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湖南省岳阳市第二中学2025年2月八年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．在式子 中，分式有（　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
2． 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
4．等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（　　)
A．70° B．40° C．55°或70° D．40°或70°
5．下列说法正确的是（　　)
A．的平方根是±4 B．（-3)2的算术平方根是-3
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
8．如图，在△ABC中，DE 垂直平分AB，FG 垂直平分 AC，BC=13cm，则△AEG的周长为（　　)
A．6.5cm B．13cm C．26cm D．15cm
9．若关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
10．如图，在射线OA，OB 上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在 B1A1，B1B上分别截取. 连接 A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共24 分)
11．写出一个比 大的无理数　 　.
12． 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为　 　．
13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
14．分式方程 的解为　 　.
15．若a、b为实数，且 则 a 的值　 　.
16．已知，则＝　 　．
17．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同。设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，可列方程为　 　.
18．如图，BO为△ABC 的中线，延长BO至 D，使 OD=OB，连接CD，已知BC=6，OC-OD=2，则△ABC与△DOC的周长差为　 　.
三、解答题（本题共 8 小题，共66 分)
19． 计算：
20．先化简 再从-1，0，1中选一个合适的x的值代入求值.
21．解不等式组 并把不等式组的解集表示在数轴上.
22．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）求证：AE＝EC．
23． 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD， CD的B， C点固定不动，且到点A 的距离AB=AC.
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗 请说明理由.
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若 ∠MBD =120°，求∠CDA 的度数.
24．某市在进行“文明城市”评选的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元.
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元
（2）考虑到绿化效果，购进 A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元.若购进这两种树共 100棵.问有哪几种购买方案
25．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：
解： 隐含条件2-3x≥0，
解得
∴1-x>0，
∴原式=（2-3x)-（1-x)=2-3x-l+x=1-2x
（1）【启发应用】
按照上面的解法，试化简. （结果保留π)
（2）【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3） 已知a， b， c为△ABC的三边长. 化简：
26．在△ABC中， AB=CB，∠ABC=90°， 点D是AC上一点， AD=AB， 点E是AB上一点， AE=CD.
（1）如图1，求证： △BDE是等腰三角形；
（2）如图2， 过点E作EF⊥AC于点 F， 求证： ED平分∠FEB；
（3）如图3，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：：分母是常数2，不含字母，是整式，不是分式；
：分母是常数π，不含字母，是整式，不是分式；
：分母是3x，含有字母x，是分式；
：分母是2-x，含有字母x，是分式；
：分母是x+y，含有字母x，y，是分式．
综上，分式有 ，共3个．
故答案为：B.
【分析】先根据分式的定义：如果A，B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式；再逐个分析题目中符合分式定义的5个式子，得出分式有．
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】.【解答】解：A、因为-3.14≠0，所以，A错误；
B、2a2 a3=2a5≠2a6，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误．
故答案为：C.
【分析】分别根据零指数幂公式a0=1，同底数幂乘法公式am an=am+n，分式乘方公式，负整数指数幂公式和积的乘方公式(ab)n=anbn进行计算并验证即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当70°为顶角时，顶角直接为70°；
当70°为底角时，顶角为180°-70°×2=40°．
综上，等腰三角形的顶角为40°或70°．
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质：两底角相等，三角形内角和为180°；再分两种情况讨论，即当70°为顶角时，顶角为70°；当70°为底角时，顶角为40°；最终得出顶角为40°或70°．
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，4的平方根为±2，A错误；
B、(-3)2=9，9的算术平方根为3，B错误；
C、负数有立方根，且立方根为负数，C错误；
D、因为且，所以是2的算术平方根，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据平方根的定义（即若x2=a，则x叫做a的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根），算术平方根的定义（即一个非负数的非负平方根，具有非负性），立方根的定义（即任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0）的定义，逐个分析选项即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解不等式组得：
在数轴上表示可得
故答案为：A
【分析】先解不等式组，再在数轴上表示即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
B．等边三角形有3条对称轴；
C． SSA无法判断两个三角形全等；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG．
△AEG的周长为：C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG
∵BE+EG+CG=BC，BC=13cm，
∴C△AEG=13cm．
故答案为：B.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质，分别得到AE=BE，AG=CG；再将△AEG的周长表达式AE+EG+AG中的AE和AG用BE和CG替换，转化为BE+EG+CG；最后结合BE+EG+CG=BC=13cm，得出△AEG的周长为13cm．
9．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵无解，∴方程有增根为x=5.
分式方程可变形为，
把x=5代入得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程无解知道方程有增根x=5，先化为整式方程再代入求a的值.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵OA1=OB1，
∴∠OA1B1=∠OB1A1=α，
∵B1A2=B1B2，
∴∠B1A2B2=∠B1B2A2，
又∵∠OB1A1是△A2B1B2的外角，
∴∠OB1A1=2∠A2B2O，即，
同理可得，，
归纳可得，
当n=2024时，．
故答案为：B.
【分析】先根据OA1=OB1，结合等腰三角形两底角相等的性质，得到∠OA1B1=∠OB1A1=α；再利用B1A2=B1B2和三角形外角定理，推出；接着通过计算前几项的角度，归纳出的通用规律；最后将n=2024代入规律，得到．
11．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，且无理数是无限不循环小数，
又∵，1.732>1.414，
∴是比大的无理数（答案不唯一）．
故答案为： (答案不唯一).
【分析】先根据无理数的定义（无限不循环小数），再估算的近似值约为1.414，接着寻找一个近似值大于1.414的无理数，比如（约1.732），验证它满足无理数定义且比大，因此可以作为答案．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2x-6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可列出不等式，进而即可求解。
14．【答案】x=-2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘x(x+1)，得2(x+1)=x
去括号，得2x+2=x
移项，合并同类项，得x=-2
检验：将将x=-2代入x(x+1)，得-2×(-2+1)=2≠0，
∴分式方程的解为x=-2．
故答案为：x=-2.
【分析】根据分式方程的定义，先通过去分母的方法，方程两边同乘最简公分母x(x+1)，将分式方程转化为整式方程2(x+1)=x；接着解这个整式方程，得到x=-2；最后将解代入最简公分母检验，确认分母不为零，得出方程的解为x=-2．
15．【答案】-3
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，且 ，
∴，，解得，，
∴．
故答案为：-3.
【分析】先根据平方数和算术平方根的非负性，结合两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，得到和；接着解出，；最后将a，b的值代入ab，计算得．
16．【答案】9
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
则
=
=
=9
故答案为：9
【分析】先根据，进行分母有理化，再代入代数式，去括号，合并同类项即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：因为设原计划平均每天生产x台机器，所以现在平均每天生产(x+50)台机器，那么现在生产600台机器所需时间为，原计划生产450台机器所需时间为，且二者时间相同，所以可列方程为：.
故答案为：.
【分析】先根据“现在平均每天比原计划多生产50台”，表示出现在的日产量为x+50；再根据“时间=总量÷日产量”，分别表示出现在生产600台的时间为，原计划生产450台的时间为；最后根据“两个时间相同”这一等量关系，列出分式方程．
18．【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BO为△ABC的中线，
∴AO=OC，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD.
∵△ABC的周长为AB+BC+AC=CD+BC+2OC，△DOC的周长为CD+OD+OC，
∴周长差为(CD+BC+2OC)-(CD+OD+OC)=BC+OC-OD，
∵BC=6，OC-OD=2，
∴周长差为6+2=8．
故答案为：8.
【分析】先根据中线的定义得到AO=OC，再结合OB=OD和对顶角相等，利用SAS证明△AOB≌△COD，得出AB=CD；接着分别写出两个三角形的周长表达式，通过化简消去CD，得到周长差为BC+OC-OD；最后代入BC=6，OC-OD=2，计算得周长差为8．
19．【答案】解：原式：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算式子的每一项：根据-1的偶次幂为1，得(-1)2024=1；根据立方根的定义，得；根据算术平方根的定义，得；根据绝对值的性质，，故；再将所有项的结果相加，得到．
20．【答案】解：原式
∵x+1≠0，x-1≠0，
∴x≠±1
取x=0，则
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内的通分，得到；再将除法转化为乘法，并对分子分母因式分解，即；接着约去公因式x+1，化简得；然后根据分式有意义的条件，排除x=±1，选择x=0代入化简后的式子，计算得结果为0．
21．【答案】解：解不等式3-x≥2(x-3)，得x≤3，
解不等式 得x>-1，
则不等式组的解集为-1将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到x≤3和x>-1；然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找”的原则，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集-122．【答案】（1）证明：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴根据平行线的性质得，ADE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵DE∥AB，
∴根据平行线的性质得，∠EDC＝∠B，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE＝CE．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)由三线合一定理得到∠BAD = ∠CAD，由平行线的性质得到ADE =∠BAD，据此证明∠DAE= ∠ADE，即可证明AE = DE；
(2)根据等边对等角得到∠C =∠B，根据平行线的性质得到∠EDC=∠B，据此可证明∠EDC =∠C，得到DE = CE，则可证明结论.
23．【答案】（1）解：相等.理由如下：
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD
（2）解：∵AP平分∠BAC，∠BAC=140°，
又∵∠MBD=120°，
∴∠BDA=∠MBD-∠BAD=120°-70°=50°.
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA=∠BDA=50°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先根据角平分线的性质，由伞柄AP平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD；再结合已知条件AB=AC和公共边AD=AD，用SAS判定△ABD≌△ACD；最后根据全等三角形的对应边相等，得出BD=CD；
(2)先根据角平分线的性质，由∠BAC=140°，算出∠BAD=70°；再利用三角形外角的性质，由∠MBD=120°，算出∠BDA=120°-70°=50°；接着根据(1)中△ABD≌△ACD，利用全等三角形的对应角相等，得到∠CDA=∠BDA=50°．
24．【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：
解方程组得
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，
解得48≤a≤50.
∵a为整数，
∴a=48，49，50，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)先设A，B两种树的单价分别为x元，y元，根据“购买3棵A，4棵B需3200元，购买5棵A，2棵B需3000元”的两个等量关系，列出二元一次方程组；解得，即可得到两种树的单价．
(2)先设购进A种树a棵，则B种树为(100-a)棵；再根据“A种树不少于48棵”和“资金不低于45000元”两个条件，列出不等式组，解得48≤a≤50；再结合a≥48，确定a的整数取值为48，49，50；最后根据a的取值，写出对应的三种购买方案，即方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
25．【答案】（1）解：隐含条件3-x≥0，
解得x≤3，
∴x-π<0，
=|x-π|-(3-x)
=π-x-3+x
=π-3
（2）解：由数轴可知， a<0〈b，|a〉|b〉，
∴a+b<0，b-a>0，
=|a|-|a+b|-(b-a)
=-a-[-(a+b)]-b+a
=-a+a+b-b+a
=a
（3）解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b>c， a+c>b， b+c>a， a>0，b>0，c>0，
∴a+b+c>0， a-b-c<0， b-a-c<0， c-b-a<0，
=|a+b+c|+|a-b-c|-|b-a-c|+|c-b-a|
=a+b+c+(b+c-a)-(a+c-b)+(a+b-c)
=a+b+c+b+c-a-a-c+b+a+b-c
=4b
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件，得到隐含条件3-x≥0，即x≤3；再结合π>3，判断出x-π<0；然后根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式得到|x-π|-(3-x)，再根据绝对值的性质去绝对值符号得到π-x-3+x，最后合并同类项，得到结果π-3；
(2)先根据数轴上a，b的位置，判断出a<0∣b∣，进而得到a+b<0，b-a>0；再根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式，得到|a|-|a+b|-(b-a)；接着根据绝对值的性质去绝对值符号，∣a∣=-a，∣a+b∣=-(a+b)，∣b-a∣=b-a；最后去括号合并同类项，得到结果a；
(3)先根据三角形三边关系，得到a+b>c，a+c>b，b+c>a，进而判断出a+b+c>0，a-b-c<0，b-a-c<0，c-b-a<0；再根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式，得到|a+b+c|+|a-b-c|-|b-a-c|+|c-b-a|；接着根据绝对值的性质去绝对值符号，∣a+b+c∣=a+b+c，∣a-b-c∣=b+c-a，∣b-a-c∣=a+c-b，∣c-b-a∣=a+b-c；最后去括号合并同类项，得到结果4b．
26．【答案】（1）证明：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠A=∠C=(180°-∠ABC)÷2=45°，
∵AD=AB，
∴AD=BC，
∵AE=CD，
∴△AED≌△CDB(SAS)，
∴ED=BD，
∴△BDE是等腰三角形
（2）证明：过点D作DH⊥AB于H，如下图所示；
∴∠HDB=∠DBC=90°-∠DBH，
∵△AED≌△CDB(SAS)，
∴∠ADE=∠DBC，则∠FDE=∠BDH ，
∵△BDE是等腰三角形，
∴∠BDH=∠EDH ，则∠FDE=∠EDH ，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE=∠DHE=90°，又DE=DE，
∴△FDE≌△HDE(AAS)，
∴∠FED=∠HED，
∴ED平分∠FEB
（3）证明：由(2) ∠DEB=∠DEF ，在Rt△DEF中， ∠FDE+∠DEF=90°，
在Rt△EBG中， ∠G+∠DEB=90°，
∴∠FDE=∠G，
∵∠FDE=∠CDG，
∴∠CDG=∠G，
∴点C在DG的垂直平分线上
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先由AB=CB，∠ABC=90°，利用等腰直角三角形的性质，得到∠A=∠C=45°；再结合AD=AB=CB和AE=CD，用SAS判定△AED≌△CDB；最后根据全等三角形的对应边相等，得到ED=BD，从而证明△BDE是等腰三角形；
(2)先过D作DH⊥AB，由(1)中△AED≌△CDB，得到∠ADE=∠DBC；再结合直角三角形的性质，推出∠ADE=∠HDB；接着利用等腰三角形三线合一，得到DH平分∠BDE，进而推出∠FDE=∠EDH；然后用AAS判定△FDE≌△HDE，根据全等三角形的对应角相等，得到∠FED=∠HED，从而证明ED平分∠FEB；
(3)先由(2)中ED平分∠FEB，结合直角三角形的两锐角互余，推出∠FDE=∠G；再利用对顶角相等，得到∠CDG=∠G；最后根据等角对等边，得到CD=CG，从而证明点C在DG的垂直平分线上．
1 / 1湖南省岳阳市第二中学2025年2月八年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1．在式子 中，分式有（　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：：分母是常数2，不含字母，是整式，不是分式；
：分母是常数π，不含字母，是整式，不是分式；
：分母是3x，含有字母x，是分式；
：分母是2-x，含有字母x，是分式；
：分母是x+y，含有字母x，y，是分式．
综上，分式有 ，共3个．
故答案为：B.
【分析】先根据分式的定义：如果A，B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式；再逐个分析题目中符合分式定义的5个式子，得出分式有．
2． 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】.【解答】解：A、因为-3.14≠0，所以，A错误；
B、2a2 a3=2a5≠2a6，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误．
故答案为：C.
【分析】分别根据零指数幂公式a0=1，同底数幂乘法公式am an=am+n，分式乘方公式，负整数指数幂公式和积的乘方公式(ab)n=anbn进行计算并验证即可．
4．等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为（　　)
A．70° B．40° C．55°或70° D．40°或70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当70°为顶角时，顶角直接为70°；
当70°为底角时，顶角为180°-70°×2=40°．
综上，等腰三角形的顶角为40°或70°．
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质：两底角相等，三角形内角和为180°；再分两种情况讨论，即当70°为顶角时，顶角为70°；当70°为底角时，顶角为40°；最终得出顶角为40°或70°．
5．下列说法正确的是（　　)
A．的平方根是±4 B．（-3)2的算术平方根是-3
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，4的平方根为±2，A错误；
B、(-3)2=9，9的算术平方根为3，B错误；
C、负数有立方根，且立方根为负数，C错误；
D、因为且，所以是2的算术平方根，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据平方根的定义（即若x2=a，则x叫做a的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根），算术平方根的定义（即一个非负数的非负平方根，具有非负性），立方根的定义（即任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0）的定义，逐个分析选项即可.
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解不等式组得：
在数轴上表示可得
故答案为：A
【分析】先解不等式组，再在数轴上表示即可求出答案.
7．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
B．等边三角形有3条对称轴；
C． SSA无法判断两个三角形全等；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
8．如图，在△ABC中，DE 垂直平分AB，FG 垂直平分 AC，BC=13cm，则△AEG的周长为（　　)
A．6.5cm B．13cm C．26cm D．15cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG．
△AEG的周长为：C△AEG=AE+EG+AG=BE+EG+CG
∵BE+EG+CG=BC，BC=13cm，
∴C△AEG=13cm．
故答案为：B.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质，分别得到AE=BE，AG=CG；再将△AEG的周长表达式AE+EG+AG中的AE和AG用BE和CG替换，转化为BE+EG+CG；最后结合BE+EG+CG=BC=13cm，得出△AEG的周长为13cm．
9．若关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵无解，∴方程有增根为x=5.
分式方程可变形为，
把x=5代入得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程无解知道方程有增根x=5，先化为整式方程再代入求a的值.
10．如图，在射线OA，OB 上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在 B1A1，B1B上分别截取. 连接 A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵OA1=OB1，
∴∠OA1B1=∠OB1A1=α，
∵B1A2=B1B2，
∴∠B1A2B2=∠B1B2A2，
又∵∠OB1A1是△A2B1B2的外角，
∴∠OB1A1=2∠A2B2O，即，
同理可得，，
归纳可得，
当n=2024时，．
故答案为：B.
【分析】先根据OA1=OB1，结合等腰三角形两底角相等的性质，得到∠OA1B1=∠OB1A1=α；再利用B1A2=B1B2和三角形外角定理，推出；接着通过计算前几项的角度，归纳出的通用规律；最后将n=2024代入规律，得到．
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共24 分)
11．写出一个比 大的无理数　 　.
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，且无理数是无限不循环小数，
又∵，1.732>1.414，
∴是比大的无理数（答案不唯一）．
故答案为： (答案不唯一).
【分析】先根据无理数的定义（无限不循环小数），再估算的近似值约为1.414，接着寻找一个近似值大于1.414的无理数，比如（约1.732），验证它满足无理数定义且比大，因此可以作为答案．
12． 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2x-6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可列出不等式，进而即可求解。
14．分式方程 的解为　 　.
【答案】x=-2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘x(x+1)，得2(x+1)=x
去括号，得2x+2=x
移项，合并同类项，得x=-2
检验：将将x=-2代入x(x+1)，得-2×(-2+1)=2≠0，
∴分式方程的解为x=-2．
故答案为：x=-2.
【分析】根据分式方程的定义，先通过去分母的方法，方程两边同乘最简公分母x(x+1)，将分式方程转化为整式方程2(x+1)=x；接着解这个整式方程，得到x=-2；最后将解代入最简公分母检验，确认分母不为零，得出方程的解为x=-2．
15．若a、b为实数，且 则 a 的值　 　.
【答案】-3
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，且 ，
∴，，解得，，
∴．
故答案为：-3.
【分析】先根据平方数和算术平方根的非负性，结合两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，得到和；接着解出，；最后将a，b的值代入ab，计算得．
16．已知，则＝　 　．
【答案】9
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
则
=
=
=9
故答案为：9
【分析】先根据，进行分母有理化，再代入代数式，去括号，合并同类项即可求出答案.
17．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同。设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，可列方程为　 　.
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：因为设原计划平均每天生产x台机器，所以现在平均每天生产(x+50)台机器，那么现在生产600台机器所需时间为，原计划生产450台机器所需时间为，且二者时间相同，所以可列方程为：.
故答案为：.
【分析】先根据“现在平均每天比原计划多生产50台”，表示出现在的日产量为x+50；再根据“时间=总量÷日产量”，分别表示出现在生产600台的时间为，原计划生产450台的时间为；最后根据“两个时间相同”这一等量关系，列出分式方程．
18．如图，BO为△ABC 的中线，延长BO至 D，使 OD=OB，连接CD，已知BC=6，OC-OD=2，则△ABC与△DOC的周长差为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BO为△ABC的中线，
∴AO=OC，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD.
∵△ABC的周长为AB+BC+AC=CD+BC+2OC，△DOC的周长为CD+OD+OC，
∴周长差为(CD+BC+2OC)-(CD+OD+OC)=BC+OC-OD，
∵BC=6，OC-OD=2，
∴周长差为6+2=8．
故答案为：8.
【分析】先根据中线的定义得到AO=OC，再结合OB=OD和对顶角相等，利用SAS证明△AOB≌△COD，得出AB=CD；接着分别写出两个三角形的周长表达式，通过化简消去CD，得到周长差为BC+OC-OD；最后代入BC=6，OC-OD=2，计算得周长差为8．
三、解答题（本题共 8 小题，共66 分)
19． 计算：
【答案】解：原式：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算式子的每一项：根据-1的偶次幂为1，得(-1)2024=1；根据立方根的定义，得；根据算术平方根的定义，得；根据绝对值的性质，，故；再将所有项的结果相加，得到．
20．先化简 再从-1，0，1中选一个合适的x的值代入求值.
【答案】解：原式
∵x+1≠0，x-1≠0，
∴x≠±1
取x=0，则
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号内的通分，得到；再将除法转化为乘法，并对分子分母因式分解，即；接着约去公因式x+1，化简得；然后根据分式有意义的条件，排除x=±1，选择x=0代入化简后的式子，计算得结果为0．
21．解不等式组 并把不等式组的解集表示在数轴上.
【答案】解：解不等式3-x≥2(x-3)，得x≤3，
解不等式 得x>-1，
则不等式组的解集为-1将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到x≤3和x>-1；然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找”的原则，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集-122．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）求证：AE＝EC．
【答案】（1）证明：∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴根据平行线的性质得，ADE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵DE∥AB，
∴根据平行线的性质得，∠EDC＝∠B，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE＝CE．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)由三线合一定理得到∠BAD = ∠CAD，由平行线的性质得到ADE =∠BAD，据此证明∠DAE= ∠ADE，即可证明AE = DE；
(2)根据等边对等角得到∠C =∠B，根据平行线的性质得到∠EDC=∠B，据此可证明∠EDC =∠C，得到DE = CE，则可证明结论.
23． 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD， CD的B， C点固定不动，且到点A 的距离AB=AC.
（1）当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗 请说明理由.
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若 ∠MBD =120°，求∠CDA 的度数.
【答案】（1）解：相等.理由如下：
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD
（2）解：∵AP平分∠BAC，∠BAC=140°，
又∵∠MBD=120°，
∴∠BDA=∠MBD-∠BAD=120°-70°=50°.
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA=∠BDA=50°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先根据角平分线的性质，由伞柄AP平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD；再结合已知条件AB=AC和公共边AD=AD，用SAS判定△ABD≌△ACD；最后根据全等三角形的对应边相等，得出BD=CD；
(2)先根据角平分线的性质，由∠BAC=140°，算出∠BAD=70°；再利用三角形外角的性质，由∠MBD=120°，算出∠BDA=120°-70°=50°；接着根据(1)中△ABD≌△ACD，利用全等三角形的对应角相等，得到∠CDA=∠BDA=50°．
24．某市在进行“文明城市”评选的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元.
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元
（2）考虑到绿化效果，购进 A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元.若购进这两种树共 100棵.问有哪几种购买方案
【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：
解方程组得
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，
解得48≤a≤50.
∵a为整数，
∴a=48，49，50，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)先设A，B两种树的单价分别为x元，y元，根据“购买3棵A，4棵B需3200元，购买5棵A，2棵B需3000元”的两个等量关系，列出二元一次方程组；解得，即可得到两种树的单价．
(2)先设购进A种树a棵，则B种树为(100-a)棵；再根据“A种树不少于48棵”和“资金不低于45000元”两个条件，列出不等式组，解得48≤a≤50；再结合a≥48，确定a的整数取值为48，49，50；最后根据a的取值，写出对应的三种购买方案，即方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
25．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：
解： 隐含条件2-3x≥0，
解得
∴1-x>0，
∴原式=（2-3x)-（1-x)=2-3x-l+x=1-2x
（1）【启发应用】
按照上面的解法，试化简. （结果保留π)
（2）【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3） 已知a， b， c为△ABC的三边长. 化简：
【答案】（1）解：隐含条件3-x≥0，
解得x≤3，
∴x-π<0，
=|x-π|-(3-x)
=π-x-3+x
=π-3
（2）解：由数轴可知， a<0〈b，|a〉|b〉，
∴a+b<0，b-a>0，
=|a|-|a+b|-(b-a)
=-a-[-(a+b)]-b+a
=-a+a+b-b+a
=a
（3）解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b>c， a+c>b， b+c>a， a>0，b>0，c>0，
∴a+b+c>0， a-b-c<0， b-a-c<0， c-b-a<0，
=|a+b+c|+|a-b-c|-|b-a-c|+|c-b-a|
=a+b+c+(b+c-a)-(a+c-b)+(a+b-c)
=a+b+c+b+c-a-a-c+b+a+b-c
=4b
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件，得到隐含条件3-x≥0，即x≤3；再结合π>3，判断出x-π<0；然后根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式得到|x-π|-(3-x)，再根据绝对值的性质去绝对值符号得到π-x-3+x，最后合并同类项，得到结果π-3；
(2)先根据数轴上a，b的位置，判断出a<0∣b∣，进而得到a+b<0，b-a>0；再根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式，得到|a|-|a+b|-(b-a)；接着根据绝对值的性质去绝对值符号，∣a∣=-a，∣a+b∣=-(a+b)，∣b-a∣=b-a；最后去括号合并同类项，得到结果a；
(3)先根据三角形三边关系，得到a+b>c，a+c>b，b+c>a，进而判断出a+b+c>0，a-b-c<0，b-a-c<0，c-b-a<0；再根据二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式，得到|a+b+c|+|a-b-c|-|b-a-c|+|c-b-a|；接着根据绝对值的性质去绝对值符号，∣a+b+c∣=a+b+c，∣a-b-c∣=b+c-a，∣b-a-c∣=a+c-b，∣c-b-a∣=a+b-c；最后去括号合并同类项，得到结果4b．
26．在△ABC中， AB=CB，∠ABC=90°， 点D是AC上一点， AD=AB， 点E是AB上一点， AE=CD.
（1）如图1，求证： △BDE是等腰三角形；
（2）如图2， 过点E作EF⊥AC于点 F， 求证： ED平分∠FEB；
（3）如图3，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上.
【答案】（1）证明：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠A=∠C=(180°-∠ABC)÷2=45°，
∵AD=AB，
∴AD=BC，
∵AE=CD，
∴△AED≌△CDB(SAS)，
∴ED=BD，
∴△BDE是等腰三角形
（2）证明：过点D作DH⊥AB于H，如下图所示；
∴∠HDB=∠DBC=90°-∠DBH，
∵△AED≌△CDB(SAS)，
∴∠ADE=∠DBC，则∠FDE=∠BDH ，
∵△BDE是等腰三角形，
∴∠BDH=∠EDH ，则∠FDE=∠EDH ，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE=∠DHE=90°，又DE=DE，
∴△FDE≌△HDE(AAS)，
∴∠FED=∠HED，
∴ED平分∠FEB
（3）证明：由(2) ∠DEB=∠DEF ，在Rt△DEF中， ∠FDE+∠DEF=90°，
在Rt△EBG中， ∠G+∠DEB=90°，
∴∠FDE=∠G，
∵∠FDE=∠CDG，
∴∠CDG=∠G，
∴点C在DG的垂直平分线上
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先由AB=CB，∠ABC=90°，利用等腰直角三角形的性质，得到∠A=∠C=45°；再结合AD=AB=CB和AE=CD，用SAS判定△AED≌△CDB；最后根据全等三角形的对应边相等，得到ED=BD，从而证明△BDE是等腰三角形；
(2)先过D作DH⊥AB，由(1)中△AED≌△CDB，得到∠ADE=∠DBC；再结合直角三角形的性质，推出∠ADE=∠HDB；接着利用等腰三角形三线合一，得到DH平分∠BDE，进而推出∠FDE=∠EDH；然后用AAS判定△FDE≌△HDE，根据全等三角形的对应角相等，得到∠FED=∠HED，从而证明ED平分∠FEB；
(3)先由(2)中ED平分∠FEB，结合直角三角形的两锐角互余，推出∠FDE=∠G；再利用对顶角相等，得到∠CDG=∠G；最后根据等角对等边，得到CD=CG，从而证明点C在DG的垂直平分线上．
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