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重庆八中高2026届5月适应性月考（七）数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．试卷由"整理排版．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合则=
A．{5}
B．{4，5}
C．{3，4，5}
D．{2，3，4}
2．已知复数z满足z（1+2i）=5，则|z|=
A． B． C．1 D．
3．已知且则
A．-5 B． C． D．5
4．小明在一张半径为5dm的圆形竹编中，剪出一个半径为5dm的扇形用以制作圆锥状灯罩，如图若灯罩的径深（顶点到底面的距离）为3dm，则需要用到的材料面积至少为
A． B． C． D．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为
A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52
6．已知圆C与直线x+y-6=0和圆（都相切，当圆C的半径最小时，其标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知函数若f'（1）=0，且f（1）不是f（x）的极值，则
A．a+b>0 B．a+b=0 C．ab≥3 D．ab=-3
8．已知数列的前n项和为=1且则对 n∈N
A．
B．
C．存在常数M，使得
D．存在常数m，使得
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量m=（3，2），n=（2，a），则
A．当m∥n时，
B．存在a∈R，使|m+3n|=7
C．当a=2时，m在n方向上的投影向量为
D．当m与n的夹角为锐角时，
10．已知函数则
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B． a∈R，使得f（x）存在零点
C． a∈R，f（x）为增函数
D． a∈R，使得f（x）的最小值为0
11．已知抛物线的焦点为F，直线l1交C于A，B两点，交y轴于点E，直线l2与C相切于点D，且l1∥l2，O为坐标原点，若A，F，D三点共线，则
A．
B．△AEF为等腰三角形
C．与x轴垂直
D．△ABD面积的最小值为16
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，5，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第30百分位数为___________．．
13．函数f（x）=sinx-sin2xtanx的最大值为___________．
14．在空间直角坐标系O-xyz中，正四面体ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，若OD的最大值为1，则该四面体的棱长为___________．．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，
（1）求边AB的长；
（2）若AC=5，AD⊥BC于点D，BC的中点为E，求线段DE的长．
16．（本小题满分15分）
如图，在多面体ABCDE中，AC⊥BC，AC=BC=2，AE=CE=，BD=1，且BD⊥平面ABC，平面ACE⊥平面ABC．
（1）求点D到平面ACE的距离；
（2）求平面ACD与平面ACE所成角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数V∈{1，2，3，4，5}，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行．
（1）连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值；
（2）求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，焦距为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q．
（i）求直线AR与BQ的斜率之比
（ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率k（k>0）．
19．（本小题满分17分）
已知函数
（1）若f（x）在[0，+∞）内单调递增，求a取值范围；
（2）记
（i）对任意实数x和正整数k，f （x）≥0，求
（ii）若，集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且M∩N=．设且证明：
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B C A B D
【解析】
1．对于集合，即且，所以，故，故选C．
2．，故，故选A．
3．，则，结合，得，，故选D．
4．即求圆锥形灯罩的侧面积，该圆锥的高为，则底面半径为，则侧面积为，故选B．
5．只进行两局比赛结束的概率为，则两人进行第三局比赛的概率为，故选C．
6．设圆C的半径为，即，取等时，如图1，圆心在过（1，-1）的直线的垂线段上，即在上，设，则，解得，故选A．
7．，由题意，且，联立解得，故选B．
8．由题意，由，当时，，则，另一方面，，即，则，当时，，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
【解析】
9．对A，则，解得，A正确；
对B，若，则，即，故不存在，使，B错误；
对C，当时，，，在方向上的投影向量为C错误；
对D，当与夹角为锐角时，且不共线，即且，解得D正确，故选AD．
10．对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确；
对B，当时，，当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增，又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确；
对C时，，故不是单调递增函数，C错误；
对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成．如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确，故选ABD．
11．对A，如图3所示，，设直线，，联立直线与抛物线，得，故，因此，A错误；
对B，由于，所以直线的斜率为，则，令，得，即，则，由抛物线定义，，故，所以为等腰三角形，B正确；
对C，由上述假设，可知，与抛物线联立，可得：，所以，，因此，即，所以与轴垂直，C正确；
对D，，由，可求得中点，所以，故D正确，
故选BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 5.5
【解析】
12．，将数据从小到大排列后，这组数据的第30百分位数为第3个与第4个数的平均数：5.5．
13．，当时取等．
14．如图将正四面体补齐为正方体，设正方体的边长为，则原点即在以为大圆直径的球上．如图所示，当为射线DM与球的外侧交点时，OD取得最大值1，此时，正四面体的边长为
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为，
所以．
由正弦定理：，
所以．
（2）由余弦定理：，
所以．
因为的面积为，
所以．
勾股定理：，
所以．
16．（本小题满分15分）
（1）证明：由平面平面，且交线为，又，
所以平面．
由平面，所以平面，
则点D到平面的距离等于点B到平面的距离，即的长，
故点D到平面的距离为2．
（2）解：分别取的中点，连接，，由，所以，OE平面ABC．
又，所以．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，取平面的法向量．
设平面的法向量，
由，得，故，
所以，
故平面与平面所成角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意，，
故，
令其大于1，得，解得，
所以最有可能为1．
（2）设生产一个零件的尺寸为，则的可能取值有0.5，1，1.5，2，2.5，3，4，5，
其分布列为：
Y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5
P
期望．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）（i），设直线的方程为，
与联立得：．
设，则，
于是
又，故．
（ii）由与的面积相等，得与的面积相等，
故有．
延长交于点，因为，
由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故．
设直线方程为，
与椭圆方程联立得：，
设，
则，
故，
得，
得，
得，
解得．
19．（本小题满分17分）
（1）解：函数，则，
由于在内单调递增，有．
故取值范围为．
（2）（i）解：当时，结合（1），
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以的最小值为．
设，
当时，；当时，，
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以．
（ii）证明：结合（i）中的单调性，以及，
得到有两零点，不妨设，下证．
而为A的子集，它们各有个元素，且，
则A至少有个元素．
而A的元素只可能在之中，这表明它们两两不等，
且，所以包含个正数，个负数．
而为A的子集，它们各有个元素，且，则．
设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数，
因为，
所以，
从而．
设，则，
设，则，
所以单调递增，所以，
又因为，所以．
由（i）知，在上单调递减，故，即，
所以
所以

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