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高 三 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 的虚部为 0,则实数
A. B. C. -2 D. 2
3. 平行四边形 中, 为 边上的三等分点 (靠近点 ),若以 为起点,将向量 表示为 ,则 的值为
A. B. 1
C. D.
4. 已知 ,则
A. 1 B. C. D. 0
5. 在 中,内角 的对边分别为 ,满足 ,且 ,若 的面积为 ,则 的值为
A. 6 B. 8 C. D.
6. 设 是椭圆 的两个焦点,点 在 上,命题 ,命题 : 为直角三角形,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知 的展开式中 项的系数为 35,则实数 的值为
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知 ,函数 的定义域为 的定义域为 ,若 与 恰好有 2 条公切线,则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，下列说法正确的有
A. 函数 的最大值为 1
B. 函数 的图象关于直线 对称
C.
D. 在 上的两根和为
10. 已知点 ,直线 ,动点 到 的垂线为 为垂足,且满足 . ,记动点 的轨迹为 ,下列说法正确的有
A. 的方程为
B. 若 ,则 的最小值为 4
C. 过 作斜率为 的直线交 于 两点,则
D. 上存在两点关于直线 对称
11. 定义:若存在常数 ,对定义域内任意 ，都有 成立，则称 是 “M 一阶增长函数”. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 是 “ 阶增长函数”,下列说法正确的有
A. 当 时,
B. 若 ，则 是周期函数
C. 实数 的取值范围是
D. 不等式 的解集为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 的定义域为 R，周期为 4，当 时， ，则， _____.
13. 采用分层随机抽样抽取某校高一10 人、高二 20 人、高三 20 人的数学成绩样本. 已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为_____. (方差方程公式: ,其中 为总样本容量, 为分层的层数, 为第 层的样本容量, 为第 层的样本方差, 为第 层的样本均值, 为所有样本的总均值)
14. 在棱长为 2 的正方体 中，点 在表面 上运动(含端点)，且满足 ，当二面角 的正切值为 时，三棱锥 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别为棱 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16.(本小题满分 15 分)
已知公差不为 0 的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；_____
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明:对任意 ，都有 .
17. (本小题满分 15 分)
为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取 100 名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下:
第二轮答对 第二轮答错 合计
第一轮答对 60 20 80
第一轮答错 10 10 20
合计 70 30 100
(1)从参与模拟测试的 100 名学生中随机抽取 1 人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率;
(2)正式竞赛规则如下:①每位选手需先作答第一轮题目:若第一轮答错，直接结束比赛，最终得 0 分; 若第一轮答对, 可得 9 分基础分, 同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮(不可查看第二轮题目后再决策). ②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为 9 分，比赛结束; 若选择作答第二轮, 第二轮答对则最终得分为 10 分, 答错则最终得分为 5 分, 比赛结束. 已知选手小张每轮答题结果相互独立, 且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计. 小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高, 需要在赛前确定 “是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 为自然对数的底数， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 存在两个不同的极值点 ，且 .
(1)求实数 的取值范围；
(ii) 证明 .
19. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的离心率为 5,其右顶点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过双曲线 右焦点 作垂直于 轴的直线 ，与双曲线交于 ， 两点，点 为双曲线 的虚轴端点,求 的面积;
(3)过原点 作两条互相垂直的射线，分别与双曲线 交于 ， 两点，证明:点 到直线 的距离为定值，并求 的最小值.
高三数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C D B A A A AD ABC AC
1. C 集合 ,集合 ,则 ,故选 C.
2. D ,由于 ,所以原式 . 虚部为 ,解得 . 故选 D.
3.C 由平行四边形性质, . 为 上靠近 的三等分点,故 . 于是 ，因此 . 故选 C.
4. D 因为 ,所以 ,所以 . 故选 D.
5. 由面积公式 ,解得 . 由余弦定理 ,代入 ,得 ,即 . 于是 ,所以 . 故选 B.
6. A 由椭圆方程 得 ,焦距 . 设 ,则 . 若 成立,即 ,解得 或 . 此时三边为 ,满足 ,故 为直角三角形 (直角在 ),即 . 若 成立,即 为直角三角形. 可能情况: 直角在 : 由余弦定理, ,结合 得 ,此时 成立. 直角在 或 : 例如直角在 ,则 的横坐标为 ,代入椭圆方程得 ,计算得 ,此时 不成立. 因此 成立时 不一定成立，即 是 的充分不必要条件. 故选 A.
7. A 已知 展开式中 项的系数为 35,
利用二项式定理 ,则 项的系数为: .
即 . 故选 A.
8. A 设公切线方程为 ，分别与 的图象切于点 ，与 的图象切于点 ， 则有 .
即 ,由 ,得 ,
消去 得到关于 的方程 .
等式两边取对数得 ,
令 ,定义函数 ,
其定义域为 (当 ) 或 (当 ).
则 ,当 时, 在 单调递减，在 上单调递增，此时 在 处取极小值；当 时，
同理可得 在 处取极小值,故 有唯一极小值点 ,极小值为 .
的解的个数对应公切线的条数: 若 ,则 有两个解,即有两条公切线;
若 ,则有一个解,即一条公切线; 若 ,则无解,即无公切线.
分析 : 当 时,分母 ,分子 (因 恒成立),故 ;
当 时,分母 ,需分子 ,即 ,解得 .
此外, 时无公切线, 时 仅一条.
因此，恰好有两条公切线时 的取值范围是 ,故选 A.
9. 最大值为 正确.
,故不是对称轴, 错误.
因为 ,所以 , C 错误.
由 得 ,即 . 在 内, 时 时 ,和为 , D 正确. 故选 AD.
10. 对于动点 ,由条件 可推导出 ,即轨迹为抛物线,故 正确.
对于选项 ,利用抛物线的定义, 等于点 到准线 的距离,因此 ,当 时取等,故最小值为 4, B 正确.
对于选项 ,过焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于两点,联立方程
得 ,设 ,则有 ,
,故 C 正确.
对于选项 D,易知直线 与抛物线 相切,故 上不存在两点关于直线 对称, D 错误. 因此,正确选项为 .
11. 已知函数 是奇函数,且当 时, . 对于 ,由奇函数性质可得当 时, ,故 正确. 对于 ,当 时, ,不是周期函数,故 错误. 对于 因此, ,故 正确. 对于 ,不等式 的解集依赖于 ,并非固定区间 ,故 错误. 因此,正确选项为 和 .
三、填空题
12. 7 ,因此 .
13.21 总样本容量 ,总样本均值 ,代入公式计算:
故方差为 21 .
14. 以 为原点,分别以 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系. 因为正方体棱 1 为 2,所以 ,设动点 ,
由 得: ,得 ,
即动点 的轨迹为线段 (端点为 和 )，由于 侧面 ，故 且 ,因此二面角 的平面角为 ,根据题意, ,结合轨迹条件 ,得 即点 坐标为 .
又因为 ,所以 .
四、解答题
15.(1) 点 分别为棱 的中点，
为 的中位线,且 , (2 分)
平面 平面 ,
平面 . (5 分)
(2)在 中， ，
，即 ， ， (6 分)
故 , (7 分)
. (8 分)
又 底面 ，在 中， ，故 ，
法一: 以 为原点， 为 轴， 为 轴,建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ,取方向向量 . (9 分)
又 ,则 .
设平面 的法向量为 ,由 ,得
解得 ,取 . (11 分)
设直线 与平面 所成角为 ,则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (13 分)
法二: 连接 ,因为 底面 ,所以 ,又因为 平面 , 所以 平面 ,所以 . (10 分)
因为 ,所以 . 因为 平面 ,所以 平面 ,所以 为直线 与平面 所成角, (12 分)
在 Rt 中, ,所以 . (13 分)
16.(1)设等差数列 的公差为 ，则 ， . (2 分)
由 成等比数列,得 .
展开得 ,化简得 ,即 . (4 分)
因为 ,所以 ,于是 . (6 分)
(2)由(1)知 ，则 . (8 分)
注意到 ,
所以 . (11 分)
于是 . (15 分)
17.(1)设事件 : 第一轮答对,事件 : 第二轮答对.
由表中数据, ,
所以 . (4 分)
(2)由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率 ,第二轮答对的概率 ,且两轮相互独立. (6 分)
若选择第一轮答对后放弃第二轮,则最终得分 的分布为:
第一轮答错(概率 0.2)，得 0 分；
第一轮答对(概率 0.8)，得 9 分.
期望 . (9 分)
若选择第一轮答对后作答第二轮,则最终得分 的分布为:
第一轮答错(概率 0.2)，得 0 分；
第一轮答对且第二轮答对 (概率 ),得 10 分;
第一轮答对且第二轮答错 (概率 ),得 5 分.
分布列如下:
Y 0 5 10
0.2 0.24 0.56
(12 分)
期望 . (14 分)
因为 ,所以小张应选择放弃第二轮的策略. (15 分)
18.(1)当 时， ，定义域为 . 求导得 . (2 分)
由于 (当且仅当 时取等),故 ,即 恒成立. (3 分)
因此, 在 上单调递增,单调递增区间为 . (4 分)
(2) ，若 有两个不同的极值点，则方程 有两个不同的实数根. 显然， 不是根,故可化为 . 设 ,则 . (6 分)
当 时, 单调递减,且 ; (7 分)
当 时， ， 单调递减； (8 分)
当 时, 单调递增. (9 分)
又 时 时 ,故 在 上从 减至 ,在 上从 e 增至十 . (10 分)
因此,当 时,直线 与 的图象有两个交点,分别位于 和 ,对应两个不同的极值点 (且 ). 当 时有一个交点,当 时无交点,当 时有一个交点.
故实数 的取值范围是 . (12 分)
( ii ) 由 得 ,即 ,两边取对数得 . (13 分)
令 ,则 ,代入得 ,解得 .
于是 . (14 分)
要证 ,即证 ,等价于 .
设 ,则 .
令 ,则 ,故 在 上单调递增,且 ,
所以 ,即 . 因此 在 上单调递增,又 ,故 对 恒成立. 从而原不等式成立,即 . (17 分)
19.(1) 由离心率 得 ,即 ,又 ,所以 . (2 分)
渐近线方程为 ,即 .
右顶点坐标为 ,它到渐近线 的距离为 ,解得 . (4 分)
于是 ,双曲线 的标准方程为 . (5 分)
(2)由(1)知双曲线为 ,则 ,右焦点 ,虚轴上端点 . (6 分)
当直线 垂直于 轴时, . 代入双曲线方程: . (7 分)
得 .
此时 的长度为 8,点 到直线 的距离为 ,故 .
因此 的面积为 . (9 分)
(3)当直线 斜率不存在时,设 ,则 ,由 得 ,即 ,解得 ,此时点 到直线 的距离 . (10 分)
当直线 斜率存在时,设 ,与双曲线方程联立:
,即 .
设 ,则 . (11 分)
由 得 ,而 ,
代入得 .
即 ,
即 ,两边乘以 得 ,
展开得 ,
整理得 ,
即 ,所以 ,即 . (13 分)
原点 到直线 的距离 ,则 ,
故 ,为定值. (15 分)
在直角三角形 中, ,
且 ,所以 .
由均值不等式, ,即 ,
得 ,故 ,当 时取等,此时 , 符合. 因此 的最小值为 . (17 分)

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