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河南省实验中学 2025 一 2026 学年下期期中试卷
高一 数学
(时间: 120 分钟, 满分: 150 分)
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的).
1. 已知 ,则 的虚部为( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
2. 已知不重合的直线 和平面 ,下列命题中真命题是( )
A. 如果 不平行于 ,则 内的所有直线均与 异面
B. 如果 是异面直线,那么 与 相交
C. 如果 共面,那么
D. 如果 ，那么 平行于经过 的任何平面
3. 已知 是两个单位向量，且向量 在向量 上的投影向量为3 ，则向量 的夹角 ( )
A. B. C. D.
4. 已知在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 如图，平行四边形 中， 是 的中点， 在线段 上，且 ，记 ， ，则 ( )
A. B. C.
B. C. D.
6. 如图所示，在坡度一定的山坡 处测得山顶上一建筑物 的顶端 对于山坡的斜度为 ,向山顶前进 到达 处,又测得 对于山坡的斜度为 ,若 , 山坡对于地平面的坡度为 ,则 等于( )
A. B.
C. D.
7. 在 中，角 所对的边为 ， ， . 若 ， ，则 长为( )
A. B. C. D.
8. 已知非零向量 与 满足 ,且 ，点 是 的边 上的动点，则 的最小值为( )
A. -1 B. C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分).
9. 已知向量 ，则()
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 与 夹角为锐角时,则 的取值范围为
D. 当 时, 在 上的投影向量为
10. 对于 有如下命题，其中正确的是( )
A. 若 ，则 为钝角三角形
B. 若 ，则 的面积为
C. 在锐角 中，不等式 恒成立
D. 若 ，且 有两解，则 的取值范围是
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 是正方形 内一动点 (包括边界),则( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 平面 ，则点 的轨迹长度是
C. 当点 在直线 上运动时， 的最小值是
D. 若点 是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分).
12. 如图所示，直观图四边形 是一个底角为 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是_____.
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为_____. 14. 已知函数 ,向量 是平面内三个不同的单位向量,其中向量 相互垂直，且满足 ，则 的最大值是_____. 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤).
15.(13分)已知复数 ，且 是纯虚数，其中 为实数， 是虚数单位.
(1)求 的值；
(2)在复平面内, 为坐标原点，向量 ， 对应的复数分别是 ， ，若 ,求实数 的值.
16. (15分)已知 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 ;
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的长度.
17. (15分)如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，点 ， 分别为 ， 的中点,设平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)证明: ；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在， 求出 的值；若不存在，说明理由.
18.(17分)在菱形 中， ， ， ， .
(1)若 ,求 的值；
(2)求 的值；
(3)若 在线段 上的动点，问 是否为定值？若是，求该定值；若不是，求 的取值范围.
19.(17分)“费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是: “在一个三角形内求作一点, 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.” 意大利数学家托里拆利给出了解答: 当 的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点; 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，且点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求 的最小值.
河南省实验中学 2025-2026 学年下期期中试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D C C D ACD ACD
题号 11
答案 AB
12. 13. 14.
15. (1) 或 .
(1) 复数 ,
则 .
因为 是纯虚数,所以 ,解得 .5
(2)由(1)得 .
由题意得,点 的坐标分别为 ,
所以 ,因为 ,
所以 ,解得 或 .13
16.
(1) 在 中,由正弦定理及 得: ,化简可得: ,
由余弦定理得 ,又 ,所以 . .7
(2) 是 的角平分线，则 ，
由 可得
因为 ,即有 ,故 . .15
17.(1)
取 的中点 ,连接 ,
因为点 分别为 的中点,
由题意可证得 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 ,
而 平面 平面 ,
所以 平面 . .6
(2)设平面 平面 ，
由( 1 )可得 平面 ，
平面 ,
所以DF //l. .10
(3)
在棱 上存在点 为 的中点,连接 ,
因为 为 的中点，所以 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ,
此时 . .15
18. 不是定值，取值范围为 .
( 1 )因为 ，所以 ，
又因为 ,所以 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 ，
在菱形 中, ,所以 ,所以
(3)以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
由菱形边长为 ,得 , 因为 ,易得 ,由 可得 , 在线段 上,则 .
，所以 ，又 ，
所以 ,又因为 ,所以 .
故不是定值,取值范围为 . .17
19. .
( 1 ) ,则 ,
,
,故 . .4
(2)由(1)知 ，所以 的三个角都小于 ，
由费马点定义知 ,
设 ，由 ，
整理得 ,整理得 ,
则 . .9
(3)因为点 为 的费马点，所以 ，
设 ,
由 ,得 .
由余弦定理得 ,
由 ,得 ,
,又 ,所以 ,
当且仅当 ,结合 ,解得 时,等号成立,
又 ，所以 ，解得 或 (舍去)，

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