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厦门市2026届高中毕业班适应性练习 数学学科
(满分:150 分，考试时间:120 分钟)
考生注意:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将答题卡交回.
一、选择题;本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知复数 ,则
A. -2 B. -2i C. 2 D. 2i
2. 已知 是等差数列 的前 项和,若 ,则 的公差为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 随机变量 的分布列为 . 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知 在 上的投影向量为 ,则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
6. 某工厂的产量 (单位:件) 与资本投入 (单位:万元)、劳动投入 (单位:人) 满足柯布一道格拉斯生产函数 (其中 为常数). 在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升 20%，资本投入需增加 60%，则该工厂资本产出的弹性系数 约为 (参考数据: )
A.0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
7. 已知 为椭圆 上的动点， ， 为圆 上的两个动点,若 的最大值为 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示, , 则
A.
B.
C. 是 图象的一条对称轴
D. 的图象向左平移 个单位长度得到的图象关于原点对称
10. 某校有学生 3000 人，其中男生 1800 人，女生 1200 人. 为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配, 用分层随机抽样的方法抽取学生 250 人, 并统计样本中男生和女生一天的阅读时间(单位:分钟)，绘制成如下两个频率分布直方图，则
男生阅读时间
女生阅读时间
A.
B. 样本中男生阅读时间的中位数低于 40 分钟
C. 样本中阅读时间在 40 分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多
D. 用样本估计总体,全校学生中阅读时间在 60 分钟以上的约有 780 人
11. 已知 均为有限实数集,记 中的最大元素为 , ,若 ,则
A.
B.
C. 中所有元素的平均数为 191
D. 中所有元素的和为 3008
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 的展开式中所有项的系数之和为 81,则此展开式中常数项为_____.
13. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数 _____.
① 定义域为 ; ② ; ③ .
14. 在梯形 中， ， 为 上一点， ，将 沿 所在直线翻折成 (如图所示). 上一点 满足 ，在翻折过程中，二面角 的正弦值的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求A；
(2)若 为 的中点， ， 的面积为 ，求a.
16. (15 分)
如图，在三棱柱 中， ， . 过点 ， 的平面 与直线 垂直.
(1)作出 截此三棱柱所得的截面,请写出作图过程并说明理由;
(2)已知 ,求 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知定直线 ，点 在 右侧，且 到 的距离与到 的距离之比为 2 ，记者的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 与 轴垂直的直线 交 于 两点，过 的直线 交 于 两点. 若四边形 的面积为 ，求 的方程.
18. (17分)
某棋类游戏有不同规格的地图，规格为 的地图共有 个格子，编号为 ,如下图所示.
游戏规则如下:
①玩家首先选定地图规格 %，并获得 2 枚金币，棋子位于起点(0 号格子)；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过 2 时，棋子向前跳 1 格；否则，向前跳 2 格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除 1 枚金币. 当金币被扣光或棋子落到 号格子时,游戏终止,视为失败,无奖励;当棋子落到 号格子时,游戏终止,视为成功,获得奖励 元.
(1)若选定规格为 的地图，求游戏成功的概率；
(2)若选定规格为 的地图，求棋子落到 号格子且游戏成功的概率；
(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？
19. (17 分)
已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)已知 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 记 的极值点为 ,证明: .
厦门市 2026 届高中毕业班适应性练习 数学试题参考答案与评分标准
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B 8. B
8. 提示: 由 得 , ,化简得 , 所以 , 所以 .
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. ABD 10. ACD 11. ACD
11. 提示: 设 中元素有 个,所有元素和为 ,平均数为 ,
所以 ,则有 ,故选项 正确;
易得 ,所以 ,故选项 B 错误;
因为增加的数一定是 3 的倍数, -2,3 被 3 整除的余数不等, 故元素中不会出现重复, 所以 ,所以 ,
又 ,两边除以 ,得 , 累加得 ,所以 ,故选项 C 正确; ,所以 ,故选项 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，
12. 24
13. (如: 等其它符合题意均可) 14.
14. 提示: 易得 ,所以 , 所以 ,过 作 ,垂足为 ,
则 ,
所以 ,过 作 ,垂足为 ,
则可证 平面 ,则可得 ,
即为二面角 的平面角,
可求得 ,
正弦定理可得 ，所以 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 依题意, ,由正弦定理 ,
得 , 1 分
由 ,得 ,
代入得 ,
即 , 2 分
由 ,得 , 3 分
有 ,解得: 或 , 5 分
又 ,所以 . 6 分
(2)由 为 的中点， ，
所以 , 8 分
由 的面积为 ，得 ，即 ， 9 分
由余弦定理, . 10 分
所以 , 12 分
所以 . 13 分
16. 解: 解法一: (1) 取 的中点为 ,连接 ,则平面 为平面 . 3 分证明如下:
因为 ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ， 4 分
又 平面 平面 , 5 分
所以 平面 ，
即平面 为平面 . 6 分
(2)在三棱柱 中， ，
8 分
因为 ,所以 ,
在 中,因为 ,所以 .
由(1)得 ，所以 ，
所以 ,所以 ,
所以 两两互相垂直.
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴如图建立空间直角坐标系 ,则 , 10 分
,
设平面 的一个法向量为 ,
则 所以 取 ,则 .
12 分
13 分
,
设 与平面 所成角为 ，
则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分解法二: (1) 同解法一: 6 分
(2)在三棱柱 中， ，
因为 ,所以 ,
在 中,因为 ,所以 .
由( 1 )得 ，所以 .
所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 平面 ,
所以 为三棱锥 的高. 8 分
在 中, ,所以 ,
所以 ,又因为 ,所以 .
在 中, ,则 ,
所以 . 10 分
设三棱锥 的高为 ,因为 ,所以 ,
所以 , 11 分
在 中, ,所以 ,
在 中, ,
所以 . 13 分
设 与平面 所成角为 ,则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 设 , 2 分
即 , 3 分
化简得 , 4 分
故 .
5 分
(2)因为 轴,当 时, ，所以 .
由题意, 的斜率存在,设 ,
联立 ,得 ,
其中, ,即 .
由韦达定理得 .
因为 ,解得 ,
由 ,
得 . 11 分
因为 . 12 分
所以 ,化简得 ,
解得: 或 , 14 分
因为 ,所以 .
故 的方程为: 或 . 15 分
18. 解法一(1)依题意，向前跳 1 步的概率为 ，向前跳 2 步的概率为 .
1 分
设 “游戏结束时，余下的金币的数量”，则 ，设事件 “游戏成功”，
则 .
当 时,该地图有 7 个格子.
当且仅当 时,棋子经过的路径为 ,
所以 ; 2 分
当且仅当 时,棋子经过的路径有 3 条,分别为 ,
或 ,或 ,
所以 . 4 分则 .
所以若选定规格为 的地图,游戏成功的概率为 . 5 分
(2)在规格为 的地图中，
设事件 “落到编号为 且游戏成功”,
则棋子经过的路径为 ,
所以若选定规格为 的地图,棋子落到 号格子且游戏成功的概率为 8 分
(3)在规格为 的地图中，
当且仅当 时,棋子经过的路径为 ,
所以 ; 9 分
当且仅当 时,棋子经过的路径有 3 种情况:
第 1 种情况，棋子经过的路径为 ；共跳了 步， 其概率 ; 10 分
第 2 种情况，棋子经过的路径为 ；共跳了 步，
其概率 ; 11 分
第 3 种情况，棋子落到第 号格处扣除 1 枚金币且游戏成功，
共有 条路径,则棋子经过的其中一条路径如下:
;
共跳了 步,每条路径的概率相等,均为 ; 13 分所以概率为: ,
则 14 分
记收益为 ,则 的分布列为
0 10n
收益期望 . 15 分
令 ,有 ,解得 ,
所以 ,有 ,
所以 时,收益的期望最高,最高期望为 . 17 分
解法二: (1) 同解法一; 5 分
(2)同解法一: 8 分
(3)若要获胜，则要跳 格，至少投掷骰子 次，至多经过一个偶数号格，
若落到 号格,则必落到 两个奇数号格,即要有两次跳 1 格,
所以跳 1 格的次数至多 3 次 (其中有一次可以选择路径 )
所以最多掷骰子 次,其中跳 1 格 3 次,跳两格 次. 9 分设事件 “游戏最终获胜”,
“共掷骰子 次获胜”, “共掷骰子 次获胜”,
则 互斥,
共掷骰子 次获胜即跳 1 格 1 次，跳 2 格 次，
则可能路径仅能为 ,
或 两种可能性,
所以 , 11 分
共掷骰子 次获胜即跳 1 格 3 次，跳 2 格 次，则必落到偶数号格一次，
即路径为 ,
所以 , 13 分
所以 , 14 分
以下同解法一: 17 分
19. 解法一: (1) 时, . 1 分
所以 , 2 分
又 , 3 分
所以 在 处的切线方程为 . 4 分
(2)(i)(j) 当 时， 的定义域为 ，取 ，
所以 ,不符合要求,故舍去; 5 分
② 当 时， 的定义域为 ， ，
设 ,所以 在 单调递增,
,
由零点存在定理, ,使 ,
则当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 . 7 分
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
整理得 , 9 分
设 ,则 ,
设 ,
因为 ,所以 在 单调递减,又 ,
所以 ,所以 . 11 分
又因为 关于 递增,所以 ,所以 . 12 分
(ii) 由 (i) 得 . 13 分令 ,
有 , 14 分
设 ,
因为 在区间 上单调递增,且 ,
所以 ,使得 ,即 , 当 时, ,当 时, , 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以
所以 , 16 分
因为 ,所以 . 17 分解法二: (1) 同解法一: 5 分
(2)(i)(j) 当 时， 的定义域为 ，取 ，
所以 ,不符合要求，故舍去: 5 分
② 当 时， 的定义域为 ，
对于 ,两边同除 后再加 ,得 ,
即 . 7 分
设函数 ,易知 在 单调递增, 8 分
所以原式化为 ,(也可构造 )
由单调性得 ,即 恒成立, 10 分设 ,
时, 单调递减; 时, 单调递增; ,所以 . 12 分
(也可这样同构:
构造 ,若 显然成立,若 ,
由 在 递增,则 ,
综上,转化为
(ii) 由 (i) 知 ,
当 时, 的定义域为 ,
设 ,所以 在 单调递增,
,
由零点存在定理, ,使 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 , 14 分
所以 , 15 分
设 ,
时, 单调递增, 时, 单调递减,
所以 ,所以当 时, ,
所以 ,
所以 ,得证. 17 分解法三: (1) 同解法一;
(2)(i)(j)当 时， 的定义域为 ，取 ，
所以 ,不符合要求,故舍去; 5 分
②当 时， 定义域为 .
由 ,得 ,即 ,即 , 6 分
令 ,得 ,令 ,得 ,
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ,且 时, 时, ,
因为 ,解得: . 8 分
下面证明当 时， .
令 ,
则 在区间 上单调递增,
所以 ,使得 ,即 ,即 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以 , 10 分
因为 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,
所以当 时, .
综上, 的取值范围为 . 12 分
(ii) 同法一.

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