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2025~2026学年高三年级质量检测 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动、用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将试卷和答题卡交回。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若直线 是双曲线 的一条渐近线,则
A. B. 4 C. 12 D. 16
3. 若集合 ,则
A. B. C. D.
4. “事件 相互独立” 是 “ 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 甲、乙、丙、丁共 4 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 4 名的名次. 甲和乙去询问成绩, 回答者对甲说: “很遗憾, 你和乙都没有得到冠军.” 对乙说: “你当然不会是最差的.” 从这两个回答分析, 4人的名次排列可能情况有
A. 4种 B. 8 种 C. 10 种 D. 12种
6. 已知函数 的定义域为 ,若函数 是偶函数,函数 是奇函数, 则 在 上的最小值为
A. 3 B. C. 4 D. 6
7. 已知抛物线 ，过 的焦点的直线交 于 ， 两点，交圆 于 两点,其中 位于第一象限,则 的最小值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数 若函数 有 3 个零点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分。
9. 设数列 的前 项和为 . 下列说法正确的是
A. 若 是等差数列,且 ,则公差为 2
B. 若 ,则数列 是等差数列
C. 若 是等比数列,且 ,公比 ,则
D. 若 是等比数列,且 ,则公比为
10. 在棱长为 4 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，则
A. MN//平面 B. 四点共面
C. D. 三棱锥 -MNP 的体积为 12
11. 已知函数 . 下列结论正确的是
A. 存在全不为 0 的实数 ,使得 是奇函数
B. 当 时, 在区间 上单调递增
C. 当 时，过点 作曲线 的切线，只能作一条
D. 若 ,则
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某篮球运动员近 8 场比赛的得分从低到高依次为 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 25, 则这 8 个数据的上四分位数是_____.
13. 在平行四边形 中, ,点 分别是边 的中点，则 _____.
14. 已知 ,若 且 ,则 _____. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
科技进步催生了大批智慧养老科技产品. 在某养老服务中心, 室内 AI、5G、物联网等智能设备, 精准对接老年人多样化健康养老需求. 该中心配备有多台AI摄像机, 通过智能分析, 辅助发现老人异常行为状态、产生预警信息并实时推送至护理站, 及时对老人进行救助. 为防止老人摔倒, 在房间内还铺设有智能地板, 一旦出现特殊情况, 地板就会立即报警. 在该中心所在地区随机抽取 200 名 70 岁以上的老人进行问卷调查, 得到如下列联表:
智能设备 捽倒 合计
发生 未发生
使用 8 100
未使用 68
合计 200
(1)求 的值，并依据小概率值 的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？
(2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法, 从样本中抽取 5 人作进一步调查, 再从这 5 人中随机抽取 2 人进行面谈,记这 2 人中未使用智能设备的人数为 ,求 的数学期望及方差.
附: ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16. (15分)
的内角 的对边分别为 . 已知 , .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
17. (15 分)
四棱锥 的底面 为矩形， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)设四棱锥 的外接球的球心为 ，且点 与点 在平面 的同一侧,球 的半径为 .
(i) 求平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 已知平面 与平面 的交线为 ,点 在 上. 设直线 和平面 所成的角为 ,求 的取值范围.
18.(17分)
动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ,记动点 的轨迹为 .
(1)求 的标准方程；
(2)已知点 . 点 ， 在 上，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 .
(i) 若 ,求 的面积;
(ii) 证明: 直线 过定点.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明: ( 为自然对数的底数)；
(3)已知 ，数列 的前项和为 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由.
2025~2026 学年高三年级质量检测 数学评分参考
一、单选题: 1-8 CBDDB CAD
10. ACD 11. ABD
13. 14. -1或2
四、解答题:
15. 解: (1) 由表中数据可得 . 2 分
零假设为
: 使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关.
故根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,即认为使用智能设备能有效预防摔倒发生.
6 分
(2)易知 5 名 “发生摔倒” 的老人中有 1 人使用智能设备，4 人未使用智能设备，
故 的所有可能取值为 1,2, 8 分
10 分
所以 的期望 ; 11 分
的方差 . 13 分
16. 解: (1) 解: (1) 由 , 1 分
又 ,所以 . 2 分
由余弦定理得: ，即 . 5 分
因为 ,所以 所以 ,所以 . 6 分
所以 . 因此, 或 (舍去).
所以, . 8 分
(2)因为 的面积为 ，所以 . 所以 .①
由正弦定理设, .
因为 ,所以 . 12 分所以, .
代入①式，解得 ，所以 . 14 分
所以 的周长为 . 15 分
17. ( 1 )证明:取 中点 ，连接 ， ，因为底面 为矩形，且 ， .
所以 ,所以 .
又因为 ,所以 . 所以 .
因为 所以 平面 ,所以 .
因为 所以 . 又因为 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 . 4 分
(2)(i)连接 交 于点 ,连接 . 分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建系. .
过点 作平面 的垂线 ,易知 ,设 ,其中 :
解得 (舍负).
因为 所以 . 所以 .
7 分
连接 ,因为 ,所以 ,所以 是平面 与平面 的夹角.
又因为 ,
由余弦定理得 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
9 分
(ii) 因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,平面 平面 ,所以 .
所以可设 ,又 ,所以 . 11 分
因为 ,设平面 的法向量为 ,
则 ,所以 ,可取 . 13 分
所以 因为 ,所以 . 即 的取值范围为 . 15 分
18. 解: (1) 依题意,设 ,则 到定直线 的距离
则 ,将式子两边平方,并化简得 .
所以曲线 的标准方程为 . 4 分
(2)(i)因为 ，所以 ，所以 .
所以直线 的方程为: ，代入椭圆方程得: .
因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 .
所以直线 的方程为: ,即 .
所以点 到直线 的距离为 ,又 .
所以 的面积为 . 10 分
(ii) 设 ,联立 ,
,则 .
注意到 ,代入 得
即 .
所以 .
化简得 ,即 .
于是 或 ,代入 得
或 ,即定点坐标为 或 (舍去).
所以直线 过定点 . 17 分
19. 解 (1)
,
显然, ,当 时, .
当 时, .
所以, 的递增区间是 ; 递减区间是: .
4 分
(2)设 .
当 时, ,
所以 ,满足题目条件.
当 时,又 ,
所以, 单调递增,而 ,所以, .
当 时,易知 ,所以, .
又 ,所以 即 .
综上可得, (当且仅当 时取等号).
所以, . 10 分
(3) . 理由如下:
由 (2) 知 ,用 代替 ,得 .
两式相加得: ,取 ,
则 .
又因为 ,
所以 .
所以, .
17 分

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