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第3章 一次函数 2025-2026学年湘教版八年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
3．（本题3分）将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）一次函数中，随的增大而减小，则该函数图象经过点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
8．（本题3分）将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与轴的交点坐标点是
B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为
D．若一次函数的图象经过两点，且，
9．（本题3分）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是
B．方程的解是
C．关于x的不等式的解集是
D．的解集为
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为_____．
12．（本题3分）已知点，在一次函数的图象上，则__________．（填“>”、“=”、“<”）
13．（本题3分）已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是________．
14．（本题3分）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________．
16．（本题3分）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______．
17．（本题3分）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________．
18．（本题3分）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、．
（1）若，则点的坐标为__________；
（2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________．
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）写出下列各个过程中的变量与常量：
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，；
(2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为．
20．（本题6分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示．
(1)求该车y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
21．（本题8分）已知一次函数的图象过和两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点在这个函数图象上，求．
22．（本题8分）已知直线过点，交x轴于点P，把点P先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点Q．
(1)求P点坐标．
(2)判断点Q是否在直线上，并说明理由．
23．（本题8分）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元．
(1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式；
(2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？
24．（本题8分）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点；
(1)直接写出点B的坐标为___________；
(2)求出的面积；
(3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
25．（本题10分）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价元张，每次凭卡不再收费
②银卡售价元张，每次凭卡另收元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式
(2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标
(3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算．
26．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点．
(1)求定点的坐标；
(2)当直线和线段有交点时，求的取值范围；
(3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值．
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《第3章 一次函数 2025-2026学年湘教版八年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A A C A D C
1．D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即二次根式的被开方数为非负数，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数，
∴，
解不等式得．
2．D
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意．
3．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键．
将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，
，
∴，
∴
则关于、的方程组的解为．
故选：B．
5．A
【分析】根据y随x增大而减小可得，将各选项点的坐标代入解析式求出k，即可得到符合条件的选项．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而减小，
∴．
A、当函数图象过点时，代入得 ，
解得，该选项符合题意；
B、当函数图象过点时，代入得 ，
解得，该选项不符合题意；
C、当函数图象过点时，代入得 ，
解得，该选项不符合题意；
D、当函数图象过点时，代入得 ，
解得，该选项不符合题意．
6．A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想．
根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知，当时，，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可.
【详解】解：设当时，，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题．根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C．
【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为，
在中，当时，，
∴一次函数与y轴的交点是，故A说法正确，符合题意；
∵，
∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意；
在中，当时，，
∴一次函数与x轴的交点坐标点是，
∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意；
∵，
∴在中，y的值随着x值的增大而增大，当时，，故D说法错误，不符合题意；
故选：A．
9．D
【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限，
，，
的图象比的图象上升得快，
，
的图象经过第二、四象限，
，
．
10．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论．
【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为，
当时，，
方程的解是，原说法错误，不符合题意；
B、一次函数与的图象交于点，
方程组的解是，原说法错误，不符合题意；
C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是，正确，符合题意；
D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方，
的解集为，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
11．
【分析】本题考查列函数关系式，根据“付款总金额生态瓶基础工具包费用玻璃瓶的费用”列式即可．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题意得到随的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：
一次函数 随的增大而减小，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．把两组对应值分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到一次函数解析式．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∴ 这个一次函数表达式是．
故答案为：．
14．
【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内，
∴且，
∴．
15．
【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标．
【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位，
∴新直线的解析式为
轴上的点纵坐标为，令，得
解得
因此该新直线与轴的交点坐标是．
16．
【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果．
【详解】解：直线变形可得，直线变形可得，
直线与直线的交点坐标就是方程组的解，
该方程组的解为，
两直线的交点坐标为．
17．
【分析】先将交点P的坐标代入直线：的解析式求出 m 的值，确定交点坐标，然后观察函数图像，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量 x的取值范围即可．
【详解】解：∵点在直线：上，
∴，解得，
∴ 交点 P的坐标为由函数图像可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度
∴ x的范围是 ．
18． 或
【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式；
（1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标；
（2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解．
【详解】解：（1）令中，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）将代入，得，
∴，
∴，
当时，点P的横坐标为，即；
当时，
将点代入，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
过点C作于点E，

∴，
∴点P的横坐标为，
∴，
故答案为：或．
19．(1)N和t是变量，是常量
(2)S和a是变量，2是常量
【分析】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键．
（1）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解；
（2）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解．
【详解】（1）解：和是变量，是常量；
（2）解：和是变量，是常量．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键．
（1）设，由题意知：当时，；当时，，用待定系数法即可求解；
（2）令，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：设，由题意知：当时，；当时，，
代入得，．
解得：，，
；
（2）解：令，则，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值．熟练掌握求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值是解题的关键．
（1）设一次函数的解析式为，将和两点代入求解即可；
（2）点满足函数解析式，将代入函数解析式计算即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
把和代入得，解得.，
所以此一次函数的解析式为；
（2）把代得，
所以．
22．(1)
(2)在，理由见解析
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和求函数值等知识，求出一次函数解析式是关键．
（1）把代入得，得到一次函数解析式，再把代入函数解析式即可得到答案；
（2）根据平移规律求出点Q的坐标，把点Q的横坐标代入函数解析式求出纵坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：把代入得，
解得．
所以
把代入得．
所以．
（2）解：把点 P 先向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点．Q在直线上， 理由如下∶
当时，，
所以点Q在直线上．
23．(1)；
(2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店
【分析】本题考查了一次函数的应用：
（1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式；
（2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况．
【详解】（1）解：甲商店：；
乙商店：时，；
（2）解：由，得，
解得；
由，得，
解得；
由，得，
解得．
，
当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；
当时，选择甲商店；
当时，选择乙商店．
24．(1)
(2)
(3)存在或
【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标；
（2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积．
（3）设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，用了分类讨论思想和方程思想．
【详解】（1）解：在中，令，则，
，
故答案为：；
（2）解：点，
的面积；
（3）解：存在；
设，
，
，
，
或
25．(1)银卡消费：，普通票消费：
(2)，，，
(3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算
【分析】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式；
（2）利用函数交点坐标求法分别求解即可；
（3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为，
选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式；
（2）解：由题意可得：
当，时，得：，
∴；
当时，解得：，
∴；
当时，解得：，
∴；
当时，得：，
∴；
（3）解：如图所示：由，，的坐标可得：
当时，普通票消费更划算；
当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当时，银卡消费更划算；
当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当时，金卡消费更划算．
26．(1)
(2)的取值范围是且
(3)，整数k的值为，
【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标；
（2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且；
（3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值．
【详解】（1）解：∵，
当时，，不管取任何不为0的值，均成立，
∴定点的坐标为；
（2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得，
当直线经过点时，将代入，得，解得，
∴的取值范围是且；
（3）解：设所在直线的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
∴线段所在直线的函数解析式为，
∵点是直线和直线的交点，
∴，
∴，
当是正整数时，的值可以是1，5，
∴整数k的值为，．
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