到原点的距离为 ．
√ +1
14.若式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．

15.已知菱形 ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点 C的坐标
是（3，4），则顶点 B的坐标是 ．
16.如图，在△ABC中，点 D为 BC上一点，CA=CD=5，CF平分∠ACB，交 AD
于点 F，点 E为 AB的中点．若 EF=3，则 BC= ．
17.如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线 OA经平面镜反射后沿 OE恰好入
眼（ON为法线），已知淇淇的眼睛 D到鞋底 A处的距离 AD=√3m．若 BC∥OA，
且∠CBO=120°，∠BON=90°，则淇淇的鞋底 A处到镜子底端 O的距离为 m.
√ +√ 18 8
18.定义新运算： @ = 2 2 , 则 @ (m> 0)的运算结果是 ． + √2 √3
三．解答题（46分）
19．（6分） 计算：
（1）（3分）√2(√2+2)- √8；
（2）（3分） 2 (√3 + 1) -√24 ÷ √2．
1 1
20. （5分）化简求值： √9 +6√ -2x√ ，其中 x=4．
3 4
21. （7分）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴
影部分作为草坪，已知∠ABC=90°，AB=5，AC=13．根据规划要求，
AE=4，BE=3，求阴影部分的面积．
22. （8分）如图，在一条东西走向的街道 l上有两个快递投放点 B，C．快递投放点 C的正北方向 3km
处有一小区 A，小区 A到快递投放点 B的距离为 5km.
（1）（4分）求快递投放点 B，C之间的距离；
（2）（4分）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在
街道 l上增设一个快递自提柜 D，并且使得自提柜 D到小区 A
与快递投放点 B的距离相等，求自提柜 D与快递投放点 B之间的距离．
23. （10分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，AC平分∠DAB，过点 D作 DE
⊥AB，交 BA的延长线于点 E．
（1）（4分）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2（6分））若 AB=10，BD=16，求 DE的长．
24.（ 10分）如图，在△ABC中，点 D，E分别是 AB，AC的中点，连接 DE，过点 A作 AF⊥DE，垂足
为 F，延长 FD至点 G，使 DG=DF，连接 GB，延长 FE至点 H，使 EH=FE，连接 CH．
（1）（ 6分）求证：四边形 BCHG为矩形．
（2（4分））若 DE=4.5，AF=4，求△ABC的面积．八年级数学
参考答案
一．选择题（每小题 3分，共 36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C B A C A A D D B A
二．填空题（每小题 3分，共 18分）
13. √17 14. x≥-1且 x≠0 15. （8，4） 16. 11 17. 1 18. √2
三．解答题（46分）
1 √ 1
19.解：（1）原式=2+2√2-2√2=2； （3分） 20.解：原式= ×3√ +6× -2√ 2.
3 2
（2）原式=3+2√3 +1-√12 = √ + 3√ 2√
=3+2√3 +1-2√3 = 2√ ； （3分）
=4． （3分） 当 x=4时，
原式=2×√4=2×2=4．（2分）
21. 解：在直角△ABC中，BC=√ 2 2=√132 52 = 12，
1 1
∴S△ABC= AB× BC= ×5×12=30，
2 2
∵AE2+BE2=32+42=25=AB2，
∴△ABE 是以 AB为斜边的直角三角形，（4分）
∴∠AEB=90°，
1 1
∴S△ABE= AE ×BE= ×3×4=6，
2 2
∴S 阴影=S△ABC-S△ABE=30-6=24．（3分）
22.解：（1）由题意得：在直角三角形 ABC中，∠ACB=90°，AC=3km,AB=5km,
由勾股定理得：BC=√ 2 2=√52 32=4（km），
∴快递投放点 B，C之间的距离为 4km；（4分）
（2）设 AD=BD=x km,则 CD=（4-x）km,
在 Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴32+（4-x）2=x2，
∴9+16-8x+x2=x2，
25
解得：x= ，
8
25
∴自提柜 D与快递投放点 B之间的距离为 km. （4分）
8
23.（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四边形 ABCD是菱形；（4分）
（2）解：由（1）得四边形 ABCD是菱形，
∴AC=12，（3分）
∵DE⊥AB， ∴S 菱形 ABCD=AB DE=96，
∵AB=10， ∴DE=9.6．（3分）
24.（1）证明：∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠AFE=90°，
∵点 D，E分别是 AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD， （ 2分）
在△ADF 和△BDG中，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴∠AFD=∠G=90°，AF=BG， （ 2分）
同理可得△AFE≌△CHE，
∴AF=CH，∠AFE=∠H=90°，
∴BG=CH，BG∥CH，
∴四边形 BCHG为矩形． （ 2分）
（2）解：∵点 D，E分别是 AB，AC的中点，
∴BC=2DE=9，
由（1）可得，BG=AF=4，
∴若 DE=4.5，AF=4，S△ABC=S 矩形 BCHG=4×9=36． （ 4分）2026年春八年级（下）阶段试卷
(数学)
一．选择题（每小题3分，共36分）
1． 下列式子中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.若二次根式在实数范围内有意义，则a满足的条件是（　　）
A．a≤5 B．a≥5 C．a≥-5 D．a≠5
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．9，40，41 D．1， ,2
4.下列各式中，的有理化因式是（　　）
A． B． C．+2 D .-2
5.有一块矩形的木板，它的长为3cm，宽为4cm，则这块木板的周长和面积分别是（　　）
A．34cm , 360cm2 B．360cm , 34cm2
C．17cm , 360cm2 D．34cm , 180cm2
6.若二次根式 与能够合并，则m的值可能为（　　）
A．9 B．16 C．46 D．52
7.若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（　　）
A．13 B．12 C． D．10
8.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m,点Q表示的数记为n,则mn的值为（　　）
A．-9 B．-11
C．-10 D．1-
9.下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
10.海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（　　）
A．16海里/小时 B．20海里/小时
C．32海里/小时 D．34海里/小时
11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6．则BD的长为（　　）
A．2 B．10
C．8 D．14
12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是AB，BC的中点，连接EF，若EF=2，BD=6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．24 C．25 D．4
二．填空题（每小题3分，共18分）
13． 已知点P（-1，4）是平面直角坐标系中一点，则点P到原点的距离为 ．
14.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15.已知菱形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点C的坐标是（3，4），则顶点B的坐标是 ．
16.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD=5，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=3，则BC= ．
17.如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后沿OE恰好入眼（ON为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离AD=m．若BC∥OA，且∠CBO=120°，∠BON=90°，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为 m.
18.定义新运算：@= , 则@ (m)的运算结果是 ．
三．解答题（46分）
19．（6分） 计算：
（1）（3分）(+2)- ；
（2）（3分）()2 -．
20. （5分）化简求值： +6-2x，其中x=4．
21. （7分）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知∠ABC=90°，AB=5，AC=13．根据规划要求，AE=4，BE=3，求阴影部分的面积．
22. （8分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向3km处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为5km.
（1）（4分）求快递投放点B，C之间的距离；
（2）（4分）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
23. （10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠DAB，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E．
（1）（4分）求证：四边形ABCD是菱形；
（2（6分））若AB=10，BD=16，求DE的长．
24.（ 10分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长FD至点G，使DG=DF，连接GB，延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．
（1）（ 6分）求证：四边形BCHG为矩形．
（2（4分））若DE=4.5，AF=4，求△ABC的面积．八年级数学
参考答案
一．选择题（每小题3分，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C B A C A A D D B A
二．填空题（每小题3分，共18分）
13. 14. x≥-1且x≠0 15. （8，4） 16. 11 17. 1 18.
三．解答题（46分）
19.解：（1）原式=2+2-2=2； （3分） 20.解：原式= 3 +6 -2
（2）原式=3+2 +1-
=3+2 +1-2 （3分）
=4． （3分） 当x=4时，
原式=2×=2×2=4．（2分）
21. 解：在直角△ABC中，BC==，
∴S△ABC=AB× BC=×5×12=30，
∵AE2+BE2=32+42=25=AB2，
∴△ABE是以AB为斜边的直角三角形，（4分）
∴∠AEB=90°，
∴S△ABE=AE×BE=×3×4=6，
∴S阴影=S△ABC-S△ABE=30-6=24．（3分）
22.解：（1）由题意得：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3km,AB=5km,
由勾股定理得：BC===4（km），
∴快递投放点B，C之间的距离为4km；（4分）
（2）设AD=BD=x km,则CD=（4-x）km,
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴32+（4-x）2=x2，
∴9+16-8x+x2=x2，
解得：x=，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为km. （4分）
23.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；（4分）
（2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴AC=12，（3分）
∵DE⊥AB， ∴S菱形ABCD=AB DE=96，
∵AB=10， ∴DE=9.6．（3分）
24.（1）证明：∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠AFE=90°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD， （ 2分）
在△ADF和△BDG中，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴∠AFD=∠G=90°，AF=BG， （ 2分）
同理可得△AFE≌△CHE，
∴AF=CH，∠AFE=∠H=90°，
∴BG=CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG为矩形． （ 2分）
（2）解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC=2DE=9，
由（1）可得，BG=AF=4，
∴若DE=4.5，AF=4，S△ABC=S矩形BCHG=4×9=36． （ 4分）

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