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浙江杭州市余杭区2025-2026学年下学期八年级期中独立作业数学试题
1．二次根式 中字母a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥-1 C．a<1 D．a≤-1
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A．9x=10 B． C． D．
3．某班级篮球队10名队员的鞋码(单位： cm)如下： 23， 24， 22， 22， 23， 23， 23， 23，23， 24.则这10个数据的中位数是(　　)
A．22 B．23 C．23.5 D．24
4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法错误的是(　　)
A．AB=CD B．AO=OC C．AC=BD D．∠DAB=∠BCD
5．已知实数x1，x2满足 那么以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A． B． C． D．
6．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡AB的坡比是(　　)
A． B． C．1：3 D．3：1
7．有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分.已知打8分的有1人，打9分的有2人，打8.5分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分.则打8.5分的人数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．用配方法解方程 时，经过配方后正确的是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形画作的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么x满足的方程(化为一般形式)是(　　)
A． B．
C． D．
10．已知实数a， b， c满足 则a+b+c的值是(　　)
A．8 B．14 C．18 D．28
11．若 的值为零，则x的值是　 　.
12．已知一个凸多边形的内角和是540°，则它的边数是　 　.
13．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是　 　.
14．已知长方形相邻两边的长是一元二次方程 的两个根，则这个长方形的周长是　 　.
15．如图，在一次游学活动中，小叶同学从O地出发，沿北偏东60°方向走了 到达A地，然后又沿北偏西30°方向走了500m到达目的地B地，则O，B两地的距离是　 　.
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上(AB>BE)，在AB的下方作正方形BEFG，连结DG， DF.若 AB=7 ， △DFG的面积为18，则DG的长为　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18． 解方程：
（1）
（2）
19．记 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式 的值.
20．已知某地有甲，乙两家民宿.甲民宿2025年1~6月营业额(单位：万元)分别为1.0， 2.8， 3.6， 4.4， 10， 8.2.
（1）求甲民宿的月平均营业额.
（2）为了更好地经营民宿，现利用EXCEL 助手，把甲，乙民宿上半年月营业额绘制成如图所示的箱线图，请根据箱线图，评价两家民宿的经营状况，并提出合理的优化建议.
21．如图，在 ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB， CD于点E， F，且2∠ABD=∠DBC.
（1）已知∠C=69°，求∠ADB的度数.
（2）猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.
22． 某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为 200册.参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为 6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加 1元(增加费用不超过 5元)，未被借出的图书将增加 4册；已借出的书每册月维护成本为 2元(包括消毒、修补)；未被借出的书每册月仓储管理成本为 1元.
（1）当月借阅费为10元时，求图书的借阅量；
（2）设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和(用含a的代数式表示)；
（3）若每月借阅收益为1144元，求每本书的月借阅费.
23．学习了《第 2章一元二次方程》后，小明与 DeepSeek进行了一次交流：小明问：请问，若碰到关于x的一元二次方程中，除了变量x还含有其他字母的问题，应该如何思考
DeepSeek(深度思考)：先看二次项系数是不是零(决定它是一元一次还是一元二次方程)，再根据题目要求的根的情况(比如有根的条件，有几个根，正负等)，利用一元二次方程的知识列出关于字母的不等式或方程，解字母的值并检查答案是否合理.
根据对话，解答下列问题：
已知关于x的方程 的两根为x1， x2.
（1）当k=-1时，求x1，x2的值；
（2）求证：不存在实数k，使
（3）若 的值为整数，求实数k的值.
24．如图1，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A，P在x轴正半轴上，且∠BOA=60°， OA=OB=2.
（1）求∠OAB 的度数.
（2）探究：
①过点O作OC∥BP，过点B作BC∥x轴，两平行线相交于点C，连结CP，试判断CP是否有最小值 若有，求出最小值；若没有，说明理由；
②如图2，作点P关于AB的对称点 P'，连结 PP'， BP'， AP'，若以点 O， A， B， P'为顶点的四边形面积是△APP'面积的 3倍，求点 P'的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义，
∴，
解得．
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：中，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故A不符合要求；
中，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故B不符合要求.
，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，
且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故C符合要求.
中，未知数的最高次数为3，是一元三次方程，故D不符合要求．
故答案为：C .
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程”，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这个数据按从小到大排序，为：，，，，，，，，，．
中位数为排序后第个和第个数据的平均数．
中位数为．
故答案为：B .
【分析】先将数据按从小到大排序，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），
由根与系数的关系可得，，
∴，
∴以，为根的一元二次方程是．
故答案为：A .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出b、c的值，即可得到方程解答．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
斜坡的坡比是．
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出的长，再根据坡比的定义解答即可．
7．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总共有7位评委，
打10分的人数为，
平均分为9分，根据加权平均数计算公式可得：，
化简左边分子得： ，
，
解得 ，
即 .
打分的人数是2．
故答案为：B .
【分析】根据加权平均数公式列方程求出打8.5分的人数解答即可．
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得 ，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得，
整理左侧为完全平方式，得．
故答案为：D .
【分析】先移项，然后加上一次项系数一半的平方，将等号左边写成完全平方公式的形式解答即可.
9．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为，
依题意得：，
，
故答案为：B .
【分析】设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程，整理即可解答．
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：，
两边同乘以，得，
移项，得，
变形，得，
利用完全平方公式合并，得，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：D .
【分析】将等式化为，结合偶次方的非负数求出a，b，c的值，然后代入求和即可．
11．【答案】x＝2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵二次根式的值为0，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】根据0的算术平方根是0解答即可．
12．【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2) ×180°=540°，
解之得，n=5．
故答案为：5 .
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
13．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的组内离差平方和：；
计算第二组的平均数：，
第二组的组内离差平方和：；
总的组内离差平方和为．
故答案为：4 .
【分析】先计算两组数据的组内离差平方和，然后相加解答即可.
14．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设长方形的两边长为a，b，则a，b是的两根，
∴a+b=5，
长方形周长为
故答案为：10 .
【分析】设长方形的两边长为a，b，根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=5，然后计算长方形的周长即可．
15．【答案】1000m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过B点作直线，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形．
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】过B点作直线，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABE的度数，然后根据角的和差求出∠ABC=90°，然后根据勾股定理解答即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长，交于点H，则，
∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵的面积为18，
∴，即，
解得(舍去)，
∴，
在中，．
故答案为： .
【分析】延长，交于点H，则，即可得到四边形是矩形，进而可得，，根据的面积为18求出AH长，然后根据勾股定理求出的长即可．
17．【答案】（1）解：原式＝3－＋2＝3＋
（2）解：原式＝4－6＝－2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）利用乘法分配律展开，然后根据二次根式的乘法计算，最有运算加减解答即可.
18．【答案】（1）解：2－5x＝0
x（2x－5）＝0
（2）解：（x＋1）（3x－4）＝0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项后提取公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法分解因式，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】解：，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】先估算 求出m和n的值，再利用平方差公式求出代数式的值解答即可．
20．【答案】（1）解：月平均营业额；
（2）解：只要学生从箱线图出发，讲得有理有据都给满分.如：箱线图中甲民宿的箱体略长于乙民宿，说明甲民宿中间50%的月份营业额波动更大，收入的中间部分稳定性不如乙民宿.
【知识点】平均数及其计算；箱线图
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义计算即可；
（2）根据箱线图的特征提出合理建议解答即可．
21．【答案】（1）解：在 ABCD中
∠C＋∠ABC＝180°
∴∠ABC＝180°－69°＝111°
∴∠ADB＝∠CBD＝
（2）解：AE＝CF.
在□ABCD中
OB＝OD，DC∥AB，DC＝AB
∴∠BDF＝∠DBE
∵∠DOF＝∠BOE
∴△BOE≌△DOF
∴DF＝BE，∴DC－DF＝AB－BE，即CF＝AE
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出∠ABC的度数，然后根据角的份数比求出∠ADB的度数即可；
（2）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到DF=BE，然后根据角的和差解答即可．
22．【答案】（1）解：10－6＝4，4×4＝16，
∴借出的图书为：200－16＝184（册）
（2）解：∵每本书的月借阅费增加a元，
∴未被借出的书为4a（册），
借出的书为（200－4a）册，
则月维护与管理成本的总和为：2×（200－4a）＋4a
整理 得 400－8a＋4a＝400－4a
∴该图书室月维护与管理成本的总和为：400－4a（元）.
（3）解：设每本书的月借阅费为x元，则有：
该月未被借出的图书册数为：（x－6）×4，
可列方程：（x－2）×[200－（x－6）×4]－（x－6）×4＝1144，
解得：x1＝8，x2＝49（舍去），
∴当每本书的月借阅费为8元时，该图书室的收益为1144元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据“ 月借阅费每增加 1元(增加费用不超过 5元)，未被借出的图书将增加 4册 ”列算式计算即可；
（2）设每本书的月借阅费增加a元，借出的图书数量为册，最后，然后根据月维护与管理成本求和解答即可；
（3）设每本书的月借阅费为x元，根据“借出书的单本利润借出的图书数量-未被借出的书单本管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润”列方程，求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：当时，
∴
解得：，
（2）证明：根据题意得x1＋x2＝1，x1·x2＝
∵（2x1－x2）（x1－2x2）＝－
2（x1＋x2）2－9x1x2＋＝0
2－9×＋＝0
解得k＝
又∵ b2－4ac＝（－4k）2－4×4k×（k＋1）≥0，
解得 k≤0
∵k≠0
∴k＜0
∴不存在实数k满足要求.
（3）解：＋－2＝－2＝－2＝，
∵该式的值为整数，且k＜0
∴k＝－2或k＝－3或k＝－5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）代入，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据根与系数的关系得， ，然后按照多项式的乘法法则展开，整体代入求出k值，再根据和，判断解答即可．
（3）把根与系数的关系代入代数式值化为，根据，得到整数k的值解答即可．
24．【答案】（1）解：∵∠BOA＝60°，OA＝OB＝2
∴△AOB为正三角形，
∴ ∠OAB ＝60°
（2）解：①如图，作于点，作交于点，
∵是等边三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴的最小值为，
∵轴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值为；
②（Ⅰ）当点在点的左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设与的交点为点，，
由①可知，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，垂直平分，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，，
∵四边形的面积是面积的三倍，
∴，
解得（负值，舍去），
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∴点的坐标为；
（Ⅱ）当点在点的右侧时，如图，作轴于点，设，
由折叠的性质可得，，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
由勾股定理可得， ，
∴，，
由（Ⅰ）可知，，
∵四边形的面积是面积的三倍，
∴，
解得（负值，舍去），
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）得到△AOB为正三角形，即可得到结论；
（2）①作于点，作交于点，根据勾股定理求出BE长，根据垂线段最短可得的最小值为，然后推理得到四边形是平行四边形，根据对边相等解答即可；
②分两类讨论，当点在点的左侧时，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设与的交点为点，，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，．根据折叠可得，根据题意列方程求出a的值．进而求出AF，OF，P'F的长，得到点P'的坐标；当点在点的右侧时，作轴于点，设，同样的方法解答即可．
1 / 1浙江杭州市余杭区2025-2026学年下学期八年级期中独立作业数学试题
1．二次根式 中字母a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥-1 C．a<1 D．a≤-1
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义，
∴，
解得．
故答案为：B .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A．9x=10 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：中，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故A不符合要求；
中，分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故B不符合要求.
，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，
且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故C符合要求.
中，未知数的最高次数为3，是一元三次方程，故D不符合要求．
故答案为：C .
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的次数最高为2次的整式方程是一元二次方程”，据此解答即可.
3．某班级篮球队10名队员的鞋码(单位： cm)如下： 23， 24， 22， 22， 23， 23， 23， 23，23， 24.则这10个数据的中位数是(　　)
A．22 B．23 C．23.5 D．24
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这个数据按从小到大排序，为：，，，，，，，，，．
中位数为排序后第个和第个数据的平均数．
中位数为．
故答案为：B .
【分析】先将数据按从小到大排序，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，据此解答即可．
4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法错误的是(　　)
A．AB=CD B．AO=OC C．AC=BD D．∠DAB=∠BCD
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可．
5．已知实数x1，x2满足 那么以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），
由根与系数的关系可得，，
∴，
∴以，为根的一元二次方程是．
故答案为：A .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出b、c的值，即可得到方程解答．
6．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡AB的坡比是(　　)
A． B． C．1：3 D．3：1
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
斜坡的坡比是．
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出的长，再根据坡比的定义解答即可．
7．有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分.已知打8分的有1人，打9分的有2人，打8.5分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分.则打8.5分的人数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总共有7位评委，
打10分的人数为，
平均分为9分，根据加权平均数计算公式可得：，
化简左边分子得： ，
，
解得 ，
即 .
打分的人数是2．
故答案为：B .
【分析】根据加权平均数公式列方程求出打8.5分的人数解答即可．
8．用配方法解方程 时，经过配方后正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得 ，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得，
整理左侧为完全平方式，得．
故答案为：D .
【分析】先移项，然后加上一次项系数一半的平方，将等号左边写成完全平方公式的形式解答即可.
9．如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形画作的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么x满足的方程(化为一般形式)是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为，
依题意得：，
，
故答案为：B .
【分析】设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程，整理即可解答．
10．已知实数a， b， c满足 则a+b+c的值是(　　)
A．8 B．14 C．18 D．28
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：，
两边同乘以，得，
移项，得，
变形，得，
利用完全平方公式合并，得，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为：D .
【分析】将等式化为，结合偶次方的非负数求出a，b，c的值，然后代入求和即可．
11．若 的值为零，则x的值是　 　.
【答案】x＝2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵二次根式的值为0，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】根据0的算术平方根是0解答即可．
12．已知一个凸多边形的内角和是540°，则它的边数是　 　.
【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2) ×180°=540°，
解之得，n=5．
故答案为：5 .
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
13．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是　 　.
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的组内离差平方和：；
计算第二组的平均数：，
第二组的组内离差平方和：；
总的组内离差平方和为．
故答案为：4 .
【分析】先计算两组数据的组内离差平方和，然后相加解答即可.
14．已知长方形相邻两边的长是一元二次方程 的两个根，则这个长方形的周长是　 　.
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设长方形的两边长为a，b，则a，b是的两根，
∴a+b=5，
长方形周长为
故答案为：10 .
【分析】设长方形的两边长为a，b，根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=5，然后计算长方形的周长即可．
15．如图，在一次游学活动中，小叶同学从O地出发，沿北偏东60°方向走了 到达A地，然后又沿北偏西30°方向走了500m到达目的地B地，则O，B两地的距离是　 　.
【答案】1000m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过B点作直线，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形．
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】过B点作直线，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABE的度数，然后根据角的和差求出∠ABC=90°，然后根据勾股定理解答即可.
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上(AB>BE)，在AB的下方作正方形BEFG，连结DG， DF.若 AB=7 ， △DFG的面积为18，则DG的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长，交于点H，则，
∵四边形和四边形均是正方形，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵的面积为18，
∴，即，
解得(舍去)，
∴，
在中，．
故答案为： .
【分析】延长，交于点H，则，即可得到四边形是矩形，进而可得，，根据的面积为18求出AH长，然后根据勾股定理求出的长即可．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式＝3－＋2＝3＋
（2）解：原式＝4－6＝－2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）利用乘法分配律展开，然后根据二次根式的乘法计算，最有运算加减解答即可.
18． 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：2－5x＝0
x（2x－5）＝0
（2）解：（x＋1）（3x－4）＝0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项后提取公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法分解因式，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．记 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式 的值.
【答案】解：，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】先估算 求出m和n的值，再利用平方差公式求出代数式的值解答即可．
20．已知某地有甲，乙两家民宿.甲民宿2025年1~6月营业额(单位：万元)分别为1.0， 2.8， 3.6， 4.4， 10， 8.2.
（1）求甲民宿的月平均营业额.
（2）为了更好地经营民宿，现利用EXCEL 助手，把甲，乙民宿上半年月营业额绘制成如图所示的箱线图，请根据箱线图，评价两家民宿的经营状况，并提出合理的优化建议.
【答案】（1）解：月平均营业额；
（2）解：只要学生从箱线图出发，讲得有理有据都给满分.如：箱线图中甲民宿的箱体略长于乙民宿，说明甲民宿中间50%的月份营业额波动更大，收入的中间部分稳定性不如乙民宿.
【知识点】平均数及其计算；箱线图
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义计算即可；
（2）根据箱线图的特征提出合理建议解答即可．
21．如图，在 ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB， CD于点E， F，且2∠ABD=∠DBC.
（1）已知∠C=69°，求∠ADB的度数.
（2）猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：在 ABCD中
∠C＋∠ABC＝180°
∴∠ABC＝180°－69°＝111°
∴∠ADB＝∠CBD＝
（2）解：AE＝CF.
在□ABCD中
OB＝OD，DC∥AB，DC＝AB
∴∠BDF＝∠DBE
∵∠DOF＝∠BOE
∴△BOE≌△DOF
∴DF＝BE，∴DC－DF＝AB－BE，即CF＝AE
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出∠ABC的度数，然后根据角的份数比求出∠ADB的度数即可；
（2）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到DF=BE，然后根据角的和差解答即可．
22． 某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为 200册.参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为 6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加 1元(增加费用不超过 5元)，未被借出的图书将增加 4册；已借出的书每册月维护成本为 2元(包括消毒、修补)；未被借出的书每册月仓储管理成本为 1元.
（1）当月借阅费为10元时，求图书的借阅量；
（2）设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和(用含a的代数式表示)；
（3）若每月借阅收益为1144元，求每本书的月借阅费.
【答案】（1）解：10－6＝4，4×4＝16，
∴借出的图书为：200－16＝184（册）
（2）解：∵每本书的月借阅费增加a元，
∴未被借出的书为4a（册），
借出的书为（200－4a）册，
则月维护与管理成本的总和为：2×（200－4a）＋4a
整理 得 400－8a＋4a＝400－4a
∴该图书室月维护与管理成本的总和为：400－4a（元）.
（3）解：设每本书的月借阅费为x元，则有：
该月未被借出的图书册数为：（x－6）×4，
可列方程：（x－2）×[200－（x－6）×4]－（x－6）×4＝1144，
解得：x1＝8，x2＝49（舍去），
∴当每本书的月借阅费为8元时，该图书室的收益为1144元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据“ 月借阅费每增加 1元(增加费用不超过 5元)，未被借出的图书将增加 4册 ”列算式计算即可；
（2）设每本书的月借阅费增加a元，借出的图书数量为册，最后，然后根据月维护与管理成本求和解答即可；
（3）设每本书的月借阅费为x元，根据“借出书的单本利润借出的图书数量-未被借出的书单本管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润”列方程，求出x的值解答即可．
23．学习了《第 2章一元二次方程》后，小明与 DeepSeek进行了一次交流：小明问：请问，若碰到关于x的一元二次方程中，除了变量x还含有其他字母的问题，应该如何思考
DeepSeek(深度思考)：先看二次项系数是不是零(决定它是一元一次还是一元二次方程)，再根据题目要求的根的情况(比如有根的条件，有几个根，正负等)，利用一元二次方程的知识列出关于字母的不等式或方程，解字母的值并检查答案是否合理.
根据对话，解答下列问题：
已知关于x的方程 的两根为x1， x2.
（1）当k=-1时，求x1，x2的值；
（2）求证：不存在实数k，使
（3）若 的值为整数，求实数k的值.
【答案】（1）解：当时，
∴
解得：，
（2）证明：根据题意得x1＋x2＝1，x1·x2＝
∵（2x1－x2）（x1－2x2）＝－
2（x1＋x2）2－9x1x2＋＝0
2－9×＋＝0
解得k＝
又∵ b2－4ac＝（－4k）2－4×4k×（k＋1）≥0，
解得 k≤0
∵k≠0
∴k＜0
∴不存在实数k满足要求.
（3）解：＋－2＝－2＝－2＝，
∵该式的值为整数，且k＜0
∴k＝－2或k＝－3或k＝－5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）代入，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据根与系数的关系得， ，然后按照多项式的乘法法则展开，整体代入求出k值，再根据和，判断解答即可．
（3）把根与系数的关系代入代数式值化为，根据，得到整数k的值解答即可．
24．如图1，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A，P在x轴正半轴上，且∠BOA=60°， OA=OB=2.
（1）求∠OAB 的度数.
（2）探究：
①过点O作OC∥BP，过点B作BC∥x轴，两平行线相交于点C，连结CP，试判断CP是否有最小值 若有，求出最小值；若没有，说明理由；
②如图2，作点P关于AB的对称点 P'，连结 PP'， BP'， AP'，若以点 O， A， B， P'为顶点的四边形面积是△APP'面积的 3倍，求点 P'的坐标.
【答案】（1）解：∵∠BOA＝60°，OA＝OB＝2
∴△AOB为正三角形，
∴ ∠OAB ＝60°
（2）解：①如图，作于点，作交于点，
∵是等边三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴的最小值为，
∵轴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值为；
②（Ⅰ）当点在点的左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设与的交点为点，，
由①可知，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，垂直平分，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，，
∵四边形的面积是面积的三倍，
∴，
解得（负值，舍去），
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∴点的坐标为；
（Ⅱ）当点在点的右侧时，如图，作轴于点，设，
由折叠的性质可得，，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
由勾股定理可得， ，
∴，，
由（Ⅰ）可知，，
∵四边形的面积是面积的三倍，
∴，
解得（负值，舍去），
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）得到△AOB为正三角形，即可得到结论；
（2）①作于点，作交于点，根据勾股定理求出BE长，根据垂线段最短可得的最小值为，然后推理得到四边形是平行四边形，根据对边相等解答即可；
②分两类讨论，当点在点的左侧时，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设与的交点为点，，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，．根据折叠可得，根据题意列方程求出a的值．进而求出AF，OF，P'F的长，得到点P'的坐标；当点在点的右侧时，作轴于点，设，同样的方法解答即可．
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