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高三模拟卷(二) 数 学
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ,则 与 的关系是
A. B.
C. D.
2. 已知 ,且 ,则下列不等式恒成立的是
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则
A. B:
C. D.
4. 已知平面向量 不共线， ,则
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
5. 如图，圆锥 的底面直径和高均是 4,过 的中点 作平行于底面的截面, 以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
6. 巳知平面直角坐标系中不同的三点 ,圆心在 轴上的圆 经过 , 三点,设点 的坐标为 ,则点 的轨迹方程为
A. B.
C. D.
7. 已知 ,设函数 的零点个数为 ,则
A. 4049 B. 4050
C. 4051 D. 4052
8. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为
A. B.
C. -1 D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ， ，则
A. B.
C. D.
10. 已知数列 的前 项和为 ,下列说法正确的是
A. 若 ,则 等比数列
B. 若数列 为等差数列,则数列 为等比数列
C. 若 ，则数列 为等比数列
D. 各项均为正数的数列 满足 ,则
11. 如图，在长方体 中， ，点 是平面 上的动点,满足
A. 长方体各棱、体对角线所在的 16 条直线中, 共有 48 对异面直线
B. 点 在底面 上的轨迹是一条直线
C. 若角 是直线 和平面 所成角,则 的最大值是
D. 不存在点 ,使得
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 为空间任意一点,若 ,若 四点共面,则实数 等于_____.
13. 已知点 在椭圆 上， 的左焦点为 ，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则 的值为_____.
14. 已知盒子中共有 10 个大小相同的球,有红、黄、白三种颜色,且红球、黄球、白球的个数分别为 2,3,5,每次随机取出一个球不放回,记随机变量 为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则 的数学期望为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线斜率为 1，求实数 的值；
(2)若 在定义域上恒成立，求实数 的取值范围.
16.(本小题满分 15 分)
在 中,内角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 为 外一点， ， 分别位于直线 的两侧， ， ， ∠DAC, 求 △ 的面积.
17. (本小题满分 15 分)
如图，已知在斜三棱柱 中， ，侧面 是边长为 2 的菱形，且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 是 的中点， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)
某工业系统内初始装有 1 个 类部件和 2 个 类部件. 工作人员往系统内增添这两类部件, 具体操作如下:每次从系统中随机抽调 1 个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补 1 个与所抽调部件类别不同的部件. 记第 次操作抽调到 类部件的概率为 ,第 次操作后系统内 类部件的数量为 .
(1)求 与 的值；
(2)求 与 的关系式；
(3)求 .
19. (本小题满分17 分)
对于双曲线 ，我们称 与 互为“交换双曲线”； 对于椭圆 ，我们称 与 互为 “交换椭圆”.
(1)若双曲线 的“交换双曲线”为自己本身，且过点 ，求双曲线 的标准方程；
(2)在(1)的条件下，设双曲线 的左顶点为 ，斜率为 2 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点,且 均不在 轴上. 试判断 的垂心是否在双曲线 上,并说明理由;
(3)已知椭圆 的焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 . 封闭曲线 上任一点 满足: 当 时,点 在椭圆 上; 当 时,点 在椭圆 的“交换椭圆”上. 若矩形 关于直线 对称且各顶点均在曲线 上,求证: 矩形 的面积小于 5.20. (注: )
高三模拟卷(二) 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B A C D C A ABD BD ABC
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 易得 是点集,而 是数集,所以两个集合没有公共元素。
2. C 当 时,不等式 不能成立; 不等式 不能成立,故 AB 错误; 因为函数 在 上单调递增,又 ,所以 恒成立,故 正确; 当 时,不等式 不能成立.
3. B 因为 ,所以 ,所以 ,即 .
4. A 与 共线,又 与 有公共点 三点共线.
5.C 设圆柱的高为 ,底面半径为 ,可知 ,则圆锥的母线长为 ，所以剩下几何体的表面积为 .
6. D 由已知得线段 是动圆 的直径,故 ,于是 ,即 ,可得 ,又点 不重合,所以原点除外.
7. 可作出 的图象. 当 时,作出 的图象,
因为 ,故 的图象与 的图象有 1 个交点;
注意到 的周期为 每增加 1 个单位, 增加 6 个单位 (一个周期),则交点增加 2 个,故数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 .
8. A 由题意可得 ,则 ,由 ,则 ,令 ,则 ,令 ,可知函数 在 上单调递增，所以当 时，有 ，即 ，可得 ，
所以 ,令 ,则 ,所以 , 令 ,则 ,令 ,即 ,解得 ,当 时, , 则 在 上单调递减,当 时, ,则 在 上单调递增,所以函数 在 处取得极小值,也是最小值,为 ,所以 的最小值为 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. ABD 随机变量 服从正态分布 ,则 , A 正确; ,则 , B 正确; ,则 , C 错误; 由 ,得 ,因此 正确.
10. 对于 ,当 时, ,此时 不成等比数列,故 错误; 对于 ,若数列 为等差数列,设其公差为 ,则此时有 ,所以数列 为等比数列,故 正确; 对于 ,若 ,则 不满足 ,所以数列 不是等比数列,故 C 错误; 对于 ,因为 ,由等差中项的定义可知, 数列 是首项 ,公差 的等差数列,所以 , 由此可知 ,又因为 ,所以 . D 正确.
11. 对于选项 为体对角线之间不可能异面,所以分两类: 第一类: 棱和棱之间共有 , 第二类: 体对角线与棱共有 ,所以共 48 对, 正确;
对于选项 ,在 上取 ,连接 并延长交 延长线于 ,在 和 中, 且 ,所以 ,
则 ,所以 ,
由长方体性质易得 ,而 ,且 平面 ,
所以 平面 平面 ,故 ,根据题设,易知 ,同理可证 ,由 且 平面 ,所以 而 ,
即 平面 ,又平面 平面 ,所以 ,又 ,点 在平面 上,
故只需点 在直线 上,即点 在平面 上的轨迹是一条直线,故 正确;
对于选项 C，由 平面 ，所以 是直线 和平面 所成角的平面角，
所以 ,要使该值最大,只需 最小,显然当 时 最小,
,所以 ,则 ,则 ,故 ,故 正确;
对于选项 D,由 平面 平面 ,则 ,若存在点 ,使得 ,
又 ,且 平面 ,此时 平面 平面 ,
所以 ,显然,在平面 上以 为直径的圆与 的交点作为 点,满足 , 故存在点 ,使得 ,故 错误.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 因为 ,所以 可化简为 ,即 ,由于 四点共面,则 ,解得 .
13.4 因为椭圆 ,所以 ,设椭圆的右焦点为 ,连接 ,记线段 的中点为 ,连接 ,因为 ,所以 ,因为 分别为 和 的中点,所以 ,所以 ,又 ,所以 .
14. 把 10 次取球看成 10 个位置,从中任取 2 个位置放红球,共有 种,且等可能. 当 ,第 个位置为红球,另一个红球在前 个位置中任取 1 个,则 ,所以期望
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) 因为 ,
所以 . 2 分
因为曲线 在 处的切线斜率为 1,所以 , 4 分
所以 ,即 . 5 分
(2)函数 的定义域为 ， 6 分
由 在 上恒成立,
则 在 上恒成立, 7 分
设 ,则 , 9 分
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 11 分
则 ,即 , 12 分
所以实数 的取值范围为 . 13 分
16.(1) ,
由正弦定理得 , 2 分
因为 ,所以 ,
即 , 4 分
整理得 ,则 ,
则 ,所以 . 6 分
(2)设 ，则 ，
在 Rt 中, ,易知: , 8 分
在 中,由正弦定理得 ,即 ,
, 10 分
又因为 ,得 , 12 分
所以 , 13 分
所以 ，
即 的面积为 . 15 分
17.(1)如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由侧面 为菱形,所以 .
又由 ,且 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,故而 , 2 分又由 ,所以 为等边三角形,所以 .
由 ,所以 ,且 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 , 4 分
又 平面 ,所以 平面 平面 ,
故而平面 平面 . 6 分
(2)如图，取 的中点 ，连接 ，
由 (1) 知 ,由 为 的中点,则 ,
即 ,所以 两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系, 8 分
由 ,所以 ,
所以 .
设 ,由 ,
得 ,所以 ,
所以 , 10 分
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以 , 12 分
令 为 与平面 所成的角,所以 , 14 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)由题可知 ； 1 分
若第 1 次抽到 类部件,第 2 次抽到 类部件的概率为 ; 2 分
若第 1 次抽到 类部件,第 2 次抽到 类部件的概率为 ; 3 分
由全概率公式 . 4 分
(2)记事件 为“第 次操作抽调到 类部件”,则 ，其对立事件 (第 次抽到 类部件)的概率为 ,根据全概率公式,第 次抽到 类部件的概率为:
即 , 6 分
第 次操作后,系统内总部件数为 , 7 分
若第 次抽到 类,则 ; 8 分
若第 次抽到 类,则 , 9 分
代入全概率公式得: .
即 与 的关系式为 .
(或 或 ,或 ). 11 分
(3)由(2)得 ，
令 得 ,即 , 13 分累加得:
14 分
又 .
所以 , 15 分
又 ,得 . 16 分
所以 . 17 分
19.(1)因为双曲线 的“交换双曲线”为自己本身,所以 ,
设双曲线 的方程为 ，代入点 ，得 ，
所以双曲线 的方程为 . 3 分
(2) 的垂心在双曲线 上. 理由如下: 4 分
因为 两点在双曲线 上,
设 ,
又 ,所以直线 的斜率 ,
所以 边上的高所在直线方程为 ,
即 , 7 分
同理, 边上的高所在直线方程为 , 8 分
设 的垂心为 在直线 上,
所以有 解之得, 9 分
此时, ,
所以 的垂心在双曲线 上. 10 分
(3)由长轴长为 ，可得 ，由离心率 ，得 ，
所以 ,
已知椭圆 的焦点在 轴，则方程为 ，则椭圆 的“交换椭圆”方程为 ， 11 分因为矩形 关于直线 对称,设 在椭圆 上 ,如图所示,
则 在 “交换椭圆” 上 ,则 , 12 分又直线 平行直线 ,则直线 的斜率为 1,
所以直线 的方程为 ,即 ,
联立 得 ,
所以 ,得 ,
所以 ,
所以面积 , 14 分
因为点 在椭圆 上，所以 ,
令 为参数, ,因为 ,
所以 ,解得 ,不妨取第一象限部分,则 ,
代入可得 ,
因为 ,则 ,
所以当 时, 取得最大值为 . 17 分

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