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湖南省岳阳楼区学院路中学2024年2月八年级下学期入学考试数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
2．若x+2021>y+2021， 则（　　）
A．x+23．将3-1x（x+y）-3写成只含有正整数指数幂的形式是（　　）
A． B． C． D．
4．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
5． 把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题中是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．命题“（-4）2＞9，-4＜3”可以作为反例用来证明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c
D．相等的角是对顶角
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
8． 如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠A＝26°，∠CGF＝83°，则∠E的度数是（　　）
A．34° B．36° C．38° D．40°
9．某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10． 人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果设，，记，，，...依此规律，则的值为（　　）
A． B．25 C． D．125
11． 当　 　时，分式的值是0.
12．近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示　 　.
13．若3m 3n＝1，则m+n＝　 　．
14．若关于x的分式方程 有增根，则实数m的值是　 　．
15．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是　 　元．
16．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和＝　 　．
17． 计算：.
18．先化简 ，然后从0，1，2，3中选一个合适的 值代入求解.
19．在①AD=AE②∠ABE=∠ACD③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A、点B重合），点E在AC边上（不与点A、点C重合），连接BE、CD，BE与CD相交于点F．若 ▲ ，求证：BE=CD．
20．
（1） 解分式方程；
（2）解不等式组．
21．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
（1）求x和b的值；
（2）求的平方根．
22． 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
23．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
24． 阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”. 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2.
（1） 已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”.
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值.
25． 如图，在等边△ABC中，AB＝18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒4个单位的速度移动．点P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示：BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）当点Q到达点C时，PQ与AB有何位置关系？请说明理由；
（3）在点P、Q的运动过程中，△BPQ是否能构成等边三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；
（4）若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.1415926是有限小数，属于有理数，A错误；
B、 是分数，分数属于有理数，B错误；
C、 ，是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数，C正确；
D、是无限循环小数，属于有理数，D错误．
故答案为：C .
【分析】先明确无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的分类（整数，分数（包括有限小数和无限循环小数）），再逐一判断选项，若化简后含有开方开不尽的数（如）的数是无理数，据此得出结论．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x+2021>y+2021，
两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：.
故答案为： B.
【分析】先根据负整数指数幂的定义（（a≠0，n为正整数），即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数），将转化为，将转化为，再将它们与x相乘，合并为分式形式，得到 ．
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴8-5＜第三边长＜8+5，
即3＜第三边长＜13.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，即可得出正确答案.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x>-3，
解不等式②，得x≤5，
因此，不等式组的解集为-3不等式组的解集在数轴上表示为：
故答案为： A.
【分析】先分别求解两个不等式并得到x>-3和x≤5；再根据不等式组解集的表示方法，在数轴上找到两个解集的公共部分，即“空心圆圈在-3，实心圆点在5，中间为公共部分”．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质定理，为真命题，A错误；
B、命题“若x2>9，则x>3”，反例“(-4)2>9，-4<3”说明当x2>9时，x也可以小于-3，因此该命题为假，此反例有效，B为真命题，B错误；
C、若a∥b，a⊥c，根据平行线的性质，b⊥c，为真命题，C错误；
D、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，因此“相等的角是对顶角”是假命题，D正确．
故答案为： D.
【分析】先根据真假命题的定义：真命题是经过推理证明正确的命题，假命题是能举出反例证明错误的命题．再逐一分析每个选项：A是平行线的性质，B中反例能证明原命题为假，C是平行线与垂线的性质，D中可通过“两直线平行，同位角相等”举出反例，证明其为假命题．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故答案为：B．
【分析】根据作图痕迹可得DE垂直平分线段AC，利用垂直平分线的性质可得DA=DC，AE=EC=6cm，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，从而得解.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=26°，∠BCA=∠EFD，∠B=∠E．
∵CD平分∠BCA，
∴．
在△DCG中，∠CGF是外角，
∴∠CGF=∠D+∠BCD，即83°=26°+∠BCD，解得∠BCD=57°，
∴∠BCA=2∠BCD=114°．
在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠BCA=180°-26°-114°=40°，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=40°．
故答案为：D .
【分析】先利用全等三角形的性质，得到∠A=∠D=26°，且∠B=∠E；再根据三角形外角的性质，由∠CGF=83°=∠D+∠BCD，算出∠BCD=57°；接着结合角平分线的性质，得到∠BCA=114°；最后在△ABC中，利用内角和180°算出∠B=40°，进而由∠B=∠E，得到∠E=40°．
9．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，
根据原计划完成的时间实际完成的时间=3天得：，
故答案为：C.
【分析】设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，原计划需要的天数为天，实际需要的天数为天，然后根据提前3天完成任务就可列出方程.
10．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，.
Sn的规律为：
，
，
，
，
……
.
∴.
故答案为：D .
【分析】先计算a+b与ab的值，发现ab=1，；再通过化简S1，S2，S3，得出规律：；最后将n=6代入，计算得．
11．【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式 的值为0，需同时满足两个条件：
分子为0：3x=0，解得x=0；
分母不为0：当x=0时，分母x-2=0-2=-2≠0，符合条件．
因此，当x=0时，分式的值为0．
故答案为：0 .
【分析】先根据“分式的值为0，分子必须为0”，解方程3x=0得到x=0；再根据“分式有意义，分母不能为0”，验证x=0时分母x-2=-2≠0，最终确定x=0为所求的值．
12．【答案】7×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000007=7×10-7．
故答案为：7×10-7 .
【分析】先根据科学记数法的定义，再确定a的值（1≤a<10，取7），接着数原数小数点向右移动的位数（7位），确定指数n=-7，最后写出结果7×10-7．
13．【答案】0
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂
【解析】【解答】解： ∵3m 3n＝1，
∴3m+n=30=1，
∴m+n=0.
故答案为： 0.
【分析】先利用同底数幂的乘法法则，将3m 3n合并为3m+n；再根据零指数幂的性质，把等式右边的1转化为30；最后根据同底数幂的性质，得出m+n=0．
14．【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，故答案为：1．
【分析】根据分式方程有增根的意义可得x﹣2=0，即x=2；再将分式方程去分母化为整式方程，将x=2代入整式方程即可求解。
15．【答案】85
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，
由题意得，
解得x=85，
经检验x=85是原分式方程的解，且符合题意，
所以第二天每棵树苗的售价是85元.
故答案为：85.
【分析】设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及第二天售出树苗的数量是第一天的2倍列出方程，求解并检验即可.
16．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】∵在等腰△ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为1：2
∴△ABD与△ADC的面积比为1：2，
∵△ABC的面积为18
∴△ABD的面积为6，△ADC的面积为12，
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC
∵∠1=∠3+∠ABE，∠3+∠4=∠BAC，∠BAC=∠1
∴∠ABE=∠4
∴△ABE △ACF（AAS）
∴△ABE与△ACF的面积相等，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积和，即等于△ABD的面积6，
故答案为：6
【分析】根据ASA证明△ABE △ACF，得出△ABE与△ACF的面积相等，由CD=2BD， △ABC的面积为18， 可求出△ABD的面积，即可得出答案。
17．【答案】解：
＝
＝
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别化简每一项：根据绝对值的性质，，故；根据负指数幂的性质，；根据二次根式的化简，；根据零指数幂的性质，．再将化简后的各项代入原式，合并同类二次根式和常数项，得到最终结果．
18．【答案】解：原式
因为a=0，1，2时分式无意义，所以
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算将原式化简，然后选取一个使分式有意义的值代入计算即可.
19．【答案】证明：选择条件①的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件②的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件③的证明为：
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】若选择条件①，由等角对等边可得AB=AC，由已知条件可知AE=AD，利用SAS证明△ABE≌△ACD，据此可得结论；
若选择条件②，由等角对等边可得AB=AC，由已知条件可知∠ABE=∠ACD，利用ASA证明△ABE≌△ACD，据此可得结论；
若选择条件③，由等角对等边可得AB=AC，由等腰三角形的性质可得∠FBC=∠FCB，结合角的和差关系可推出∠ABE=∠ACD，利用ASA证明△ABE≌△ACD，据此可得结论.
20．【答案】（1）解：原方程去分母得：x（x+2）-2＝x2-4，
整理得：2x-2＝-4，
解得：x＝-1，
检验：将x＝-1代入（x2-4）得1-4＝-3≠0，
故原方程的解为x＝-1
（2）解：由第1个不等式得x＞-2，
由第2个不等式得x＜1，
故原不等式组的解集为-2＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】 (1)先确定最简公分母(x+2)(x-2)，去分母转化为整式方程x（x+2）-2＝x2-4求解得到x＝-1，再代入公分母检验增根，最终得到解x=-1．
(2) 分别解两个不等式解得x＞-2和x＜1，再取两个解集的公共部分，得到-221．【答案】（1）解：由题意知，，，解得，，
∴，
∴x和b的值分别为和；
（2）解：∵，∴，
∴的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据题意，得到和，求得的值，再由，求得x的值，即可得到答案；
（2）由，得到，将a，b，c的值，代入求得的值，结合平方根的定义，求得的平方根，即可得到答案.
22．【答案】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（ASA）
（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠ACB＝180°-70°-70°＝40°，
∵∠ABE＝25°，
∴∠CAD＝∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝180°-∠BAD＝180°-65°＝115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠BAE=∠ACD，结合已知条件AB=AC，∠ABE=∠CAD，用ASA证明△ABE≌△CAD；
(2) 再根据等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC＝70°；并利用内角和定理，算出∠BAC=40°，结合∠ABE=25°得到∠CAD=25°，进而算出∠BAD=65°；最后利用CD∥AB的同旁内角互补性质，求出∠D＝180°-∠BAD＝115°．
23．【答案】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，
根据题意得，
解得：
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元.
（2）解：设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
根据题意得，
解得：
至少买乙种快餐37份，
答：至少买乙种快餐37份．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据“ 买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据“ 所花快餐费不超过1280元 ”列出不等式，再求解即可.
24．【答案】（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下，
＝-1
∴C不是D的“雅中式”
（2）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
，
，
，
，
.
的值也为整数，且分式有意义，
故或，
的值为：0，2，4，6
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法
【解析】【分析】(1)先根据“雅中式”的定义，计算C-D的结果为-1，判断是否为正的常数，得出结论；
(2)先根据“雅中值为1”列出M-N=1的方程，通过通分化简求出E的代数式，再根据M为整数，分式有意义的条件，找出3-x的可能取值：或，进而求出所有符合条件的x值，即0，2，4，6．
25．【答案】（1）18-2t；4t
（2）解：PQ⊥AB，理由如下：
当点Q到达点C时，BQ＝BC=18，即4t＝18，此时，t＝4.5，
∴BP＝18-2t＝9，即BP＝AB，
∴P是AB的中点.
∵△ABC是等边三角形，
∴PQ⊥AB
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ是等边三角形，
∴18-2t＝4t，
∴t＝3，
即，当t＝3时，△BPQ是等边三角形
（4）解：∵点Q的速度大于点P的速度，
∴当点Q比点P多运动BC+AC＝36个单位时，两点第一次相遇，
即4t＝2t+36，
∴t＝18，
验证：4×18=72，72-54=18，即Q走了72个单位，绕三角形一周（54）后到达C；2×18=36，36-18=18，即P走了36个单位，到达C，
∴点P、Q在点C处相遇，
即经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： (1) ∵AB=18，点P的速度为2单位/秒，运动时间为t秒．
∴AP=2t，
∴BP=AB-AP=18-2t.
∵点Q的速度为4单位/秒，运动时间为t秒，
∴BQ=4t．
故答案为：18-2t；4t.
【分析】(1)先根据点P的速度2单位/秒，时间t秒，得到路程AP=2t；再根据线段和差关系BP=AB-AP，代入AB=18，算出BP=18-2t；最后根据点Q的速度4单位/秒，时间t秒，直接写出路程BQ=4t；
(2)先根据Q到达C时BQ=BC=18，结合BQ=4t列方程4t=18，解得t=4.5；再将t=4.5代入BP=18-2t，算出BP=9，结合AB=18得到BP=21-AB，即P是AB中点；最后依据等边三角形三线合一的性质，得出PQ⊥AB；
(3)先根据等边三角形的性质，确定∠B=60°；再依据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，列出等腰条件BP=BQ；接着代入BP=18-2t，BQ=4t，列方程18-2t=4t，解得t=3；最后验证此时BP=BQ=12，∠B=60°，满足等边三角形的判定条件；
(4)先根据等边三角形边长18，算出周长为54；再根据追及问题模型，确定首次相遇时Q比P多走的路程差为BC+AC=36；接着代入速度4和2，列方程4t＝2t+36，解得t=18；最后验证路程：P的路程2×18=36，Q的路程4×18=72，结合周长54，得出P，Q均到达C点．
1 / 1湖南省岳阳楼区学院路中学2024年2月八年级下学期入学考试数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、3.1415926是有限小数，属于有理数，A错误；
B、 是分数，分数属于有理数，B错误；
C、 ，是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数，C正确；
D、是无限循环小数，属于有理数，D错误．
故答案为：C .
【分析】先明确无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的分类（整数，分数（包括有限小数和无限循环小数）），再逐一判断选项，若化简后含有开方开不尽的数（如）的数是无理数，据此得出结论．
2．若x+2021>y+2021， 则（　　）
A．x+2【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x+2021>y+2021，
两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
3．将3-1x（x+y）-3写成只含有正整数指数幂的形式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：.
故答案为： B.
【分析】先根据负整数指数幂的定义（（a≠0，n为正整数），即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数），将转化为，将转化为，再将它们与x相乘，合并为分式形式，得到 ．
4．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴8-5＜第三边长＜8+5，
即3＜第三边长＜13.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，即可得出正确答案.
5． 把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x>-3，
解不等式②，得x≤5，
因此，不等式组的解集为-3不等式组的解集在数轴上表示为：
故答案为： A.
【分析】先分别求解两个不等式并得到x>-3和x≤5；再根据不等式组解集的表示方法，在数轴上找到两个解集的公共部分，即“空心圆圈在-3，实心圆点在5，中间为公共部分”．
6．下列命题中是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．命题“（-4）2＞9，-4＜3”可以作为反例用来证明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c
D．相等的角是对顶角
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质定理，为真命题，A错误；
B、命题“若x2>9，则x>3”，反例“(-4)2>9，-4<3”说明当x2>9时，x也可以小于-3，因此该命题为假，此反例有效，B为真命题，B错误；
C、若a∥b，a⊥c，根据平行线的性质，b⊥c，为真命题，C错误；
D、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，因此“相等的角是对顶角”是假命题，D正确．
故答案为： D.
【分析】先根据真假命题的定义：真命题是经过推理证明正确的命题，假命题是能举出反例证明错误的命题．再逐一分析每个选项：A是平行线的性质，B中反例能证明原命题为假，C是平行线与垂线的性质，D中可通过“两直线平行，同位角相等”举出反例，证明其为假命题．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故答案为：B．
【分析】根据作图痕迹可得DE垂直平分线段AC，利用垂直平分线的性质可得DA=DC，AE=EC=6cm，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，从而得解.
8． 如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠A＝26°，∠CGF＝83°，则∠E的度数是（　　）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=26°，∠BCA=∠EFD，∠B=∠E．
∵CD平分∠BCA，
∴．
在△DCG中，∠CGF是外角，
∴∠CGF=∠D+∠BCD，即83°=26°+∠BCD，解得∠BCD=57°，
∴∠BCA=2∠BCD=114°．
在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠BCA=180°-26°-114°=40°，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=40°．
故答案为：D .
【分析】先利用全等三角形的性质，得到∠A=∠D=26°，且∠B=∠E；再根据三角形外角的性质，由∠CGF=83°=∠D+∠BCD，算出∠BCD=57°；接着结合角平分线的性质，得到∠BCA=114°；最后在△ABC中，利用内角和180°算出∠B=40°，进而由∠B=∠E，得到∠E=40°．
9．某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，
根据原计划完成的时间实际完成的时间=3天得：，
故答案为：C.
【分析】设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，原计划需要的天数为天，实际需要的天数为天，然后根据提前3天完成任务就可列出方程.
10． 人们把这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密相关，这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果设，，记，，，...依此规律，则的值为（　　）
A． B．25 C． D．125
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，.
Sn的规律为：
，
，
，
，
……
.
∴.
故答案为：D .
【分析】先计算a+b与ab的值，发现ab=1，；再通过化简S1，S2，S3，得出规律：；最后将n=6代入，计算得．
11． 当　 　时，分式的值是0.
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：要使分式 的值为0，需同时满足两个条件：
分子为0：3x=0，解得x=0；
分母不为0：当x=0时，分母x-2=0-2=-2≠0，符合条件．
因此，当x=0时，分式的值为0．
故答案为：0 .
【分析】先根据“分式的值为0，分子必须为0”，解方程3x=0得到x=0；再根据“分式有意义，分母不能为0”，验证x=0时分母x-2=-2≠0，最终确定x=0为所求的值．
12．近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示　 　.
【答案】7×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000007=7×10-7．
故答案为：7×10-7 .
【分析】先根据科学记数法的定义，再确定a的值（1≤a<10，取7），接着数原数小数点向右移动的位数（7位），确定指数n=-7，最后写出结果7×10-7．
13．若3m 3n＝1，则m+n＝　 　．
【答案】0
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂
【解析】【解答】解： ∵3m 3n＝1，
∴3m+n=30=1，
∴m+n=0.
故答案为： 0.
【分析】先利用同底数幂的乘法法则，将3m 3n合并为3m+n；再根据零指数幂的性质，把等式右边的1转化为30；最后根据同底数幂的性质，得出m+n=0．
14．若关于x的分式方程 有增根，则实数m的值是　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，故答案为：1．
【分析】根据分式方程有增根的意义可得x﹣2=0，即x=2；再将分式方程去分母化为整式方程，将x=2代入整式方程即可求解。
15．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是　 　元．
【答案】85
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，
由题意得，
解得x=85，
经检验x=85是原分式方程的解，且符合题意，
所以第二天每棵树苗的售价是85元.
故答案为：85.
【分析】设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及第二天售出树苗的数量是第一天的2倍列出方程，求解并检验即可.
16．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和＝　 　．
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】∵在等腰△ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为1：2
∴△ABD与△ADC的面积比为1：2，
∵△ABC的面积为18
∴△ABD的面积为6，△ADC的面积为12，
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC
∵∠1=∠3+∠ABE，∠3+∠4=∠BAC，∠BAC=∠1
∴∠ABE=∠4
∴△ABE △ACF（AAS）
∴△ABE与△ACF的面积相等，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积和，即等于△ABD的面积6，
故答案为：6
【分析】根据ASA证明△ABE △ACF，得出△ABE与△ACF的面积相等，由CD=2BD， △ABC的面积为18， 可求出△ABD的面积，即可得出答案。
17． 计算：.
【答案】解：
＝
＝
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别化简每一项：根据绝对值的性质，，故；根据负指数幂的性质，；根据二次根式的化简，；根据零指数幂的性质，．再将化简后的各项代入原式，合并同类二次根式和常数项，得到最终结果．
18．先化简 ，然后从0，1，2，3中选一个合适的 值代入求解.
【答案】解：原式
因为a=0，1，2时分式无意义，所以
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算将原式化简，然后选取一个使分式有意义的值代入计算即可.
19．在①AD=AE②∠ABE=∠ACD③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A、点B重合），点E在AC边上（不与点A、点C重合），连接BE、CD，BE与CD相交于点F．若 ▲ ，求证：BE=CD．
【答案】证明：选择条件①的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件②的证明为：
，
，
在和中，
，
，
；
选择条件③的证明为：
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】若选择条件①，由等角对等边可得AB=AC，由已知条件可知AE=AD，利用SAS证明△ABE≌△ACD，据此可得结论；
若选择条件②，由等角对等边可得AB=AC，由已知条件可知∠ABE=∠ACD，利用ASA证明△ABE≌△ACD，据此可得结论；
若选择条件③，由等角对等边可得AB=AC，由等腰三角形的性质可得∠FBC=∠FCB，结合角的和差关系可推出∠ABE=∠ACD，利用ASA证明△ABE≌△ACD，据此可得结论.
20．
（1） 解分式方程；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：原方程去分母得：x（x+2）-2＝x2-4，
整理得：2x-2＝-4，
解得：x＝-1，
检验：将x＝-1代入（x2-4）得1-4＝-3≠0，
故原方程的解为x＝-1
（2）解：由第1个不等式得x＞-2，
由第2个不等式得x＜1，
故原不等式组的解集为-2＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】 (1)先确定最简公分母(x+2)(x-2)，去分母转化为整式方程x（x+2）-2＝x2-4求解得到x＝-1，再代入公分母检验增根，最终得到解x=-1．
(2) 分别解两个不等式解得x＞-2和x＜1，再取两个解集的公共部分，得到-221．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
（1）求x和b的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意知，，，解得，，
∴，
∴x和b的值分别为和；
（2）解：∵，∴，
∴的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据题意，得到和，求得的值，再由，求得x的值，即可得到答案；
（2）由，得到，将a，b，c的值，代入求得的值，结合平方根的定义，求得的平方根，即可得到答案.
22． 如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（ASA）
（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠ACB＝180°-70°-70°＝40°，
∵∠ABE＝25°，
∴∠CAD＝∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝180°-∠BAD＝180°-65°＝115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠BAE=∠ACD，结合已知条件AB=AC，∠ABE=∠CAD，用ASA证明△ABE≌△CAD；
(2) 再根据等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC＝70°；并利用内角和定理，算出∠BAC=40°，结合∠ABE=25°得到∠CAD=25°，进而算出∠BAD=65°；最后利用CD∥AB的同旁内角互补性质，求出∠D＝180°-∠BAD＝115°．
23．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，
根据题意得，
解得：
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元.
（2）解：设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
根据题意得，
解得：
至少买乙种快餐37份，
答：至少买乙种快餐37份．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据“ 买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据“ 所花快餐费不超过1280元 ”列出不等式，再求解即可.
24． 阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”. 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2.
（1） 已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”.
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值.
【答案】（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下，
＝-1
∴C不是D的“雅中式”
（2）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
，
，
，
，
.
的值也为整数，且分式有意义，
故或，
的值为：0，2，4，6
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法
【解析】【分析】(1)先根据“雅中式”的定义，计算C-D的结果为-1，判断是否为正的常数，得出结论；
(2)先根据“雅中值为1”列出M-N=1的方程，通过通分化简求出E的代数式，再根据M为整数，分式有意义的条件，找出3-x的可能取值：或，进而求出所有符合条件的x值，即0，2，4，6．
25． 如图，在等边△ABC中，AB＝18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒4个单位的速度移动．点P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示：BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）当点Q到达点C时，PQ与AB有何位置关系？请说明理由；
（3）在点P、Q的运动过程中，△BPQ是否能构成等边三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；
（4）若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．
【答案】（1）18-2t；4t
（2）解：PQ⊥AB，理由如下：
当点Q到达点C时，BQ＝BC=18，即4t＝18，此时，t＝4.5，
∴BP＝18-2t＝9，即BP＝AB，
∴P是AB的中点.
∵△ABC是等边三角形，
∴PQ⊥AB
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ是等边三角形，
∴18-2t＝4t，
∴t＝3，
即，当t＝3时，△BPQ是等边三角形
（4）解：∵点Q的速度大于点P的速度，
∴当点Q比点P多运动BC+AC＝36个单位时，两点第一次相遇，
即4t＝2t+36，
∴t＝18，
验证：4×18=72，72-54=18，即Q走了72个单位，绕三角形一周（54）后到达C；2×18=36，36-18=18，即P走了36个单位，到达C，
∴点P、Q在点C处相遇，
即经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： (1) ∵AB=18，点P的速度为2单位/秒，运动时间为t秒．
∴AP=2t，
∴BP=AB-AP=18-2t.
∵点Q的速度为4单位/秒，运动时间为t秒，
∴BQ=4t．
故答案为：18-2t；4t.
【分析】(1)先根据点P的速度2单位/秒，时间t秒，得到路程AP=2t；再根据线段和差关系BP=AB-AP，代入AB=18，算出BP=18-2t；最后根据点Q的速度4单位/秒，时间t秒，直接写出路程BQ=4t；
(2)先根据Q到达C时BQ=BC=18，结合BQ=4t列方程4t=18，解得t=4.5；再将t=4.5代入BP=18-2t，算出BP=9，结合AB=18得到BP=21-AB，即P是AB中点；最后依据等边三角形三线合一的性质，得出PQ⊥AB；
(3)先根据等边三角形的性质，确定∠B=60°；再依据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，列出等腰条件BP=BQ；接着代入BP=18-2t，BQ=4t，列方程18-2t=4t，解得t=3；最后验证此时BP=BQ=12，∠B=60°，满足等边三角形的判定条件；
(4)先根据等边三角形边长18，算出周长为54；再根据追及问题模型，确定首次相遇时Q比P多走的路程差为BC+AC=36；接着代入速度4和2，列方程4t＝2t+36，解得t=18；最后验证路程：P的路程2×18=36，Q的路程4×18=72，结合周长54，得出P，Q均到达C点．
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