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高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 若 ,则 的虚部是
A. -3 B. 3 C. -3i D.
3. 设向量 ，若 ，则
A. -2 B. -1 C. D.
4. 设公差为 3 的等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 当 时,函数 的图象大致是
A
B
C
D
6. 如图，半球 的半径为 ，从中挖去一内接圆柱 . 圆柱一个底面在半球圆面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
7. 盒中有 6 个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,每次取 1 个球. 记事件 为“取出 2 个小球的数字之和大于 ,事件 为“第二次取出小球的数字为 , 则
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,过 的直线与 的右支交于 两点. 若 ,则 的值为
A. B. 3 C. D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知两组样本数据 和 ,其中 是 的平均数, , 不全相同,则这两组样本数据的
A. 平均数一定相等
B. 中位数一定相等
C. 标准差一定不相等
D. 第 80 百分位数可能相等
10. 已知函数 为奇函数,则
A. 的最小正周期为
B. 将 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 直线 是曲线 的一条对称轴
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 且斜率不为零的直线 交椭圆于 两点,当直线 垂直于 轴时, 为等边三角形,则下列说法正确的是
A. 的离心率为
B. 存在四个点 使得 为直角三角形
C. 记 ,则 的最大值为
D. 记 的外接圆和内切圆半径分别为 ,则 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. ,则 _____.
13. 已知点 为圆 上任意一点，过点 分别向直线 和 作垂线，垂足分别为 . 则 的最大值为_____.
14. 已知 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 底面 ， 是 的中点，点 满足 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正切值.
17. (本小题满分 15 分)
已知抛物线 ，过点 的直线交 于 ， 两点.
(1)设 ， ，证明: 为定值；
(2)过点 的另一条直线交 于 ， 两点，且 ，求 的最小值.
18. (本小题满分 17 分)
有编号为 的 个相同小球, ,从中有放回地随机取 次,每次取 1 个球,记 为这 个球中未被取到的球的个数.
(1)已知 .
(1)若 ，求 的分布列；
(ii) 若 ，求 的概率；
(2)若 ， 都是离散型随机变量，则 . 证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ,其中 ,函数 的最小值为 为 的导函数.
(1)求 的值；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)若 在 的极小值点为 ，证明: .
合肥市2026届高三年级5月教学质量检测 数学 参考答案、提示及评分细则
1. D . 故选 D.
2. A 由题意得 的虚部是 -3 . 故选 A.
3. 因为 ,由 得 ,解得 . 故选 D.
4. A 因为 ,所以 . 故选 A.
5.B 函数 的定义域为 且 ，排除 A，C，当 时， . 故选 B.
6. D 如图，作半球 的轴截面，记半球半径为 ，圆柱半径为 . 由题意，圆柱的高为 ,则有 ,故 . 所以剩余几何体的表面积为 . . 故选 D.
7. 由已知条件, ,所以 . 故选 C.
8. 不妨设 ,则 . 设 ,则 , . 在 中,由勾股定理可得, ,所以 ; 同理,在 中,由勾股定理可得, ,所以 . 所以 . 故选 B.
9. ACD 不妨设 ,则 . 对于 A: 第二组数据的平均数为 ,故 A 正确; 对于 B: 第一组数据的中位数为 ,第二组数据为中间两数的平均值,不一定等于 ,故 B 错误; 对于 C: 记第一组数据的标准差为 , 则第二组数据的标准差为 ,故 C 正确; 对于 D: 第一组数据第 80 百分位数为 ,第二组数据第 80 百分位数为第 5 个数据,两者可能相等,故 D 正确. 故选 ACD.
10. 由题意, ,因 ,则 ,故 . 对于 的最小正周期为 ,故 A 正确; 对于 B,将 的图象向右平移 个单位可以得到函数 ,故 B 正确; 对于 C,当 时, ,而函数 在 上单调递减,故 错误; 对于 是其对称轴,故 正确. 故选 ABD.
11. ABD 记 . 对于 A: 直线 垂直于 轴时,不妨设 ,则 ,因此离心率 ,故 正确；对于 B: 当 位于短轴顶点时, ,所以椭圆上存在四个点使得 为直角三角形,故 正确; 对于 ,则 ,又 ,当且仅当 取等号,所以 ,故 C 错误; 对于 D: 由 知 ,由 知 ,因此 ,又 ,则 ,当且仅当 取等号,故 正确. 故选 ABD.
12.45 ,令 ,则 ,即 .
13. 18 圆 的圆心 ,半径 ,由题意 互相垂直且均经过定点 ,因此 . 经检验等号成立.
14. 法一: 因为 ,若函数有极大值点和极小值点,则 与 至少有两个交点. 如下图，易知 .
记 恰与 相切时,切点为 ,则有 解得 . 由题意可知 ,又 ,所以 .
法二: ,函数有极大值点和极小值点,则 有两正实根. 即 有两实根,令 ,则 ,故 在 上增,在 上减,又 , ,所以 . 经检验 时,符合题意.
15. 解:(1)因为 ，所以 ，
即 ,化简为 ,即 ,
因为 ,所以 . 6 分
(2)因为 ，所以 ，
又 .
所以 . 9 分
又 是锐角三角形,则
解得 , 10 分
所以 ,所以 的取值范围为 . 13 分
16.(1)证明:连接 交 于点 ，连接 .
因为 是 的中点, ,所以 .
又 ,所以 ,从而,在平面 中,有 .
所以 ,又 平面 平面 .
所以 平面 . 6 分
(2)解:因为 底面 ,以 为坐标原点,以 的方向为 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 .
所以 .
设 为平面 的法向量,
则 即
可取 . 9 分
设 为平面 的法向量,
则 即
可取 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,所以 .
所以平面 与平面 夹角的正切值为 . 15 分
17. 解: (1)设直线 方程: .
联立 消去 ,化简可得 .
所以 ,则 .
所以 为定值一 3 . 6 分
(2)令直线 ，直线 ，
由 (1) 知 ,同理, ,
所以 ,因为 ,所以 且 .
又 ,
所以 .
所以 . 12 分
当 时, ,所以 , 当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为 . 15 分
18.( 1 )解:( i )从 5 个相同小球中有放回地随机取 2 次，共有 种情况， 的取值为 3,4.
表示 2 次取球中未被取到的球的个数为 3 个，即 2 次取球中取到 2 个不同编号的球，
表示 2 次取球中未被取到的球的个数为 4 个，即 2 次取球中取到的是同 1 个编号的球，
所以 ,
所以 的分布列为
3 4
5 分
( ii ) 表示 次取球中未被取到的球的个数为 3 个，即 次取球中取到 2 个不同编号的球，从 5 个相同小球中有放回地随机取 次,共有 种情况, 时有 种情况,
所以 的概率为 . 10 分
(2)证明:从 个相同小球中有放回地随机取球 次中，定义随机变量 ，其中 表示第 个小球未被取到， 表示第 个小球至少被取到 1 次，则 服从两点分布，所以
,由题意知, ,
又 ,所以 .
,因为 ,所以
故 . 17 分
19. 解: (1) ,因为 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,又 的最小值为 2,
所以 ,解得 . 4 分
(2)由(1)知 ，则 ，令 ，
则 .
因为 ,所以 在 内单调递增, .
(i) 时, ,所以 在 内单调递增,
则 ,所以 单调递增,即 满足题意.
(ii) 时, ,记 的根为 ,则 ,即 .
所以 在 递减,在 递增.
最小值为 ,令 ,即 ,解得 .
综上, . 10 分
(3)由(2)知 时， ，又 时，指数函数 呈爆炸性增长,从而 ,所以 使 .
所以 在 递增,在 递减,在 递增.
因为 ,令 ,则 .
令 ,则 ,所以 在 递减.
则 ,
又 ,则 ,所以 .
所以 ,
所以 .
故 . 17 分

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