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黑龙江省齐齐哈尔市教联体2025-2026学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量不共线，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．在中，，的角平分线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反
B．向量的长度与向量的长度相等
C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D．若与同向，且，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是 B．的图像关于对称
C．在区间上单调递增 D．由函数图像向右平移2个单位可得到函数的图像
11．如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若复数，则__________.
13．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为__________.
14．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________
四、解答题
15．已知函数
(1)求的最小正周期及最值；
(2)求在上的单调递增区间.
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求角；
(2)若，求边长和的面积.
17．已知：向量是同一平面内的两个向量，其中.
(1)若，向量与共线且，求；
(2)若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
18．已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点.
(1)求函数的解析式：
(2)已知也是图象的最低点，且函数与函数图象交于图中点，求.
19．在平行四边形ABCD中，分别是线段BC，AE上的点，且
(1)求的值；
(2)若为线段DF上的动点，求的最小值.
参考答案及解析
1．B
解析：因为复数，则.，故B正确.
2．C
解析：由题意得.
3．A
解析：因为向量，则.
4．D
解析：依题意，该花坛的弧长为米．
5．D
解析：利用诱导公式，得：，
故利用二倍角公式，得：.
6．B
解析：因为向量不共线，且，
那么存在实数，使得，
则有，解得.
7．C
解析：解：由函数在上单调递减，在上单调递增，所以根据正弦函数的性质，
函数在时取最小值，则，代入，解得，.
又，所以，所以当时，，
所以，故.
8．B
解析：在中，由余弦定理：
代入已知条件可得
，整理得：，
解得（负根舍去）.
由于是的角平分线，故，且，
代入面积公式得，
因为，则.
代入，
可得.
9．BC
解析：A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10．BCD
解析：解：选项，的最小正周期，得，故A错误；
选项B，由余弦函数的对称轴为直线，令，
解得函数的对称轴为直线，，
当时，，故B正确；
选项C，令，解得，
所以函数的单调递增区间为，，
当时，递增区间为，而，故C正确；
选项D，函数图象向右平移2个单位，得，
即，故D正确.
11．AB
解析：对于A：因为，
由余弦定理，
所以，故A正确；
对于B：因为点在BC上，且，
所以，故B正确；
对于C：因为为AB的中点，，
所以，
则
，故C不正确；
对于D：由已知，，又，所以，
又，
则，
所以，故D不正确.
12．
解析：由题意可得：，
所以,则
13．
解析：，
由得，即，
解得.
，
∴向量在上的投影向量为.
14．12
解析：已知，
由正弦定理边化角得.
由于，
因此.
又，，所以，则.
因为的面积为，
所以，解得，
所以，当且仅当时等号成立，
因此的最小值为12.
15．(1)最小正周期为，最大值为，最小值为
(2)
解析：（1）因为，
所以的最小正周期是，
因为，所以，其最大值为，最小值为；
因此的最小正周期为，最大值为，最小值为；
（2）由正弦函数的单调性得：
当时，函数单调递增，
令，代入得：，
即，
解得，
所以的单调递增区间为.
16．(1)
(2)，面积
解析：（1）已知，由余弦定理得：，
所以，化简可得：．
又，故．
（2），
由正弦定理，代入；
所以．
因为，
所以．
17．(1)或.
(2)
解析：（1）解：由题意，，则，
设，因为与共线且，
所以，解得或
所以或.
（2）解：由题意，，则，
，
又与的夹角为钝角，
则且与不共线，
所以，解得且，
综上所述，实数的取值范围为；
18．(1)；
(2)
解析：（1）由最低点和最高点可知，，则，所以
因为，所以，
将代入上式得，
因为，所以，
所以，即.
（2）令，可得，
因为，所以，得，得，则，
因为是图象的最低点，所以 ，
由，得 ，
故.
19．(1)；
(2)
解析：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，，
所以，
因为是线段AE的中点，
所以，
又，所以，
则；
（2）因为为线段DF上的动点，设，
所以，
，
在平行四边形ABCD中，，
所以，
则
，
故当时，的最小值为.

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