资源简介

数 学
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 ,则
A. B. i C. 1-i D. 1+i
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则
A. 4 B. 7 C. -7 D. 8
4.
A. 1 B. C. D. 2
5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动, 需要挑选 10 名志愿者。10 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班, 每个班至少一个名额, 则名额分配方法有
A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 8 种
6. 设等差数列 的首项和公差均为 ,等比数列 的首项和公比也均为 ,其中 . 若数列 的前 6 项和与数列 的前 3 项和都等于 ,则
A. 84 B. 63 C. 42 D. 21
7. 若 ,则
A. B. C. D.
8. 函数 的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 设 的三个内角分别为 ,重心为 ,则
A. 以 的长度为边能构成三角形
B. 以 的三条中线的长度为边能构成三角形
C. 以 的长度为边能构成三角形
D. 若点 到 的三边 ， ， 的距离分别为 ， ， ，则以 ， ， 的长度为边能构成三角形
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 的右支上,且 ,则
A. 当 时, 的面积为
B. 当 时, 的周长为
C. 当 为钝角时,
D. 内切圆的半径的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 空间向量 在 上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知直线 与曲线 和 都相切,则直线 的方程为_____.
14. 投掷一枚质地均匀的骰子,直到掷出数字 1 或 6 为止,则在掷出 1 或 6 之前,数字2,3,4,5每个都至少出现一次的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市 2025 年第二、第三季度每个月的销售量(单位:万辆)如下表所示.
月份 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月
月份代号 1 2 3 4 6
销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5
(1)求这 6 个月销售量数据的平均数和 80% 分位数；
(2)已知该市销售量 与月份代号 具有很强的线性相关关系，求 关于 的经验回归方程，并预测 2025 年 12 月份的销售量.
附:经验回归方程 的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
16. (15分)
设函数 ,将函数 的正零点按照从小到大的顺序排列,得到数列 ,且 .
(1)求ω的值；
(2)求函数 图象的对称中心；
(3)求数列 的前 项和 .
17. (15分)
如图 1,等腰直角 的斜边 为 的中点,沿 边上的高 折叠,使得二面角 为 ，如图 2 所示，设 为 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 和平面 的夹角的余弦值.
(3)在线段 (含端点)上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出线段 的长度; 若不存在,请说明理由.
图 1
图 2
18. (17分)
已知函数 ，其中 .
(1)当 时,求方程 的所有实数解;
(2)证明:当 时， ；
(3)若 在 上恒成立，求 的值.
19.(17分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆 上且 的周长为 6 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)设过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点,过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 与 的交点为 ,且 与 的斜率之积为 .
① 求点 的轨迹方程；
② 求四边形 面积的取值范围.
数学参考答案和评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C D B A C B AD ABD BC
一、选择题
1.【答案】B
由 ,得 .
2.【答案】D
由题意得 ,所以 .
3.【答案】C
由已知得 ,则 ,所以当 时, ,所以 ,故 .
4.【答案】D
.
5.【答案】B
10 个名额为相同元素,可用隔板法,10 个相同元素分为 8 组,即将 7 个隔板插入 9 个空, .
6.【答案】A
依题意可知, ,显然 ,
又 ,
则 .
又 ,故 ,
所以 ,解得 ,所以 .
7.【答案】C
由不等式 ,令 ,则 .
8.【答案】B
因为 ,
所以 .
令 ,设 ,则 .
当 时, ,所以 的最小值为 .
二、多项选择题
9.【答案】AD
对于 ,若 ,由线面垂直的性质可知 ,故 正确;
对于 ,若 ,则可能有 或 或 与 斜交或 ,故 错误;
对于 ,若 ,但是 不一定在 内,故不能推出 ,故 错误;
对于 ,因为 ,所以直线 的方向向量分别与平面 的法向量平行,又因为 ,所以两
个平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即 ，故 正确.
10.【答案】
由正弦定理可知， ，所以以 的长度为边能构成三角形,故 正确;
设三条中线分别为 ,则有 ,
因为 ,所以 ,即三个向量 可构成闭合回路,
所以以 的三条中线 的长度为边能构成三角形,故 正确;
显然当 时, ,故 错误;
因为 ,所以 ,所以 ,所以以 的长度为边能构成三角形,故 正确.
11.【答案】BC
当 时, ,故 A 错误;
设 ,当 时,
有 ,
所以 的周长为 ,故 正确;
设 ,当 为钝角时,由余弦定理知 ,
因为 ,
所以 ,故 C 正确;
由如下引理知 内切圆的半径的取值范围是 ,即 ,故 错误.
引理 双曲线 的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是 . 证明如下: 如图，点 位于第一象限， ， 是双曲线的左、右焦点，设焦点 内切圆的圆心为 ，则圆心 在直线 上 (证明省略).
设内切圆的半径为 ,点 ,
由焦半径公式得 ,其中 .
所以 .
因为 ,
即 .
因为点 在双曲线 上,所以 ,得 .
于是 ,把 代入得
易知 在 上单调递增,且 ,
由函数的单调性及极限的知识可知 ,
因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是 .
三、填空题
12.【答案】 .
由题意得 ,
故向量 在 上的投影向量为 .
13.【答案】 .
设 ,与曲线 联立,得 ,由 ,得 .
直线 与曲线 联立,得 ,显然 ,由 ,得 .
所以 ,即 ,又 ,所以 ,从而 .
所以直线 的方程为 ,即 .
14.【答案】 .
定义状态 表示在停止事件 (掷出 1 或 6 ) 发生之前,已经观察到不同的数字来自集合 的个数. 设 为从状态 出发最终成功的概率 (即最终在掷出 1 或 6 之前已经收集全 4 个数字). 显然,当 时,已经收集全 4 个数字,此后无论掷出什么,只要首次掷出 1 或 6 时即成功,因此 .
对于状态 ,考虑下一次掷骰子的结果,有三种可能:
① 掷出数字 1 或 6 (概率为 )，此时停止，但由于尚未收集全 4 个数字( )，因此失败，成功的概率为 0 .
② 掷出一个已经出现过的属于 的数字(概率为 )，状态保持不变.
③ 掷出一个未出现过的属于 的新数字 (概率为 )，状态转移到 .
因此,从状态 出发,最终成功的概率满足方程
化简得 ,移项得 ,
即 .
利用 ，依次计算得
.
因此,所求概率为 .
四、解答题
15.(1) 这 6 个月销售量数据的平均数为 . 3 分
因为 ,所以这 6 个月销售量数据的 分位数为从小到大排列后的第 5 个数,是 3.7 . 4 分
(2)因为 , 7 分
所以 , 9 分
所以 . 10 分
当 时, (万辆),
即预测 2025 年 12 月份的销售量约为 6.08 万辆. 13 分
16.(1) 令 得
或 ,其中 ,
解得 或 , 2 分
所以当 时, 的最小正零点为 .
依题意有 ,故 . 4 分
(2)由(1)知 ，令 ，解得 ， ，
所以函数 图象的对称中心为 . 7 分
(3)由(2)可知 满足 或 ，依据三角函数的特性可知， 在一个周期内有两个零点,所以最小的两个正零点为 ,周期 ,
所以数列 的奇数项构成了一个以 为首项,2为公差的等差数列,数列 的偶数项构成了一个以 为首项,2 为公差的等差数列,
所以 11 分
所以 ,
所以 . 15 分
17.(1) 在题图 1 的等腰直角 中， 为 的中点，可得 ，
所以在题图 2 中,可得 .
因为 ,且 平面 ,所以 平面 . 2 分又因为 平面 ,所以 .
因为 平面 ,所以 是二面角 的平面角,即 ,
所以 为等边三角形.
因为 为 的中点,所以 .
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 . 4 分
(2)以 为坐标原点，在平面 内作垂直于 的直线为 轴， ， 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 ,
则 .
设平面 的法向量为 ,则 6 分
则 ,取 ,可得 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,则 7 分
则 ,取 ,可得 ,所以 .
所以 ,
所以平面 和平面 所成角的余弦值为 . 9 分
(3)假设在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
由(2)得 ,
设 ,则 . 11 分平面 的一个法向量为 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 , 13 分化简得 ,解得 或 (舍去), 所以存在点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
当 时, . 15 分
18.(1)当 时, ,
则 ,所以 ,
所以 ,
即 或 ,
解得 或 .
所以方程 的所有实数解为 或 . 5 分
(2)令 ,则 .
当 时,因为 在 上单调递增,且 ,
所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以 . 7 分
当 时,因为 , 8 分
所以 .
综上所述,当 时, ,即 . 9 分
(3)构造函数 ，
则 ,令 ,则 .
由(2)知，当 时， 成立，
所以 在 上单调递增. 11 分
① 若 ,则 ,由 的单调性知,当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以 ,满足题意. 13 分
②若 ，则 . 因为 ，所以 ，由零点存在定理可知,必存在 ,使得 . 此时满足 时, 单调递减,所以 ,矛盾,舍去. 15 分 ③若 ，则 .
若 ,则在区间 上均有 ,于是 在此区间上单调递增,因此在该区间上有 ,矛盾.
若 ,则必存在 ,使得 . 此时满足 时, 单调递增,所以 ,矛盾.
综上所述, . 17 分
19.(1) 由题意可得
所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2)① 设直线 与直线 的斜率分别为 ，则 .
设点 的坐标为 ,则 , 6 分即 ,化简得 .
所以点 的轨迹方程为 . 8 分
②方法一 设 .
联立 ,
则 . 9 分
联立 ,
则 . 10 分
所以 . 11 分
同理可得 . 12 分
设 与 的夹角为 ,因为 与 的方向向量分别为 ,
所以 ,
所以 . 13 分
设四边形 的面积为 ,
则 . 14 分因为 ,所以 .
令 ,则 ,
则 .
令 ,则 ,化简得 .
当 时, ; 当 时, .
所以四边形 面积的取值范围是 . 17 分
方法二 设 ,直线 的方程为 ,则 ,直线 的方程为 .
联立直线 与椭圆的方程得 ,
则 . 9 分
所以 .
11 分
设 分别为点 到直线 的距离,四边形 的面积为 ,
则 .
联立 得 ,
故 . 13 分
所以 ,
所以 . 15 分
思路 1: 令 ,则
因为 ,所以 .
因此 . 17 分
思路 2: 令 ,则 ,即 ,则
显然,当 时, 取得最大值 ,当 时, .
因此 . 17 分

展开更多......

收起↑