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浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年九年级下册开学数学试卷
1．已知-3的相反数是a，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．-1
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵ -3的相反数是a，
∴a=-(-3)=3.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义，计算出-3的相反数为3，从而确定a=3．
2．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图标含“CASC”文字，文字部分不满足轴对称（不是轴对称图形），旋转180°后文字倒置（不是中心对称图形），A错误；
B、图形沿水平/竖直中线对折，图形可完全重合（是轴对称图形）；绕中心旋转180°后，图形与自身完全重合（是中心对称图形），B正确；
C、图形的火箭沿竖直中线对折不可重合（不是轴对称图形），旋转180°后火箭方向倒置，无法重合（不是中心对称图形），C错误；
D、宇航员图案不对称，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D错误．
故答案为：B.
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别判断每个选项是否满足两个条件，最终确定B符合条件．
3．DeepSeek-V3是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为6850亿.数据68500000000用科学记数法表示为（　　）
A．68.5×1010 B．6.85×1010 C．6.85×1011 D．0.685×1011
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：68500000000=6.85×1010.
故答案为：B.
【分析】先根据科学记数法的定义，即形式为a×10n且1≤∣a∣<10，再将原数68500000000的小数点向左移动10位，得到a=6.85，指数n=10，从而写出科学记数法的正确形式6.85×1010．
4．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，几何体分为左，中，右三列：
左列：有2层（上下各1个小正方体）；
中列：只有1层（1个小正方体）；
右列：有2层（上下各1个小正方体）．
因此，主视图的结构为：底层3个正方形，上层在左右两列各1个正方形，中间无正方形．
故答案为：A.
【分析】先根据主视图的定义，即从正面观察几何体得到的视图，再按列分析几何体的层数，左列2层，中列1层，右列2层，据此确定主视图的结构．
5．给出下列等式，其中正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a2 a3=a6 C．a2+a3=a5 D．3a2-a2=2a2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a2×3=a6≠a5，A错误；
B、a2 a3=a2+3=a5≠a6，B错误；
C、a2与a3不是同类项，不能直接合并，C错误；
D、3a2-a2=(3-1)a2=2a2，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方运算法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘），同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），同类项的定义（如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项），合并同类项的法则（合并同类项，系数相减，字母和指数不变）逐项判断即可得出结论．
6．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似比为，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长之比是.
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的性质，由位似比得到两个四边形的相似比为，再根据相似多边形的周长比等于相似比，得出四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为．
7．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
8．已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，全等的理由为（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹分析：
（1）以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧交于AC，AB；
（2）截取弧与AC，AB的交点为半径，以弧与AB的交点为圆心画弧交于前弧；
（3）过A和两弧交点作射线；
（4）同理，过B和两弧交点作射线；
（5）两射线相交于点D.
由作图可知，∠CAB=∠BAD，∠ABC=∠ABD.
因此，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（ASA）．
故答案为：D.
【分析】先观察尺规作图痕迹，还原作图过程，并得到∠CAB=∠BAD和∠ABC=∠ABD，再结合公共边AB=AB，根据三角形全等的ASA判定定理，得出△ABC≌△ABD．
9．如图，在△ABC中，CA=CB，，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转2α，得到△A'BC'，连结CC'，当C，C'、A'三点共线时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=α，
∴∠ACB=180°-2α．
∵将△ABC绕点B逆时针旋转2α得到△A'BC'，
∴BC=BC'，，∠A'C'B=∠ACB=180°-2α，旋转角∠CBC'=2α．
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，底角．
∵C，C'，A'三点共线，
∴∠BC'C+∠A'C'B=180°，即(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，
∴旋转角∠CBC'=2α=60°．
设CD交AB于D，
∵CA=CB，
∴D为AB中点，．
在Rt△BCD中，，即，解得BC=4，
∴的半径r=BC=4，圆心角n=60°，根据弧长公式，得．
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形性质，得到∠ACB=180°-2α；再根据旋转的性质和等腰三角形底角公式求出∠BC'C=90°-α；接着利用C，C'，A'三点共线的条件，建立方程(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，从而得到圆心角∠CBC'=60°；然后在Rt△BCD中，利用，解得半径BC=4；最后代入弧长公式，计算得弧长为 ．
10．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动.当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2.已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　）
A．BD=10cm
B．曲线GH的函数表达式为
C．点F的运动速度为1cm/s
D．若秒，则△BEF∽△BCD
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、点E的速度为2cm/s，从D→A→B运动，AB=6cm，因此E从D到A的时间为t=4s（对应图2中H点横坐标为4），说明AD=2×4=8cm．矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，则对角线，A正确；
B、t=4s时，E到达A点，E继续向B运动，AE=2(t-4)，EB=6-2(t-4)=14-2t．
F运动的距离DF=tcm，FB=10-t，F到AB的距离为（由相似三角形比例）．
△DEF的面积.设E到BD的距离为hE，则，结合E在AB段的位置，最终可得： ，B正确；
C、点F沿D→B匀速运动，当t=4s时，△DEF的面积cm2．此时E在A点，DE=AD=8cm，设F到AD的距离为h，则，解得cm．
由相似三角形，，即，解得DF=4cm，因此F的速度为cm/s，C正确；
D、时，E在AD段（t≤4），cm，cm，cm．
F运动的距离cm，cm．
若△BEF～△BCD，则需满足，即，计算得，故不相似，D错误．
故答案为：D.
【分析】先通过点E在t=4s时到达A点，求出矩形的边长AD=8cm，进而得到对角线BD=10cm；再根据t=4s时的面积求出点F的速度为1cm/s；接着根据点E在AB段的运动情况，推导出曲线GH的函数表达式；最后验证时△BEF与△BCD的相似性，得出D错误．
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
12．不等式组：的解集为　 　 .
【答案】-3＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x>-3
解不等式②，得x≤4
∴不等式的解集为-3故答案为：-3＜x≤4.
【分析】先分别解不等式①得x>-3，解不等式②得x≤4；再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集为-313．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，
b， c画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以取自同一套的概率为：.
故答案为：.
【分析】令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，b， c，然后画树状图进行分析，可得出共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
14．反比例函数经过点A（4，1），部分图象如图所示.当x＞4时，y的取值范围为　 　 .
【答案】0＜y＜1
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点A(4，1)代入反比例函数，得，解得k=4，
∴反比例函数解析式为．
∵反比例函数中，k=4>0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小．
当x=4时，y=1；
当x>4时，根据函数的单调性，y的值会小于1．同时，函数图象在第一象限，y>0．
因此，x>4时，y的取值范围是0＜y＜1．
故答案为：0＜y＜1.
【分析】先通过点A(4，1)求出反比例函数的解析式，再根据k=4>0判断出函数在第一象限内y随x的增大而减小，最后结合x>4的条件，确定此时y的取值范围为015．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式：
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【应用体验】
已知（x-3）6=x6+mx5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729，则m的值为　 　 .
【答案】-18
【知识点】多项式的项、系数与次数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据二项式展开公式：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
令a=x，b=-3，则：(x-3)6=x6+6x5(-3)+15x4(-3)2+……
其中x5项的系数m=6×(-3)=-18．
故答案为：-18.
【分析】先根据题目给出的“杨辉三角”（二项式展开）公式，明确(a+b)6的展开式结构；再将(x-3)6看作(a+b)6的形式（令a=x，b=-3）；最后找到展开式中x5项的对应部分，计算其系数m=6×(-3)即可．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=120°，AB=AD，BC=CD=2，点P是CD延长线上的一点，连结BP，△BEP与△BCP关于直线BP对称.当EP经过点A时，线段CP长为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ △BEP与△BCP关于直线BP对，
∴△BEP≌△BCP，
∴BE=BC=2，∠BEP=∠BCP=120°，∠EBP=∠CBP．
过C作CH⊥BD于H，过B作BF⊥PE，交PE的延长线于点F．
∵在等腰△BCD中，BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴∠BCH=60°，，
∴．
∵在等腰Rt△BAD中，BA=AD，∠BAD=90°，，
∴.
∵∠BEP=120°，
∴，
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，，由勾股定理，得.
在Rt△ABF中，，，由勾股定理，得，
∴AF=BF，△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°．
∴∠ABE=∠ABF-∠EBF=45°-30°=15°．
在等腰Rt△ABD中，∠ABD=45°，在等腰△BCD中，∠CBD=30°，
由轴对称，∠EBP=∠CBP，即∠ABE+∠ABP=∠CBD+(∠ABD-∠ABP)，
代入∠ABE=15°，∠CBD=30°，∠ABD=45°，得15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°．
∴∠DBP=∠ABD-∠ABP=45°-30°=15°．
在△BDP中，∠BDC是外角，∠BDC=30°，
∴∠BDC=∠DBP+∠BPD，
代入∠BDC=30°，∠DBP=15°，得∠BPD=15°．
∴∠DBP=∠BPD，
∴．
∴.
故答案为：.
【分析】先利用轴对称的性质，得到△BEP≌△BCP，推出BE=2，∠BEP=120°；接着在等腰△BCD中，通过作垂线构造含60°的直角三角形，计算得，再结合等腰Rt△BAD的性质，求出；同时过B作BF⊥PE，在Rt△BEF中，利用30°角的性质得到EF=1，，再通过勾股定理计算得，证明△ABF为等腰直角三角形，得到∠ABF=45°，进而算出∠ABE=15°；再结合∠EBP=∠CBP的关系，建立角度方程15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°，推出∠DBP=15°；再利用三角形外角性质，由∠BDC=30°得到∠BPD=15°，根据“等角对等边”得；最后根据CP=CD+DP，代入CD=2，，计算得．
17．计算：.
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负指数幂的运算法则，等于；再根据绝对值的性质，因为，所以；然后根据零指数幂的运算法则，；最后将各项结果代入原式进行加减运算，得到．
18．解方程组.
【答案】解：，
①+②，得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入②，得y=3，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法，直接相加把不等式①与不等式②相加减消去未知数y，解得x=2；再把x=2代入不等式②中，解得y=3，从而得到方程组的解 .
19．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
20．为迎接温州市“小数学家”评比，某校举办了校内说题比赛.参与比赛的学生的成绩分为优秀（20分）、良好（16分）、及格 、不及格 四个等级.现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行分析统计，根据分析统计结果绘制成如下两幅统计图.
八、九年级学生得分情况综合统计表
年级 平均数 中位数 众数
八 a b 12
九 14.4 16 c
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　.
（2）若该校九年级参与比赛的学生共有140人，请你估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共多少人.
【答案】（1）14.8；14；16
（2）解：九年级抽取的20名学生中，良好（16分）及优秀（20分）的人数为7+4=11人，占比为．
九年级共有140人参赛，因此良好及以上人数约为人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解： (1)根据扇形统计图可知，八年级抽取了20名学生中，
8分的有：20×10%=2（人）；
20分的有：20×30%=6（人）；
12分的有：20-2-6-4=8（人）；
16分的有：20-2-6-8=4（人）．
平均数： .
20个数据按从小到大排列，中位数是第10，11个数据的平均数．
8分（2人）→12分（8人，累计10人）→第10，11个数据为12分和16分，
因此 .
九年级条形统计图中，16分的人数最多（7人），因此众数c=16．
故答案为：14.8；14；16 .
【分析】(1)先根据八年级扇形统计图，算出各分数段的人数8分2人，20分6人，12分8人，16分4人，再利用平均数公式求出a=14.8；接着将八年级20个成绩从小到大排列，取第10，11个数的平均数得到中位数b=14；最后根据九年级条形统计图，找出出现次数最多的分数，确定众数c=16．
(2)先从九年级条形统计图中，算出样本里“良好及以上”的人数11人和占比；再用这个占比去乘以九年级总人数140，从而估计出总体中“良好及以上”的人数22人．
21．同选材料：对实数a、b，定义F（a，b）的含义为：
例如：F（2，3）=2+3=5，F（3，2）=3-2=1.
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若F（x2，-1）=5，求x的值.
（2）已知m+n=10，且m＞n，求F（4，m）-F（5，n）的值.
【答案】（1）解：∵x2≥0，而-1<0，
∴x2≥-1，
适用F(a，b)=a-b的规则，即F(x2，-1)=x2-(-1)=x2+1
∵F（x2，-1）=5
∴x2+1=5，解得x=±2
（2）解：∵m+n=10且m>n，
又由m>n可得m>10-m，解得m>5，
∴n=10-m<5．
对于F(4，m)：
∵m>5，∴4对于F(5，n)：
∵n<5，∴5>n，适用F(a，b)=a-b的规则，即F(5，n)=5-n
∴F(4，m)-F(5，n)=(4+m)-(5-n)=4+m-5+n=(m+n)-1，代入m+n=10，得(m+n)-1=10-1=9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】 (1)先根据定义新运算的规则，判断a和b的大小关系；再结合x2的非负性，判断出x2≥-1，从而确定适用F(a，b)=a-b的公式；接着代入公式得到方程x2+1=5，最后通过开平方解方程x2+1=5求出x=±2；
(2)先根据已知条件m+n=10且m>n，分析出m>5，n<5的取值范围；再分别判断4与m，5与n的大小关系，确定F(4，m)和F(5，n)分别适用的运算公式；接着将两个运算结果F(4，m)=4+m和F(5，n)=5-n代入原式，通过去括号，合并同类项化简得到表达式F(4，m)-F(5，n)=(m+n)-1；最后利用m+n=10整体代入，求出最终结果F(4，m)-F(5，n)=9．
22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F在线段DO上，以AF为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连结OE.
（1）求证：∠AOE=45°.
（2）连结BE，若，求线段DF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AOD∽△AEF，∠FAE=45°，
∴，
即，
∵∠DAO=∠FAE=45°，
∴∠DAO-∠FAO=∠FAE-∠FAO，
即∠DAF=∠OAE，
∴△ADF∽△AOE，
∴∠AOE=∠ADF=45°
（2）解：已知AB=8，则正方形对角线，．
由（1）知△ADF∽△AOE，故，即．
在△BOE中，，，∠BOE=90°-∠AOE=45°．
过E作EH⊥OB于H，连接BE，则△EHO为等腰直角三角形，
设EH=OH=x，则．
在Rt△EHB中，由勾股定理，得，
即，解得或（舍去，因F在DO上，对应E位置应取较小值），
故，
因此
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1) 先根据正方形和等腰直角三角形的性质，得到∠DAO=45°，∠FAE=45°，△AOD∽△AEF，并得到对应边的比例关系和角度关系∠DAO=∠FAE；再通过角度相减，得到夹角相等∠DAF=∠OAE，证明△ADF与△AOE相似；最后利用相似三角形的对应角相等∠AOE=∠ADF，得出∠AOE=45°．
(2) 先利用正方形的边长求出对角线和半对角线长度，即，．；再结合（1）中的△ADF∽△AOE，得到DF与OE的比例；接着通过作垂线构造等腰直角三角形Rt△EHB，利用勾股定理求出；最后代入比例关系，计算出．
23．已知二次函数y=ax2+bx+6（a＜0）的图象经过点A（4，6）.
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）若y=ax2+bx+6的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数y1，当-2＜x＜2时，求y1的取值范围.
（3）若存在直线l与抛物线交于点M（x1，m），点N（x2，m），当0≤x2-x1≤8时，m有最大值8，求a的值及m的最小值.
【答案】（1）解：已知二次函数 y=ax2+bx+6 经过点A(4，6)，代入得6=a-42+b×4+6，解得b=-4a . 二次函数对称轴公式为，将b=-4a代入. 因此，对称轴为直线x=2
（2）解：已知函数最大值为10，对称轴为x=2，a<0，因此顶点为(2，10)，函数可写为顶点式，代入点A(4，6)，得，解得，因此原函数为．
当向左平移3个单位时，得到新函数为，则该函数对称轴为x=-1，开口向下．
当-2x=-1时，y1取最大值10；
x=2时，y1=-(2+1)2+10=1；
x=-2时，y1=-(-2+1)2+10=9．因此当-2（3）解：点M(x1，m)，N(x2，m)在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为x=2，因此，即x1+x2=4.
已知0≤x2-x1≤8，设d=x2-x1，则x2=x1+d，代入x1+x2=4，得，.
，代入b=-4a，得，化简得.
因为a<0，所以m随d的增大而减小，
当d=8时，m取最大值8，即，解得.
此时函数为，开口向下，与y轴交点为(0，6)，顶点为(2，8)．
当x1=0，x2=4时，m=6；
当x1=-2，x2=6时，m=0．
因此m的最小值为0．
因此，m的最小值为0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1)先将点A(4，6)代入函数，得到a和b的关系b=-4a，再利用二次函数对称轴公式，代入化简后求出对称轴为x=2；
(2)先根据最大值和对称轴写出顶点式，代入点A求出a=-1；再通过平移得到新函数y1=-(x+1)2+10；最后分析在区间-2(3)先根据抛物线上两点纵坐标相等，推出两点关于对称轴对称，结合0≤x2-x1≤8的范围，将m表示为d=x2-x1的函数；再利用a<0时m随d增大而减小，结合d=8时m=8求出；最后分析函数在区间内的最小值，得出m的最小值为0．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点P在边CD上，△BCP的外接圆分别交AP，AB于点E，F，连接CE，EF，CF.
（1）求证：△ECF∽△DAP.
（2）当DP=2时，求△ECF的面积.
（3）连接BE，令x=tan∠ECF，，求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴CF为直径，
∴∠CEF=90°，
∴∠D=∠CEF，
∵四边形PEFB为圆的内接四边形，
∴∠DPA=∠EFC，
∴△EFC∽△DAP
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=4，∠BCD=90°.
∵DP=2，
∴CP=CD-DP=6.
在△BCP中，由勾股定理，得.
∴.
在△ADP中，由勾股定理，得.
∵△EFC∽△DAP，
∴.
∵.
∴
（3）解：如图，
∵△ECF∽△DAP，
∴∠DAP=∠ECF，
∴，
∴DP=4x，
∴CP=8-4x.
在△PCB和△FBC中，
∴△PCB≌△FBC（ASA）.
∴BF=CP=8-4x.
∴AF=4x.
∴.
∵CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB，即∠DPA=∠EAF.
又∠DPA=∠EFC，且∠EFC=∠EBC
∴∠EAF=∠EBC.
∵四边形EFBC为内接四边形，
∴∠EFA=∠ECB，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】 (1) 先根据矩形的性质得到∠ABC=∠D=90°，再利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠CEF=90°，从而得到∠D=∠CEF；接着利用圆内接四边形的性质，得到∠DPA=∠EFC；最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明 △ECF∽△DAP；
(2) 先根据矩形和勾股定理求出，即与，再利用△ECF∽△DAP的相似关系，得到面积比为相似比的平方；最后代入，计算出△ECF的面积为．
(3)先利用tan∠ECF与△DAP的对应边关系，得到DP=4x，进而求出CP=8-4x，BF=CP=8-4x，AF=4x；再通过证明△PCB≌△FBC，和利用平行线的性质和圆内接四边形性质证明△AEF∽△BEC，得到相似比，最后利用三角形面积比和相似三角形的面积比性质，得到，化简得到y=-x2+2x．
1 / 1浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年九年级下册开学数学试卷
1．已知-3的相反数是a，则a的值为（　　）
A．3 B． C． D．-1
2．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．DeepSeek-V3是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为6850亿.数据68500000000用科学记数法表示为（　　）
A．68.5×1010 B．6.85×1010 C．6.85×1011 D．0.685×1011
4．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．给出下列等式，其中正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a2 a3=a6 C．a2+a3=a5 D．3a2-a2=2a2
6．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比是（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，全等的理由为（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．如图，在△ABC中，CA=CB，，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转2α，得到△A'BC'，连结CC'，当C，C'、A'三点共线时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E，F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动.当点F出发t秒时，△DEF的面积为ycm2.已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（　　）
A．BD=10cm
B．曲线GH的函数表达式为
C．点F的运动速度为1cm/s
D．若秒，则△BEF∽△BCD
11．分解因式：　 　．
12．不等式组：的解集为　 　 .
13．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是　 　．
14．反比例函数经过点A（4，1），部分图象如图所示.当x＞4时，y的取值范围为　 　 .
15．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式：
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【应用体验】
已知（x-3）6=x6+mx5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729，则m的值为　 　 .
16．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=120°，AB=AD，BC=CD=2，点P是CD延长线上的一点，连结BP，△BEP与△BCP关于直线BP对称.当EP经过点A时，线段CP长为　 　 .
17．计算：.
18．解方程组.
19．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
20．为迎接温州市“小数学家”评比，某校举办了校内说题比赛.参与比赛的学生的成绩分为优秀（20分）、良好（16分）、及格 、不及格 四个等级.现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行分析统计，根据分析统计结果绘制成如下两幅统计图.
八、九年级学生得分情况综合统计表
年级 平均数 中位数 众数
八 a b 12
九 14.4 16 c
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　.
（2）若该校九年级参与比赛的学生共有140人，请你估计该校九年级学生的说题成绩为良好及以上的共多少人.
21．同选材料：对实数a、b，定义F（a，b）的含义为：
例如：F（2，3）=2+3=5，F（3，2）=3-2=1.
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若F（x2，-1）=5，求x的值.
（2）已知m+n=10，且m＞n，求F（4，m）-F（5，n）的值.
22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F在线段DO上，以AF为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连结OE.
（1）求证：∠AOE=45°.
（2）连结BE，若，求线段DF的长.
23．已知二次函数y=ax2+bx+6（a＜0）的图象经过点A（4，6）.
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）若y=ax2+bx+6的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数y1，当-2＜x＜2时，求y1的取值范围.
（3）若存在直线l与抛物线交于点M（x1，m），点N（x2，m），当0≤x2-x1≤8时，m有最大值8，求a的值及m的最小值.
24．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点P在边CD上，△BCP的外接圆分别交AP，AB于点E，F，连接CE，EF，CF.
（1）求证：△ECF∽△DAP.
（2）当DP=2时，求△ECF的面积.
（3）连接BE，令x=tan∠ECF，，求y关于x的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵ -3的相反数是a，
∴a=-(-3)=3.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义，计算出-3的相反数为3，从而确定a=3．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图标含“CASC”文字，文字部分不满足轴对称（不是轴对称图形），旋转180°后文字倒置（不是中心对称图形），A错误；
B、图形沿水平/竖直中线对折，图形可完全重合（是轴对称图形）；绕中心旋转180°后，图形与自身完全重合（是中心对称图形），B正确；
C、图形的火箭沿竖直中线对折不可重合（不是轴对称图形），旋转180°后火箭方向倒置，无法重合（不是中心对称图形），C错误；
D、宇航员图案不对称，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D错误．
故答案为：B.
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别判断每个选项是否满足两个条件，最终确定B符合条件．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：68500000000=6.85×1010.
故答案为：B.
【分析】先根据科学记数法的定义，即形式为a×10n且1≤∣a∣<10，再将原数68500000000的小数点向左移动10位，得到a=6.85，指数n=10，从而写出科学记数法的正确形式6.85×1010．
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，几何体分为左，中，右三列：
左列：有2层（上下各1个小正方体）；
中列：只有1层（1个小正方体）；
右列：有2层（上下各1个小正方体）．
因此，主视图的结构为：底层3个正方形，上层在左右两列各1个正方形，中间无正方形．
故答案为：A.
【分析】先根据主视图的定义，即从正面观察几何体得到的视图，再按列分析几何体的层数，左列2层，中列1层，右列2层，据此确定主视图的结构．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a2×3=a6≠a5，A错误；
B、a2 a3=a2+3=a5≠a6，B错误；
C、a2与a3不是同类项，不能直接合并，C错误；
D、3a2-a2=(3-1)a2=2a2，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方运算法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘），同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），同类项的定义（如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项），合并同类项的法则（合并同类项，系数相减，字母和指数不变）逐项判断即可得出结论．
6．【答案】C
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似比为，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长之比是.
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的性质，由位似比得到两个四边形的相似比为，再根据相似多边形的周长比等于相似比，得出四边形EFGH与四边形ABCD的周长之比为．
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹分析：
（1）以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧交于AC，AB；
（2）截取弧与AC，AB的交点为半径，以弧与AB的交点为圆心画弧交于前弧；
（3）过A和两弧交点作射线；
（4）同理，过B和两弧交点作射线；
（5）两射线相交于点D.
由作图可知，∠CAB=∠BAD，∠ABC=∠ABD.
因此，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（ASA）．
故答案为：D.
【分析】先观察尺规作图痕迹，还原作图过程，并得到∠CAB=∠BAD和∠ABC=∠ABD，再结合公共边AB=AB，根据三角形全等的ASA判定定理，得出△ABC≌△ABD．
9．【答案】B
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=α，
∴∠ACB=180°-2α．
∵将△ABC绕点B逆时针旋转2α得到△A'BC'，
∴BC=BC'，，∠A'C'B=∠ACB=180°-2α，旋转角∠CBC'=2α．
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，底角．
∵C，C'，A'三点共线，
∴∠BC'C+∠A'C'B=180°，即(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，
∴旋转角∠CBC'=2α=60°．
设CD交AB于D，
∵CA=CB，
∴D为AB中点，．
在Rt△BCD中，，即，解得BC=4，
∴的半径r=BC=4，圆心角n=60°，根据弧长公式，得．
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形性质，得到∠ACB=180°-2α；再根据旋转的性质和等腰三角形底角公式求出∠BC'C=90°-α；接着利用C，C'，A'三点共线的条件，建立方程(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，从而得到圆心角∠CBC'=60°；然后在Rt△BCD中，利用，解得半径BC=4；最后代入弧长公式，计算得弧长为 ．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、点E的速度为2cm/s，从D→A→B运动，AB=6cm，因此E从D到A的时间为t=4s（对应图2中H点横坐标为4），说明AD=2×4=8cm．矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，则对角线，A正确；
B、t=4s时，E到达A点，E继续向B运动，AE=2(t-4)，EB=6-2(t-4)=14-2t．
F运动的距离DF=tcm，FB=10-t，F到AB的距离为（由相似三角形比例）．
△DEF的面积.设E到BD的距离为hE，则，结合E在AB段的位置，最终可得： ，B正确；
C、点F沿D→B匀速运动，当t=4s时，△DEF的面积cm2．此时E在A点，DE=AD=8cm，设F到AD的距离为h，则，解得cm．
由相似三角形，，即，解得DF=4cm，因此F的速度为cm/s，C正确；
D、时，E在AD段（t≤4），cm，cm，cm．
F运动的距离cm，cm．
若△BEF～△BCD，则需满足，即，计算得，故不相似，D错误．
故答案为：D.
【分析】先通过点E在t=4s时到达A点，求出矩形的边长AD=8cm，进而得到对角线BD=10cm；再根据t=4s时的面积求出点F的速度为1cm/s；接着根据点E在AB段的运动情况，推导出曲线GH的函数表达式；最后验证时△BEF与△BCD的相似性，得出D错误．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
12．【答案】-3＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x>-3
解不等式②，得x≤4
∴不等式的解集为-3故答案为：-3＜x≤4.
【分析】先分别解不等式①得x>-3，解不等式②得x≤4；再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集为-313．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，
b， c画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以取自同一套的概率为：.
故答案为：.
【分析】令3件上衣分别为A，B，C，对应的裤子分别为a，b， c，然后画树状图进行分析，可得出共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
14．【答案】0＜y＜1
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点A(4，1)代入反比例函数，得，解得k=4，
∴反比例函数解析式为．
∵反比例函数中，k=4>0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小．
当x=4时，y=1；
当x>4时，根据函数的单调性，y的值会小于1．同时，函数图象在第一象限，y>0．
因此，x>4时，y的取值范围是0＜y＜1．
故答案为：0＜y＜1.
【分析】先通过点A(4，1)求出反比例函数的解析式，再根据k=4>0判断出函数在第一象限内y随x的增大而减小，最后结合x>4的条件，确定此时y的取值范围为015．【答案】-18
【知识点】多项式的项、系数与次数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据二项式展开公式：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
令a=x，b=-3，则：(x-3)6=x6+6x5(-3)+15x4(-3)2+……
其中x5项的系数m=6×(-3)=-18．
故答案为：-18.
【分析】先根据题目给出的“杨辉三角”（二项式展开）公式，明确(a+b)6的展开式结构；再将(x-3)6看作(a+b)6的形式（令a=x，b=-3）；最后找到展开式中x5项的对应部分，计算其系数m=6×(-3)即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ △BEP与△BCP关于直线BP对，
∴△BEP≌△BCP，
∴BE=BC=2，∠BEP=∠BCP=120°，∠EBP=∠CBP．
过C作CH⊥BD于H，过B作BF⊥PE，交PE的延长线于点F．
∵在等腰△BCD中，BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴∠BCH=60°，，
∴．
∵在等腰Rt△BAD中，BA=AD，∠BAD=90°，，
∴.
∵∠BEP=120°，
∴，
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，，由勾股定理，得.
在Rt△ABF中，，，由勾股定理，得，
∴AF=BF，△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°．
∴∠ABE=∠ABF-∠EBF=45°-30°=15°．
在等腰Rt△ABD中，∠ABD=45°，在等腰△BCD中，∠CBD=30°，
由轴对称，∠EBP=∠CBP，即∠ABE+∠ABP=∠CBD+(∠ABD-∠ABP)，
代入∠ABE=15°，∠CBD=30°，∠ABD=45°，得15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°．
∴∠DBP=∠ABD-∠ABP=45°-30°=15°．
在△BDP中，∠BDC是外角，∠BDC=30°，
∴∠BDC=∠DBP+∠BPD，
代入∠BDC=30°，∠DBP=15°，得∠BPD=15°．
∴∠DBP=∠BPD，
∴．
∴.
故答案为：.
【分析】先利用轴对称的性质，得到△BEP≌△BCP，推出BE=2，∠BEP=120°；接着在等腰△BCD中，通过作垂线构造含60°的直角三角形，计算得，再结合等腰Rt△BAD的性质，求出；同时过B作BF⊥PE，在Rt△BEF中，利用30°角的性质得到EF=1，，再通过勾股定理计算得，证明△ABF为等腰直角三角形，得到∠ABF=45°，进而算出∠ABE=15°；再结合∠EBP=∠CBP的关系，建立角度方程15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°，推出∠DBP=15°；再利用三角形外角性质，由∠BDC=30°得到∠BPD=15°，根据“等角对等边”得；最后根据CP=CD+DP，代入CD=2，，计算得．
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据负指数幂的运算法则，等于；再根据绝对值的性质，因为，所以；然后根据零指数幂的运算法则，；最后将各项结果代入原式进行加减运算，得到．
18．【答案】解：，
①+②，得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入②，得y=3，
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法，直接相加把不等式①与不等式②相加减消去未知数y，解得x=2；再把x=2代入不等式②中，解得y=3，从而得到方程组的解 .
19．【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
20．【答案】（1）14.8；14；16
（2）解：九年级抽取的20名学生中，良好（16分）及优秀（20分）的人数为7+4=11人，占比为．
九年级共有140人参赛，因此良好及以上人数约为人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解： (1)根据扇形统计图可知，八年级抽取了20名学生中，
8分的有：20×10%=2（人）；
20分的有：20×30%=6（人）；
12分的有：20-2-6-4=8（人）；
16分的有：20-2-6-8=4（人）．
平均数： .
20个数据按从小到大排列，中位数是第10，11个数据的平均数．
8分（2人）→12分（8人，累计10人）→第10，11个数据为12分和16分，
因此 .
九年级条形统计图中，16分的人数最多（7人），因此众数c=16．
故答案为：14.8；14；16 .
【分析】(1)先根据八年级扇形统计图，算出各分数段的人数8分2人，20分6人，12分8人，16分4人，再利用平均数公式求出a=14.8；接着将八年级20个成绩从小到大排列，取第10，11个数的平均数得到中位数b=14；最后根据九年级条形统计图，找出出现次数最多的分数，确定众数c=16．
(2)先从九年级条形统计图中，算出样本里“良好及以上”的人数11人和占比；再用这个占比去乘以九年级总人数140，从而估计出总体中“良好及以上”的人数22人．
21．【答案】（1）解：∵x2≥0，而-1<0，
∴x2≥-1，
适用F(a，b)=a-b的规则，即F(x2，-1)=x2-(-1)=x2+1
∵F（x2，-1）=5
∴x2+1=5，解得x=±2
（2）解：∵m+n=10且m>n，
又由m>n可得m>10-m，解得m>5，
∴n=10-m<5．
对于F(4，m)：
∵m>5，∴4对于F(5，n)：
∵n<5，∴5>n，适用F(a，b)=a-b的规则，即F(5，n)=5-n
∴F(4，m)-F(5，n)=(4+m)-(5-n)=4+m-5+n=(m+n)-1，代入m+n=10，得(m+n)-1=10-1=9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】 (1)先根据定义新运算的规则，判断a和b的大小关系；再结合x2的非负性，判断出x2≥-1，从而确定适用F(a，b)=a-b的公式；接着代入公式得到方程x2+1=5，最后通过开平方解方程x2+1=5求出x=±2；
(2)先根据已知条件m+n=10且m>n，分析出m>5，n<5的取值范围；再分别判断4与m，5与n的大小关系，确定F(4，m)和F(5，n)分别适用的运算公式；接着将两个运算结果F(4，m)=4+m和F(5，n)=5-n代入原式，通过去括号，合并同类项化简得到表达式F(4，m)-F(5，n)=(m+n)-1；最后利用m+n=10整体代入，求出最终结果F(4，m)-F(5，n)=9．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AOD∽△AEF，∠FAE=45°，
∴，
即，
∵∠DAO=∠FAE=45°，
∴∠DAO-∠FAO=∠FAE-∠FAO，
即∠DAF=∠OAE，
∴△ADF∽△AOE，
∴∠AOE=∠ADF=45°
（2）解：已知AB=8，则正方形对角线，．
由（1）知△ADF∽△AOE，故，即．
在△BOE中，，，∠BOE=90°-∠AOE=45°．
过E作EH⊥OB于H，连接BE，则△EHO为等腰直角三角形，
设EH=OH=x，则．
在Rt△EHB中，由勾股定理，得，
即，解得或（舍去，因F在DO上，对应E位置应取较小值），
故，
因此
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1) 先根据正方形和等腰直角三角形的性质，得到∠DAO=45°，∠FAE=45°，△AOD∽△AEF，并得到对应边的比例关系和角度关系∠DAO=∠FAE；再通过角度相减，得到夹角相等∠DAF=∠OAE，证明△ADF与△AOE相似；最后利用相似三角形的对应角相等∠AOE=∠ADF，得出∠AOE=45°．
(2) 先利用正方形的边长求出对角线和半对角线长度，即，．；再结合（1）中的△ADF∽△AOE，得到DF与OE的比例；接着通过作垂线构造等腰直角三角形Rt△EHB，利用勾股定理求出；最后代入比例关系，计算出．
23．【答案】（1）解：已知二次函数 y=ax2+bx+6 经过点A(4，6)，代入得6=a-42+b×4+6，解得b=-4a . 二次函数对称轴公式为，将b=-4a代入. 因此，对称轴为直线x=2
（2）解：已知函数最大值为10，对称轴为x=2，a<0，因此顶点为(2，10)，函数可写为顶点式，代入点A(4，6)，得，解得，因此原函数为．
当向左平移3个单位时，得到新函数为，则该函数对称轴为x=-1，开口向下．
当-2x=-1时，y1取最大值10；
x=2时，y1=-(2+1)2+10=1；
x=-2时，y1=-(-2+1)2+10=9．因此当-2（3）解：点M(x1，m)，N(x2，m)在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为x=2，因此，即x1+x2=4.
已知0≤x2-x1≤8，设d=x2-x1，则x2=x1+d，代入x1+x2=4，得，.
，代入b=-4a，得，化简得.
因为a<0，所以m随d的增大而减小，
当d=8时，m取最大值8，即，解得.
此时函数为，开口向下，与y轴交点为(0，6)，顶点为(2，8)．
当x1=0，x2=4时，m=6；
当x1=-2，x2=6时，m=0．
因此m的最小值为0．
因此，m的最小值为0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1)先将点A(4，6)代入函数，得到a和b的关系b=-4a，再利用二次函数对称轴公式，代入化简后求出对称轴为x=2；
(2)先根据最大值和对称轴写出顶点式，代入点A求出a=-1；再通过平移得到新函数y1=-(x+1)2+10；最后分析在区间-2(3)先根据抛物线上两点纵坐标相等，推出两点关于对称轴对称，结合0≤x2-x1≤8的范围，将m表示为d=x2-x1的函数；再利用a<0时m随d增大而减小，结合d=8时m=8求出；最后分析函数在区间内的最小值，得出m的最小值为0．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴CF为直径，
∴∠CEF=90°，
∴∠D=∠CEF，
∵四边形PEFB为圆的内接四边形，
∴∠DPA=∠EFC，
∴△EFC∽△DAP
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=4，∠BCD=90°.
∵DP=2，
∴CP=CD-DP=6.
在△BCP中，由勾股定理，得.
∴.
在△ADP中，由勾股定理，得.
∵△EFC∽△DAP，
∴.
∵.
∴
（3）解：如图，
∵△ECF∽△DAP，
∴∠DAP=∠ECF，
∴，
∴DP=4x，
∴CP=8-4x.
在△PCB和△FBC中，
∴△PCB≌△FBC（ASA）.
∴BF=CP=8-4x.
∴AF=4x.
∴.
∵CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB，即∠DPA=∠EAF.
又∠DPA=∠EFC，且∠EFC=∠EBC
∴∠EAF=∠EBC.
∵四边形EFBC为内接四边形，
∴∠EFA=∠ECB，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】 (1) 先根据矩形的性质得到∠ABC=∠D=90°，再利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠CEF=90°，从而得到∠D=∠CEF；接着利用圆内接四边形的性质，得到∠DPA=∠EFC；最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明 △ECF∽△DAP；
(2) 先根据矩形和勾股定理求出，即与，再利用△ECF∽△DAP的相似关系，得到面积比为相似比的平方；最后代入，计算出△ECF的面积为．
(3)先利用tan∠ECF与△DAP的对应边关系，得到DP=4x，进而求出CP=8-4x，BF=CP=8-4x，AF=4x；再通过证明△PCB≌△FBC，和利用平行线的性质和圆内接四边形性质证明△AEF∽△BEC，得到相似比，最后利用三角形面积比和相似三角形的面积比性质，得到，化简得到y=-x2+2x．
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