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高三模拟卷(一) 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位导填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知命题: ，则该命题的否定是
A. B.
C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限 则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
3. 已知 ,若 ,则
A. B. C. 0 D.
4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图象,则该函数是
B.
C. D.
5. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 mile 的圆形区域内. 现有一艘货船在小岛中心的正东方向 40n mile 处, 沿北偏西 60° 的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为
A. mile B. mile C. mile D. 40 n mile
6. 甲、乙、丙、丁、戌共 5 名同学进行劳动技术比赛, 决出第 1 名到第 5 名的名次. 甲和乙去湖间成须，回答者对甲说:“祝贺，你排在前两名. ”对乙说:“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析. 这 5 人名次排列的所有可能情况共有
A. 36 种 B. 12 种 C. 48.种 D. 54 种
7. 已知正项等比数列 的公比不为 为其前 项积,若 ,则集合 中的元素个数为
A. 13 B. 17 C. 18 D. 20
8. 已知曲线 上的点 ,和曲线 上的两点 ,满足 是等腰直角三角形, 且直角边与坐标轴平行,则
A. B. 2
C. D. 3
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 是三个不同的平面,且 ,则三条直线 的位置关系可能是
A. 三条直线两两平行 B. 有且仅有两条直线平行
C 三条直线相交于同一点 D. 有且仅有两条直线相交
10. 甲罐中有 2 个黑球, 5 个白球, 乙罐中有 4 个黑球, 3 个白球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件 表示“由甲罐取出的球是黑球 再从乙罐中随机取出一球，事件 表示“由乙罐取出的球是黑球”, 则
A. B.
C. 事件 与事件 相互独立 D.
11. 在 中,内角 的对边分别为 ,已知 ,则
A. B.
C. 边上的中线长为 D. 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 将一个圆心角为 、半径为 3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为_____
13. 若存在 且 ,对任意的 ,均有 恒成立,则称函数 具有性质 . 请写出一个满足性质 的函数是_____
14. 已知以原点为中心的椭圆 、双曲线 ，与抛物线 ( ) 有公共焦点 ，且在第一象限交于同一点 . 若 的离心率为 2,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度 (单位: 与腐蚀时间 (单位: ) 有关，并收集数据如下表:
腐蚀时间 5 10 15 20 30 40
腐蚀深度 5 8 10 13 17 19
(1)根据表中样本数据，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度；
(2)建立 关于 的经验回归方程(系数精确到0.01); 若腐蚀时间为 ，请估计腐蚀深度. 参考数据: .
参考公式: 相关系数 ,
经验回归方程的斜率 . 截距 .
16.(本题满分 15 分)
已知双曲线 过点 ，且焦距为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过定点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程.
17. (本题满分 15 分)
已知函数 ，其中实数 .
(1)若 的最小正周期为 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 在区间 上恰有三个极值点、两个零点，求 的取值范围.
18.(本题满分 17 分)
如图，在三棱台 中， 分别为 的中点，且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)证明:平面 平面 ；
(3)若 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值.
19.(本题满分17 分)
已知有穷数列 满足 ，其中 ，且最后一项 .
(1)当 ，且 时，求 的取值范围；
(2)当 时，如果 足够大，
(1)证明:数列 为单调递减数列；
(II)探究数列 中是否存在连续三项成等差数列. 若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.
高三模拟卷(一) 数学参考答案
一、二、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 D A A A C B B B AC ABD ACD
5. C 以小岛中心为原点,建立平面直角坐标系,则暗礁分布在圆 内,而货船航行路线所在直线方程为 ,即 ,可得圆心 到该直线的距离 ,故货船在暗礁区内航行的路程为 mile.
6. B 分两类: 一类为甲排在第一名,共有 种,另一类甲排在第二名,共有 种,则这 5 人的名次排列所有可能情况数为 种.
7. 由 ,解得 ,则 . 又 ,则 ,其余各项均不相等,可得集合 中的元素个数为 20-3 = 17 .
8. 易知 为直角,设点 的横坐标为 ,直角边 长为 ,则 由②式变形得 ,即 ,代入①式整理得 ,解得 ,故 .
10. ABD 由题意可得, ,故 A 正确;
因为 ,故 B 正确;
由 ,可知 ,所以事件 与事件 不独立, 故 C 错误;
因为 ,故 D 正确.
11. ACD 对于 选项,由已知条件可得 ,则 ,有 ,故 正确;
对于 B 选项,由 ,可得 ,解得 或 (舍,因 是锐角),故 错误;
对于 选项,由余弦定理可得 ,化简得 ,取 边的中点 ,由 ,解得 ,则 ,故 C 正确;
对于 选项,由 ,可得 ,即 ; 再由 ,两边平方整理得 ,两边同时除以 得 ,解得 . 综上可得 ,故 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
13. 答案不限,例如: .
14. 设椭圆 ,双曲线 ,不失一般性,再设 , ,由 的离心率为 2,可得 .
法 1: (利用方程) 联立 与 ,可得 ,解得 或 (舍), 将 代入 方程得 (舍负),即 .
由 ,可得 ,故 的离心率为 .
法 2: (利用定义) 如图, 的准线为直线 ,过点 向直线 作垂线,垂足为 .
由椭圆和双曲线的定义知 解得
再由抛物线的定义知 .
在 中，由 ，解得 ，故 的离心率为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.根据样本数据,可得 ,
4 分
(1)由相关系数公式，可得 . 6 分
说明 与 的线性相关程度非常强，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. 8 分
(2)由最小二乘估计公式, ,
即 关于 的经验回归方程为 . 11 分当腐蚀时间为 时,估计腐蚀深度是 . 13 分
16.(1)根据题意， ， ，则 ，可得双曲线 的方程为 . 4 分
(2)取线段 的中点 ，则 . 5 分
直线 的斜率显然不为 0,设其方程为 ,联立双曲线方程可得 ,
由 ,且 ,解得 ,则 , 8 分
则 . 10 分
由 ,可得 ; 12 分
又 ,则 ,解得 或 . 14 分
故直线 的方程为 或 . 15 分
17.由题可知函数 . 2 分
(1)由 ,解得 . 4 分
此时, ,且 ,
则 ,
可得 在 处的切线方程为 ,即 . 8 分
( 2 )由 ，可得 ， 9 分
要使函数 在区间 上恰有三个极值点、两个零点,如下图所示:
11 分
由图可知, ，解得 ，即 . 15 分
18.(1)由 为 的中位线,可得 且 , 1 分
又 且 ,则 且 ,
可得四边形 是平行四边形,所以 . 3 分
又 平面 平面 ,所以 平面 . 4 分
(2)由(1)可知 ，而 ，则 . 5 分
由 ,可得 , 则 ,即 . 7 分
由 ,且 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 . 9 分
(3)法1(综合法):将 ， 延长相交于点 ，设 ， ，
则点 分别是 的重心，且 ，可得 .
由 知 ,又 ,可得 为平面 与平面 的夹角. 11 分
在 Rt 中, ,则 ,
在 中,由余弦定理 ,解得 ,
在 中, ,则 ,解得 , 14 分
在 中， ，有 ，则 为等腰直角三角形，
又 ,则 . 17 分
法2(坐标法):如图，过点 作 轴上平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 . 11 分
数学参考答案
设 ,由 ,
可得方程组 解得
即 ,有 . 13 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 ,即 . 15 分
平面 的一个法向量为 ,由 ,
设平面 平面 的夹角为 ,则 ,
即平面 与平面 的夹角的正弦值为 . 17 分
19.(1)当 ,且 时， ，即 ，且 .
结合函数 在 上单调递增,可得 ,
即 的取值范围为 . 3 分
(2)(i)由 ，可设函数 ，
则 ,
令 ,解得 . 5 分
当 时, ,可得 在 上单调递增;
当 时, ,可得 在 上单调递减. 7 分
则 .
当 时, ,则 ,即 ,
证得数列 为单调递减数列. 9 分
(II)假设 成等差数列，其中 ，则 .
又 ,即 ,
又 ,则 ,
变形得 . 11 分
令 ,则 .
而 ,
设 ,则 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 . 13 分
因此, ,则 在 上单调递增,
而 ,可知存在唯一的实数 ,使得 . 15 分取 ,即 时, 成等差数列.
如果存在 ,且 也成等差数列,由以上证明过程可知 ,而由第 ( i ) 问数列 为单调递减数列,有 ,矛盾.
故数列 中有且仅有一个连续三项成等差数列. 17 分

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